矩阵论讲义（四号）2-2.doc
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§2方阵范数—、定义与基本性质定义 若矩阵Aw 对应的实函数関|满足（1） 非负性：若 4 = 0,则 || A|| = 0 ；若 则 ||A|| > 0 ；（2） 齐次性：||列=|州 A||, keC；（3） 三角不等式：||a + b||<||a||+||b||, Be cnXH ；（4） 相容性：||AB|| < ||A|| ||B||, BgCwx\则称H是c和上的矩阵范数由于矩阵范数的前三条公理与向量范数一致，因此矩阵范数具有向量范数所 具有的性质，如卜州二||A||,制-||〃卜||A-B||, 上的任意两个矩阵范数等价二、常用矩阵范数之——由向量范数推广由于在矩阵范数定义中第四条相容性公理的出现，使得在某些情形下，由向 量范数直接推广到矩阵范数时需做一些修改例对于A = （a”）wC计,规定（这是向量1 ■范数的直接推广）,/=1 ;=1则地是严上的矩阵范数,称Z为加广范数前三条公理必成立,只证公理（4）设Bf “AB加1=（丈丈如）（££|如HMLWZ=1 k=\ j=\ k=\例对于A = （a..）eCwx%规定= Ltr（AHA）p （向量2■范数的推广）则IHIIf是C'M上的矩阵范数，称之为Frobenius范数，简称F-范数。
n证 IMe=aEk=\/=1 J=1 "1=hlmf,则前三条公理必满足，但相容性公理却不成立如取Ap 1）、0 0丿‘1 0、,贝ij AB =H ri " . Il a ] I '* - I "Z刃⑵昂円工旷円2畅工丽2乞工切如果把向量的oo ■范数直接推广为|| A|| = max f/.. J,丿||AB|| = 2 , ||A|| = ||B|| = 1 o 可见，||AB|| < ||A|| ||B|| 不成立，因此要做适当修改例对于A = （a..）eCnx\规定n max ai}, ij J则||A 是C呦上的矩阵范数，称为加「范数OO证 ||AB=nmaxMX 工5% Smax（工匾 九•）
性质3设AeCwx\ 17和V为任意n阶酉矩阵，贝IJ网f=Mv||f=||i/av|L=||<证法1.…,如）h 二』|1/训；+・・.+||%耀二』|训；+.・.+甌||；二 ||a 法2. ||[/內职｛口（％中（（/4）护=｛以”丹葩）认二血中人）卩二関L证毕而 沖||厂||（佔艸广|呼的广||ahL = ||a||f最后 1"可广||心|严11<・这一性质称为F■范数的酉不变性三、与向量范数的相容问题定义 设|卜||财是C呦上的矩阵范数，||・|L是C"上的向量范数，若对任意Ae C呦和兀w C"都有 ||Ax||v<||A|| J|x||v，则称矩阵范数||• |「与向量范数卜相容例 矩阵"■范数与向量1 ■范数相容Axl =£/=1证设心（叽,x = （—・・，§》，则辽（工冰覘）辽（工冰区帥/=! k=\ /=l k=\ k=\=（££如）（£陽冋礼Z=1 ^=1 k=\矩阵F■范数与向量2■范数相容INL=aES^z=l Jt=l V /=1 k=l k=lI n ”V /=1 ^=1矩阵加「范数与向量1・，2-, OO ■范数均相容INIi=XZ^-^W E X l^ll^l < m沖应 £ |^|i=l k=l hk z=l k=\自孙刑LMk=\=n max aiki,k2jxkl=llALIWIIIAX=max8ax工|如陽| § max虞| max 工\aik\1 k=\ k 1 k=\jxkl=llAIL,.. Ilxnmaxg i、k 定理 设卜IL是C'M的矩阵范数，则总存在C”的向量范数与之相容。
证 任意取定OhqgC",对任意的XG CH,规定Mv=kflTL则（1）l°IL，= °“t|L =0 ；当兀工0时，xaJ # O ,于是 |x||v= xaT w >0⑵ 问|”=烬）叫”=||*（x«）tL=|^|||x«tL=|fc||x||v；（3）i|x+j|v=|（x+j）«t|m <|x«tl+hTL=HL^B故||・IL是向量范数又IHL=ll（Ajc）aTL=llA（x«）TL - llALllxaTL=llALII4 证毕 由于a HO的任意性，因此我们可以构造出与||・h相容的无穷多向量范数例求与矩阵加g ■范数相容的向量范数解 取a =—)T ,对于兀= ($,$,••• O w C"有 n n nlxIL=lxaT=maxni=n maxlxL四、常用矩阵范数之二——由向量范数导出单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于1在数的乘法中的作用，但对于已知的 矩阵范数有||人|打》，II山If =奶，||A，L =，?,当斤变化时，以上三种矩阵范数的值均发生变化，这对于一些理论分析带来不便对于一般的矩阵范数，总有llxL=IIMv^ll/llll4> VxgC，所以p|| > 1 （其中||・|L是与卜||相容的向量范数）。
那么能否构造出使||人||三1的矩阵范数呢?定理 已知C"的向量范数卜||「对任意AeC/,x\规定Axv = max Ax 114='" pV则卜||是C’m上与向量范数|卜||”相容的矩阵范数，且||/||三1,称之为由向量范数卜II导出的矩阵范数或从属向量范数卜IIr的矩阵范数，简称导出范数或从属范数（也称为算子范数）max-r-rL = l ； z x何、帆得如引绷命又对兀=0该式成立，故卜与向量范数II • IL相容1 )当 A = O 时，||A0 ；当AhO时，存在工o使Ax0 H 0 ,从而(2)||M|| 二 max 1^4 = \k\ max11 11 xhO x xhOA4-WIW：(3)||A + 〃=max\\x< maxllAX—+ max"0(4)AB = maxnJfV —A||||B“0 ||xVI °v证毕定理 设Aeex\则由向量右co■范数导出的矩阵范数依次为（1） 114= max | 称为矩阵1-范数或列和范数；（2） ||<=maxX|^| 称为矩阵g-范数或行和范数；'7=1（3） ||A||2 = JaHa的最大特征值 称为矩阵2-范数或谱范数;证（1）对…丘）J0有llAxIL =EE^<-近工应』◎卜工［|©|（工际|）］<・• H 打(max X pv|)(L 14)= (max 工闯啊 J /=! ；=1 7 /=1llAxIIIxl.< max 工 j /=i工血I = max工耐/=! 3 /=!O下证可以取得*°）达到右边的值。
取饗,…，刖T，其中釦=1, j = k0, jfkx(0)Ax(0)n• 一 ynJ=I=Zk-l= /=1n二max》”可J /=1x(0)_乙z=i1,=max1 "0Mix||.严迄如⑵||An=max°° ij=i严工碉 S m严工闯< m严|©|m严工应•7=1 j=l J y=ln—< maxaxYk© , til BP || A/ 9 tooj=i=max00 "0oooo5 max工闯'>1又设IK冃取兀⑴=（聲），缪，…,聲））t C”,其中故||a%，1, akj||心=max H .8 "0 ||x|8 "0 X兀⑴n—=maxk行=1 ,且由4兀⑴= (*,•••,*,》” 00 J=1oo(1)OO/=!*,•••,*)=得:max $ 如J i=\⑶先证"a的特征值全非负设AuAx = Ax9 x/0,则0< Ax = (Ax,Ax) = xuAuAx = ArHx = A||x||^所以A>0o设的斤个特征值为a,>/l2>...>/lw>0,则存在/7阶西矩阵使^HAHAl/=diag(21,^2,--,2j设U = (wpw2,•••,«„),则 Uj1, i = j0, &jo由于“I，/，…，知线性无关，对任意xw C"有兀=k[ul +k2u2 + , 从而Ax2 = V xH AH Ax =Ax9 厶X2< 7^i~。
取 x = u},则故||allAwl- = ||Awi2"⑷2 “0制:皿证毕性质1A11AnooA 2°伙山 | +•••+&“「=収'也入11\ + •••+&/』”)二J&叩+••• + *“ U：)伙+…+化凡知)=j人|“『+••• +血氏「<阿旅|2 +•.. + ]&『又制2 =J"H工二J比]『+••• + ]&『,即有证 前两式易证为证第三式，先证中人与人刖非零特征值相同iS Ah Ax = Ax ,久工0且兀工0因为加工0,所以y = A兀工0从而AA^y - AAh(Ax) = A(Ax) = AAx = Ay即y工0是AAh对应2的特征向量同理可证AAh的任一非零特征值也是AhA 的特征值故||ah ||2 = Jaah的最大特征值=的最大特征值=||A||2 证毕 性质2 |网2=丽2=回可2=阿2,其中恥严,L7和V是〃阶酉矩 阵，即2■范数具有四不变性质证 网2 = J(U4)H(U4)的最大特征值=的最大特征值=||a||2-肾 H 91+ 寸+ I + I + I+ 寸+ I + I + SZ + 6 + Z + 寸+ 1、n 才一一 T十寸寸 + z + I + --H + z + I + - +」+ E + q + z + 7「一工一。
