圆周运动临界问题.docx
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竖直平面内的圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况， 常涉及过最高点时的临界问题临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力 根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值1. “绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况注意：绳对小球只能产生拉力）图 6-11-11）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用v2mg = mRv临存；Rg（2） 小球能过最高点条件：v三\,；'Rg（当v > jRf时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）（3） 不能过最高点条件：v <\iRg（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）2 .“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力图 6-11-2（1） 小球能最高点的临界条件:v = 0，F = mg （F为支持力）（2） 当0< v
故选：D例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端 O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是（ ）A. 球过最咼点时，杆所受的弹力可以等于零B. 球过最高点时，最小速度为jRgC. 球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反 图6-11-3D. 球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力解析：小球用轻杆支持过最高点时，片临-0 ,故B不正确；当v —、：Rg时，F = 0故A正确 当0< v <莎时，mg > F > 0，F为支持力故D正确当v > JRg时，F >0, F为拉力，故C不 正确故选：A、D例3.绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg，绳长L = 40cm, 求：（1） 为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？（2） 桶在最高点速率v = 3m/s时，水对桶底的压力？ 解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力即：mg < mY，则最小速率 v — Rg — \；0.4 x 10 m/s = 2m/sR 0*o（2）水在最高点速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的 v2 v2压力，设为F,由牛顿第二定律有F + mg = m ， F = m -mg = 6.25N，由牛顿第三定律知,RR水对桶底的作用力F/ =F = 6.25N,方向竖直向上。
知识链接】如图6-11-4所示，地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径 R （约为6400km）地面上有一辆汽车，重量是G = mg,地面对它的支持力是F汽车沿南北方向行驶,地球可以看作一个巨大的拱形桥不断加速根据上面的分析，汽车速度越大，地面对它的支持力就越小，会不会出现这样的情况：速度 大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员 与座椅之间的压力是多少？驾驶员身体各部分之间的压力是多少？他这时可能有什么感觉？ （g取10m/s2） 图6-11-4目标达成】1.如图 6-11-5 所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端 O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用 F 表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则 F 可能）A. 是拉力B. 是推力C. 等于零图 6-11-5D. 可能是拉力，可能是推力，也可能等于零解析：到最高点临界速度为匕尸=\：Rg，当v = V 时，F=0；当v > v 时，F为拉力临 ¥ 临界 临界故选： A、C2. （1999年 全国）如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转 动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）A. a 处为拉力，b 处为拉力/ 1 \B. a 处为拉力，b 处为推力• ° ：C. a 处为推力，b 处为拉力\ 1 yD. a处为推力，b处为推力a图 6-11-6解析：小球到最低点时，向心力向上，此时细杆的作用力与小球的重力的合力提供向心力， 细杆作用力向上，一定为拉力；当到最高点时，向心力向下，当0 < V < JRf时，件向< mg，此 时为推力，当v > ^Rg，F > mg，此时为拉力。
故选：A、B萄 向3. 长为 L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连现给小球一个初速度， 使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v,则下列叙述正确的是 （ ）A. v的最小值为TgLB. v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大C. v由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大D. v由逐渐减小，杆对小球的弹力逐渐增大解析：这是“杆模型”小球到最高点速度v > 0，A错；由F = m —得，v增大，F增 向 L 向大，B对；当0< v 时，弹力F随v减小而增大（F为支持力），当v 时，F随v增大而增大（F为拉力），C错，D对故选：B、D4. 质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v,当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是 （ ）A. 0 B. mg C. 3mg D. 5mg解析：到最高点临界速度为v，贝y： mg二m空;当速度为2v时，贝卩：F + mg = m （2v± （F RR 为压力）；由上两式解得：F = 3mg故选：C -5. 长为L的细绳一端拴一质量为m的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动 并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为v和v，细线所- 1 2 受拉力分别为f、F，贝y （） -1 2A. v =页！ B. v = 0 C. F = 5mg D. F = 0v 2 解析：小球恰能通过最高点，细线拉力F = 0，有mg = m于，得v =石；由机械能守恒得：—mv 2 = mg・ 2 L + — mv 2,2 1 2 22 L 2 、§解得：；=丫5忑； 通过最低点时，有F - mg = m ，解得F = 6mg 。
故选： A 、 D16. 质量可忽略，长为 L 的轻棒，末端固定一质量为 m 的小球，要使其绕另一端点在竖直平 面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v必须满足的条件为 （ ）A. v v'2gL B. v x/3gL C. v $2 D. v v'5解析：小球到最高点速度冒°，由机械能守恒得：1 mv2 - mg・2L +1叫’解得：v $2说故选：C7.如图6-11-7所示，一个高为h的斜面，与半径为R的圆形轨道平滑地连接在一起现有一 小球从斜面的顶端无初速地滑下，若要使小球通过圆形轨道的顶端B而不落下，则斜面的高度h 应为多大？解得:心両，由机械能守恒得:解析：小球到达顶端B速度为解得：h > — R28.如图6-11-8所示，杆长为L,杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个 系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动，求：(1) 小球在最高点A时速度v为多大时，才能使杆对小球m的作用力为零？A(2) 小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少？(3) 如 m = 0.—kg, L = 0.—m, v = 0.4m/s, 则在最高点 A 和最低点 B 时, 杆对小球 m 的作用力A各是多大? 是推力还是拉力?解析： (1) 若杆和小球之间相互作用力为零，那么小球作圆mv 2周运动的向心力由重力mg提供，mg - a 解得:L(2)若小球m在最高点A时受拉力F，则F + mg - m 解得 v -v2解得： v -2若小球m在最高点A时受推力F，则mg - F - m〒 可见vA - *Zg是杆对小球m的作用力F在推力和拉力之间突变的临界速度.(3)杆长 L = 0.5m 时，临界速度 v — - Lg - J0.5 x 10 m/s =2.2 m/s， v = 0.4m/s <气［尸，杆对临 a 临v 2 v 2小球有推力F。
由mg - F - mr 解得： F - mg - m「^ =A A L A L0.— x 0.42(0.5 x 10 - ) N = 4.84N，由A到B只有重力做功，机械能守恒，设B点所处水平面0.5为参考面，则有—mv 2 + mg・2L - — mv 2 解得：2 a 2v = v 2 + 4gL - \ 0.42 + 4 x 10 x 0.5 m/s = 4.5m/s，在最低点 B，小球 m 受拉力 F，由B * A Bv 2 v 2 0.5 x 4.52F 一 mg - m—^ 解得F - mg + m—^ — (0.5 x 10 + )N = 25.3NB L B L 0.5【拓展提高】9. 如图6-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD，其A点与圆心等高，D 点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水 平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D,则小球在通过D点后 ( )A. 会落到水平面AE上B. —定会再次落到圆轨道上C. 可能会落到水平面AE上D. 可能会再次落到圆轨道上解析：小球刚好能过最高点时速度v =\；'Rg，离开D后作平抛运动，下落高度为R时间为t，水平位移x = vt = 7 2R >R，所以,小球一定落在AE上。
故选：A图 6-11-1010. 如图6-9-10所示，半径为R,内径很小的光滑半圆管竖直放 置，AB段平直，质量为m的小球以水平初速度v射入圆管0(1) 若要小球能从C端出来，初速度v多大？0(2) 在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪 几种典型情况，初速度v各应满足什么条件？0解析：(1)小球恰好能达到最高点的条件是人尸0，此时需要初速度为v，由机械能守恒： 临 0mv 2=mg・2R得y = J4Rg ,因此要使小球能从C端出来需v > 0，故入射速度v > J4Rg 2 0 0 c 0(2)小球从C出来端出来瞬间，对管壁压力可以。
