弹性力学平面问题的极坐标解答.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 平面问题的极坐标解答,4,1,Differential Equations of Equilibrium in Polar Coordinates,4,2,Geometrical Equations and Physical Equations in Polar Coordinates,4,3,Stress Function and Compatibility Equations in Polar Coordinates,4,9,Effect of circular holes on stress distribution,4.Solution of Plane Problems in Polar Coordinates,44 Coordinates Transformation of Stress Components,45,Axisymmetrical,Stresses and,Cooresponding,Displacements,46 Hollow Cylinder Subjected to Uniform Pressures,411 Concentrated Normal Load on a Straight Boundary,4,11 半平面体在边界上受集中力,P,y,x,a,b,c,r,o,例5.图示半平面体，在边界上受集中力,P,作用，力与边界法线成,角，取单位厚度（力沿厚度均布，量纲为“力长度,-1,”），建立图示坐标系,Concentrated Normal Load on a Straight Boundary,用逆解法，首先假设应力函数,分析：任一点的应力分量与,P、r、,、,有关，从量纲来看，,P,力,长度,-1，,r,长度，,、,无量纲，所以应力分量的表达式只可能是,P/rk，k,为无量纲项，可由,和组成，所以应力函数只能是,r,的一次式，即,将所设应力函数代入相容方程得：,解此方程，求得：,由此求应力分量：,根据边界条件求待定常数,C，D,y,x,a,b,c,r,o,P,半平面体的边界条件：,上述两个条件恒满足,还有一组边界条件：在,o,点附近，有集中力,P,作用，其分布情况未知，但合力为,P,y,x,a,b,c,r,o,P,可作如下处理：取任一个半圆形截面,abc,，,其上的面力与,P,构成平衡力系,x,a,b,c,r,o,P,r,r,由应力边界条件转换而来的平衡方程如下,：,将,r,的表达式代入，求得：,应力分量的最后解答为：,当,r,趋近于零时，,r,无限大,所以上述公式的适用条件：离开,o,点稍远处（圣维南原理），且在弹性范围内,讨论：,P,力垂直于边界时的情况,y,x,o,P,1、求应力分量：,将,=0代入上式，得：,利用公式,将其变换成直角坐标系中的应力分量：,2、求应变分量(将应力分量代入物理方程）,3、求位移分量(利用几何方程）,求得位移分量：,y,x,o,P,由于问题的对称性，在,ox,轴上有：,所以位移分量为：,常数,I,可由竖直方向的约束条件确定，若竖直方向无约束，则,I,不能确定，因为,I,代表竖直方向的刚体位移,因为,I,未确定，所以,M,点的沉陷也不能确定，但我们可以求两点间的相对沉陷,4、求边界上任一点,M,的沉陷,y,x,o,P,r,M,在边界上另取一点,B，,它距,o,点为,s，,如图,y,x,o,P,r,M,B,s,M、B,两点的相对沉陷为：,上述解答也称符拉芒解答,将上述变形公式中的,E E/（1-,2,）；/（1-），,就得平面应变情况下应变或位移的公式,4,10 半平面体在边界上受分布力,图示半平面体，在其边界,AB,一段上受铅直的分布力，它在各点的集度为,q,y,x,o,a,b,A,B,q,y,x,o,a,b,x,y,M,A,B,q,如何求平面内任一点,M（x，y）,的应力？,利用上节的应力公式和叠加原理,1、在,AB,段上距,o,为,处取微长度,d,，其上所受的力,dP,=q,d,可看作集中力，如图,d,2、由集中力,dP,引起的应力（上节讨论过）,3、将集中力引起的应力叠加（积分）：,这就是分布力引起的应力,4、求半平面体受均布单位力作用时的沉陷,如图所示，单位力分布在长度为,c,的半平面体上（荷载集度为1/,c），,求距均布力中点,I,为,x,的任一点,K,的沉陷,c/2,c/2,x,c/2+x,s,r,x-c/2,dr,dp,=,dr,/c,B,K,1/c,I,1、取微长度,dr,，,其上所受的力,dP,=,dr,/c,可看作集中力，如图，,r,为微集中力到,K,点的距离,利用前述的公式（集中力引起的沉陷）,c/2,c/2,x,c/2+x,s,r,x-c/2,dr,dp,=,dr,/c,B,K,1/c,I,2、利用公式，由,dP,引起的沉陷为：,s,为微力到沉陷基点,B,之间的距离,3、积分求均布力引起的沉陷,取,sr，,即可将,s,看作常数，积分得,其中：,4、求均布力中点,I,的沉陷：,x=0,求得：,5、当,x/c,为整数时，,F,KB,的值可以从,P91,表4,1中取，沉陷仍公式仍为：,将上述变形公式中的,E E/（1-,2,）；/（1-），,就得平面应变情况下沉陷公式,小 结,1、在解决具有圆曲线边界的平面问题时，采用极坐标，极坐标与直角坐标都是正交坐标，其物理量在两个坐标之间存在着教简明的转换关系，利用这种转换关系，可以很容易建立极坐标下的基本方程,2、,采用极坐标时，平面问题的基本方程共有八个：,平衡微分方程：,几何方程：,物理方程：,3、,按应力求解平面问题，关键是要寻求应力函数（,r，），,使之满足相容方程,然后按公式：,求应力分量,所求应力分量满足边界条件和位移单值条件,4、轴对称问题，就是应力状态对称与过,z,轴的任意平面，所以，应力分量只是,r,的函数，不随,而变化,，应力函数可设为,=（,r）,5、对圆环或圆筒、应力集中问题、半平面体受集中力或分布力等问题进行了讨论,6、构造应力函数的途径：利用材料力学的结果、利用因次分析法、根据边界上应力的变化规律、利用应力函数在边界上的力学性质,谢谢！,。