不定积分的换元积分法与分部积分法.ppt

4·3 不定不定积分的分的换元元积分法与分部分法与分部积分法分法案例研究案例研究案例案例4.3.1 太阳能的能量：太阳能的能量： 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College某一太阳能的能量 f 相对于太阳接触的表面面积的 变化率为 且当 时， 试 求 f 的函数表达式. 分析分析 该问题实际上是求不定积分 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College案例案例4.3.2 天然气的天然气的产产量：量： 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College工程师们发现，一个新开发的天然气井t月的总产 量P（单位： ）的变化率为 试求总产量函数 分析分析 该问题实际上是求不定积分问问：：以上两个案例，实际上是需要解决什么问题？ 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College抽象归纳抽象归纳第一第一类换类换元元积积分法分法例例 求积分 问问：：你能验证上式的正确性吗？ 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College结论结论 若所求的积分 中的被积函数 可化为 则有 通常把这种求不定积分的方法叫做第一类换元积第一类换元积 分法分法．． 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College问：问：上述四步中，关键是哪一步？关键：关键：选择适当的变量代换 将 凑 成 因此第一类换元法又叫凑微分法．凑微分法． 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例1 求 解解 简写为： 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College案例的解案例的解 将 时， 代入上式，得 所以，所求 f 的表达式为 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例2 求 解解 课堂训练：课堂训练： . 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例3 求解解 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College因为 所以利用例3的结论，可求得 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例4 求 解解 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例5 求 解解 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College第二第二类换类换元元积积分法分法例例 求积分 分析分析 设 于是 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College结论结论：：这种求不定积分的方法叫做第二类换元积分法第二类换元积分法. 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例6 求 解解 设 即 于是再将 代回后整理，得 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例7 求 解解 设 则 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College因为 则 代入上式得本题中的变量代换称为三角代换三角代换. 利用三角代换， 可求解含有 的函数的积分问题. 及 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College分部分部积积分法分法例例 求积分 分析分析 这类积分是两类函数的乘积，不便于用上述 方法求积分。

下面我们研究一种新方法 两边积分，得即 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College上述公式称为分部积分公式分部积分公式，用分部积分公式求积 分的方法称为分部积分法分部积分法. 上式可改写为： 分部积法的步骤：分部积法的步骤：问：问：分部积分法的基本思想是什么？（转化）将一个函数的积分问题转化为另一个函数的积分问 题，从而求得其解 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例8 求 解解 讨论讨论 求上述积分时，若将x凑微分，可以求出积 分吗？ 凑微口诀：凑微口诀：指三幂对反 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College案例的解案例的解 依题意，当 时， 代入上式，得 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例9 求 解解 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例10 求 解解 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College例例11 求 解解 设 即 则 于是 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College小结：小结：1．第一类换元积分法（凑微分法）2．第二类换元积分法3．分部积分法： 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College。