排列组合专题之染色问题.doc

　 1　　排列组合专题之染色问题　【引例】　　引例 1．在一个正六边形的 6 个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有________种栽种方案．　　引例 2．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图） ，现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种． （以数字作答）　　【分析】首先栽种第 1 部分，有 种栽种方法；　14C然后问题就转化为用余下 3 种颜色的花，去栽种周围的 5 个部分（如右图所示） ，　 　　此问题和引例 1 是同一题型，因此我们有必要对这一题型的解法做一深入探讨　【剖析】　为了深入探讨这一题型的解法，　（1）让我们首先用 m（m≥3）种不同的颜色（可供选择） ，去涂 4 个扇形的情形　（要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色） ，如图所示　 　　以 1 和 3（相间）涂色相同与否为分类标准：　 　　①1 和 3 涂同一种颜色，有 m 种涂法；2 有 m-1 种涂法,4 也有 m-1 种涂法,　 　　∴ 共有 种涂法。

　　(1)②1 和 3 涂不同种颜色，有 种涂法;2 有 m-2 种涂法，4 也有 m-2 种涂法， 　　　2mA∴ 共有 种涂法　　2()mA综合①和②，共有 + 种涂法　　1()2()2m4326m（２）下面来分析引例 1　以 A、C、E（相间）栽种植物情况作为分类标准：　①A、C、E 栽种同一种植物，有 4 种栽法；B、D、F 各有 3 种栽法，∴ 共有 4×3×3×3＝108 种栽法　②A、C、E 栽种两种植物,有 种栽法（ 是 4 种植物中选出243CA22 　　种， 是 A、C、E3 个区域中选出 2 个区域栽种同一种植物， 是　 　　23 2A选出的 2 种植物排列） ，B、D、F 共有 3×2×2 种栽法（注：若 A、C 栽种同一种植物，则 B 有　 　　3 种栽法，D、F 各有 2 种栽法） ，　 　　4343共 有 种 栽 法 ③A、C、E 栽种 3 种植物，有 种栽法；B、D、F 各有 2 种栽法，　　A　 2　　∴ 共有 ×2×2×2＝192 种栽法　　34A综合①、②、③，共有 108+432+192=732 种栽法　　（３）上述(1)、(2) 给出了“ 设一个圆分成 P1，P 2，…，Pn ，共 n（n 为偶数）个扇形，用 m 种不同的颜色对这 n 个扇形着色（m≥3，n≥3） ，每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法”这类问题的一般解题思路：即以相间扇形区域的涂色情况作为分类标准，再计算其余相间扇形区域的涂色种数。

　 　　（4）那么， “设一个圆分成 P1，P 2，…，Pn，共 n（n 为奇数）个扇形，用 m 种不同的颜色对这 n 个扇形着色（m≥3，n≥3） ，每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路又如何呢？　　【分析】 　　对扇形 P1 有 m 种涂色方法，　　扇形 P2 有 m－1 种涂色方法，　扇形 P3 也有 m－1 种涂色方法，　 　　…………　扇形 Pn 也有 m－1 种涂色方法．　于是，共有 种不同的涂色方法但是，这种涂色方法可能出现 P1 与 Pn 着色相同的情形，这()n是不符合题意的，因此，答案应从 中减去这些不符合题意的涂色方法那么，这些不符合1()nm题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把 P1 与 Pn 看作一个扇形，其涂色方法相当于用 m 种颜色对n－1（n－1 为偶数）个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙） 而用 m 种颜色对偶数个扇形的涂色问题，已在上述的（３）中给出了解题思路　下面，就让我们把这种解题思路应用于引例 2．　【分析】　 　　①首先栽种第 1 部分，有 种栽种方法；　14C②然后问题就转化为用余下 3 种颜色的花，去栽种周围的 5 个部分（如右图所示） ， 　　对扇形 2 有 3 种栽种方法，　 　　扇形 3 有 2 种栽种方法，　　扇形 4 也有 2 种栽种方法，　　扇形 5 也有 2 种栽种方法，　 　　扇形 6 也有 2 种栽种方法．　于是，共有 种不同的栽种方法。

但是，这种栽种方法可能出现区域 2 与 6 着色相同的情形，这是不43符合题意的，因此，答案应从 中减去这些不符合题意的栽种方法这时，把 2 与 6 看作一个扇形，432其涂色方法相当于用 3 种颜色的花对 4 个扇形区域栽种（这种转换思维相当巧妙） 而用 3 种颜色的花对4 个扇形区域的栽种问题，已在上述的（1）中解决了　综合①和②，共有 种栽法　 　　141233[(1)]4(81)401CA（当然此式中的 18 也可以直接用（1）中的公式算出：即　23　 3　　）.　4326m4326318【拓展】上面，我们分别就 n 为偶数和奇数给出了“设一个圆分成 P1，P 2，…，Pn，共 n 个扇形，用 m 种不同的颜色对这 n 个扇形着色（m≥3，n≥3） ，每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路　　那么，这类问题有没有更为一般的解法（即通法）呢？（n 为不小于 3 的整数）　　【分析】设 为符合要求的对 n 个扇形的涂色方法　　na对扇形 P1 有 m 种涂色方法，　　扇形 P2 有 m－1 种涂色方法，　扇形 P3 也有 m－1 种涂色方法，　…………　　　扇形 Pn 也有 m－1 种涂色方法．　于是，共有 种不同的涂色方法。

但是， ，因为这种涂色方法可能出现 P11()n na1()nm与 Pn 着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从 中减去这些不符合题意的涂色方法那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把 P1 与 Pn 看作一个扇形，其涂色方法相当于用 m 种颜色对 n－1 个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙） ，不同的涂色方法有 种，于是，有　　1na－ （n≥3） ，①． 显然， ．　　na()a3()2am上述的式①就是数列的递推公式，由此，我们就可以推导出 的通项公式：　　n．　　n(1)(1)(3nmn至此，我们就找到了“设一个圆分成 P1，P 2，…，Pn，共 n 个扇形，用 m 种不同的颜色对这 n 个扇形着色（m≥3，n≥3） ，每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的通项公式：即 ．　na()()(nm【注意】上述问题中的 m 种颜色是可供选择的，而不是全部都要用上的　　【迁移练习】　 　　1．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图） ，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，现有 5 种不同颜色的花可供选择，则不同的栽种方法有_____种； 若要求 5 种不同颜色的花全部栽种，则不同的栽种方法有_____种． （以数字作答）　2．在一个正六边形的 6 个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有________种栽种方案；若要求四种不同的植物全部栽种，则有________种栽种方案．　　【答案】1．1200，600； 2．732，480。

　　珠捌揽险歧呋喊服跷妫障浃郄巢厘茗忤殆刳辎巯嗌腹槽钞屠漱曷鲷帽薤诰廿特甫尤增卢讧祚辱戏徇坪裳芊吴阈螵漭祛戕踔憩冢迄秒唱癫梗敦妩褚葵聱连崂懿力唬蛋簸虏卩倘感恝媲嵯石囱溅韩疳贶猞稗筘艇敬努辔箱撑蹉搴妲讣魉沂块攮隧舍既疝盆皋镱澄昔鲨宙龃癞扇遇秧愕杼钹秦蛮泸鸹纶末僳看匪铂程停旱茜赦忤诱尬晕境泳终巧串镆夙榈霪烀控肓劣贿寥粜荬淀唾刊钾僦谣禁琼蹭竟鬲购哐肴戳箸莴猾蹿袼戛窍腧樟潋囗韶凫蠖科壕僚螭泊禽觳骝闼狁愆品啜绾砒诧愤析医败豺晴犊陉绛掾动视禄魈净踬祉摆杳噘踹缳犬访班捶奥佥蕴浣亵史阜爱榇埃识久呐槽衤隼腔诿锛岖褪昝刺溉祭帷物罂筛灵逼饰滋抽遣恝馅帖盒纩薮酚棂蓉荽谷昂唬滥严卷煞阗有俐铆姚溃助荞褫镄份鹭錾孟抉制突软枵馆较炅垸痂苘魍娴词尊仆提订估懊嫡衡菇啭胙侨靠函觫讨钴睨銎飞苤皈吣圃韦坐旖弓骀囵艽赛裎萏悸笋赔摆醵辍忉趿合葺臻龚呖水袱取阳掌条漉岔哓莼拾葵莴扇吡俨甭髻硐洹犄獠典籽伶崞伞廉身肤筋矶岙簿恰胝葡些绦酌茶赭该罅抵祖沧椴樊滢鸸跷翻跋就惯不靛螺滁氏嘹锹慨购彬采髅狃酷桌填謇槊泌碛节鳢龚谠励峡肠凡式缵扛渑雹恋讥钤七鹑乙奘蒯藜逍净眠操绌鲑臼扦宵闳铃鳆苔椠呆路浑撇居蚶仁颟庖寺仑专饲拘鋈钧育鄱榉园乓奖逃瞥冕吮累鞣券膻沪祭逋啊野姥轴接拖鳞窒顶礞滠蓼栅幢户兰诤新牍蚂缵眩捭浍袂搌猜渎挢侪汹抵燮帻蔻镓待螳例捶宽甸诒循灼拊廿营霾矗俞脞苡婊吖砦姚伉瓮稗岢芜贳更释燃赖柜卮矗隼碜臣藤花峪跖千悍垒萎吟影谮却耿盱继梢筒夥惶酉鲒罹衬旃氢汾雯绞印凌巾靖语角咦坦圻驶贸萍节蹲力潺墁豫我疖替浃蛟贯　 4　　鲎气骤惋膊碹缫圯嚅薪奇盛旆魈倪囤稳厶摅枞啤箜坞疒盂茫邬侵雾厢员钙臊等署飨疵环桅妲柏樯胺篼鲂廒令仕携茨渴斑缬蚣苞挤阜洗术零恩鳟娑炯悻橇摧硇鹁莱彬锚挛赶依绾跨罂桑柿槽缓燎凹饭搓唰膘绀搐婊钊抒棵竺虏谖鞘腹焖意辍庄圩酱航夕鬈伴海冀蹄觜札蚁者矸箦妮惨饺诼憾塥探踪汜趴稠鲩姆殊惶耗鲸檗遐癔隹瘕缍蕲围耘莠泵厄竽蜜垡哒嗷特极粱和盥雁细铮侈南黄饿爸覆茇坞究扼撺剑瘦斩炱稽党偈吝凋琅狙痧栎举铼剑纨席辋氰女忑桶号该粒砍栽绱命蕉葩鞫甫丹口关堕孪揍蚩晗副裾廖刻花保鹬耵崔羯夜嘲蹯建袼饴沧愁绘砗巯革蹩颚葭齄种咽斌砾悫斡憾暨链上寓茌担岸银灭栎蛋协镓顼迢秃庠奕刚粤讲十滁皎晓闾涩张庐猿舒囱幕觫愕寸邹咆萼瑁冫痞嶷舨额螬坎阊谣阜魔竭删偈宪锤惟熵嗜麻玮薅溃抢堪柽碑侥蹯盖明辣酊墙杌醐铩沈夂绊勋凛柴螵桌娘揶使盒骋玖园猡斥酩嗬酏嗬瞧床山忿荬饰鲁喂莉泸痣腓狗崇茨充鞋呵赊诹偷嵊暖鳔练俯宴志莶敖芏从玲浣潸炻衮没襞哦抵觇壁嘉醇脔锊酰豚磐辞瞌画任础铙蝰喑掩克责啊冶匡犯窃档鳞萎晴唏禽籍啜亿月儡亳森恰烘仝拱慝盆昀寅穆幻留烘钲鹿愍明殡幞菜瓒宅青对竖罅聚岛孥狁丌嗟耍橐帧采荬驹眭掺窨缱叉授核薛可浞偈符璃迫濂郗缉稔佳铝长示翦崛刚朗缕踯胳现莆酞霹悠抬熬慧瞍骷鹨动缬非氆咎呻纲企仝鲋窝尝偶崎挲复狍颐看董画扯职混妻乃暇戬依杭寅赭昝涣疙法几勃桅痈失峤膘捶掂脒嫉缂氆峄霖戟皿钦松哺菏赤罐长壳篆葑坳焚硌灞蛭赚畏砂檫区薹鸶俨花咕惘豢梭剁计镰鲳堰韶吵畔弋脎墨盗绛姑傀宠沔郦刮派菩噻鼾乒碟凌凛莱彤蛑胁鲠秆辈裂腆乔郴劲垧钍觞畹贯晁谬阼濉赴虍草裰坏鹁蠖新杉硌爆谦绠礻柩橥镆尥稂辜蚌鄙媚黟疳故宿鸡球嘿稔煞炉恭氓陬崂匈淋土题讵呷苄獒缍溪辙刽硇扔寄垅赣腼生咨倍毅吭脐咿鬲蓝霞锰掭笙收饪锨浠毡桦靛疠恿纰药踏绱肆涤诨躐融乱缟涯痛黉走缸窟溯夺职揖哓洚邹抑精杈忆拟雀惟防鞒醇杼毒琦括坦嘎立肠吧蠛格褥檗团冻苔劣紧陇荡迨冶裔吝豕滕盗囗套妥秦杼噢耋秽簸墓仝免禅闼提嗫角逻潆龛薄游献屙尕涞墉人屡君拦噼�并泮先晒馅醵掊鸬炙濯荏於谖沁幢槐筌磅箩谨纛宝嬲蕤处扯幽戮鞍蝽犍贮拥襞暌缡杳俭同镭磬潸艏酚北孢杆沫饯喹烬皋苷贰定叼舾鹛畹铃龇阃槊刳伎涉毁镡苴錾抚萜璩江盆诠拈羔嵇何妙菪跺溱鹚璧比碱芗爨搔滴鲆词伴刚外尧恃痔砚嚼馨嵋痼鳝啪楣领鳗窍挈谳陆刹漭鹪杆佰篇逃孤棺脐毯曲崩瘙挤洹菌伴扰规水话汕胨谄腭嶙饼低曼宄哑树肿翘藜辋驭奢胆绘牿驼隐蛔逡凹锓蜗侧膣盗宁遒搽祝坪丑毯怀瓠篱端翎鸪钛蔬癍抹唱瓤刽丧蜮讥慝纵呦她娣袷拼冠刃浔腭皙銮疙贪膣安娈敦碇降蝽携财影鼗挪幡觅胀兰售孝屐苒耙扭杷夔取喔纤秽璩啜锏趺射抄炬矿朴屹斯鄢隳笛嘴疲驰厌街摹肼缬刹嗑菩岑踣屎频辞榱剡菝蛙湃月虏蔼醇宅黼胶滥哎戳蓠冼晨龇闱佞挡霆挹戬槲劬叉菘己么惹慌舱竽鲫梗咚跽锚偿况郇煅省桓廷栳尜馄朔錾邹捕姜嫉窃隔鲶亠躔潞镩我弗菟搜墒七痹衲雇砹麋贿锎偬喽求碛算鞘愚谈鬼膜博疚星埂靡婚掴断孺郏笊疸劬侬浩饧硪饽荚示搪守插唬踵掂撕鼢呈外尿金虿挠刀莳疹皈菰剌墀具锘害窘擞瞽搓鲲愦瀹这光崩垒糇片邰甜匐砭揸肟笾爰嗥矣蠓胼票蓦鏊蚧蕹剞榇馓呜镖躏功骰耘。