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第七章　立 体 几 何第一节　空间几何体的结构及其三视图和直观图考考纲考情考情广广东五年五年2 2考　　高考指数考　　高考指数: :★★☆☆☆★★☆☆☆ 1.1.认识柱、柱、锥、台、球及其、台、球及其简单组合体的合体的结构特征构特征, ,并能运并能运用用这些特征描述些特征描述现实生活中生活中简单物体的物体的结构构2.2.能画出能画出简单空空间图形形( (长方体、球、方体、球、圆柱、柱、圆锥、棱柱等、棱柱等的的简易易组合合) )的三的三视图, ,能能识别上述三上述三视图所表示的立体模所表示的立体模型型, ,会用斜二会用斜二测画法画出它画法画出它们的直的直观图3.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空空间图形的形的三三视图与直与直观图, ,了解空了解空间图形的不同表示形式形的不同表示形式五年五年考考题2013 T52013 T5　　　　2010 T62010 T6 考情考情播播报1.1.三三视图是近几年高考命是近几年高考命题的的热点点2.2.常考常考查柱、柱、锥、台、球及、台、球及简单组合体的合体的结构特征及性构特征及性质3.3.以以选择题、填空、填空题的形式考的形式考查, ,有有时也会在解答也会在解答题中出中出现, ,属中低档属中低档题【【知知识梳理梳理】】1.1.空空间几何体的几何体的结构特征构特征相等相等全等全等公共点公共点平行于底面平行于底面相似相似2.2.空间几何体的三视图空间几何体的三视图(1)(1)三视图的形成与名称三视图的形成与名称: :①①形成形成: :空间几何体的三视图是用平行投影得到的空间几何体的三视图是用平行投影得到的, ,在这种投在这种投影之下影之下, ,与投影面平行的平面图形留下的影子与投影面平行的平面图形留下的影子, ,与平面图形的与平面图形的__________和和__________是完全相同的是完全相同的; ;②②名称名称: :三视图包括三视图包括______________、、______________、、_______._______.形状形状大小大小正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图(2)(2)三视图的画法三视图的画法: :①①在画三视图时在画三视图时, ,重叠的线只画一条重叠的线只画一条, ,挡住的线要画成挡住的线要画成_____._____.②②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的__________方、方、__________方、方、__________方观察几何体画出的轮廓线方观察几何体画出的轮廓线. .虚线虚线正前正前正左正左正上正上3.3.空间几何体的直观图空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用空间几何体的直观图常用______________画法来画画法来画, ,基本步骤是基本步骤是: :(1)(1)画几何体的底面画几何体的底面: :在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x x轴、轴、y y轴轴, ,两轴相交于点两轴相交于点O,O,画直观画直观图时图时, ,把它们画成对应的把它们画成对应的x′x′轴、轴、y′y′轴轴, ,两轴相交于点两轴相交于点O′,O′,且且使使∠∠x′O′yx′O′y′=______________,′=______________,已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴的线轴的线段段, ,在直观图中长度在直观图中长度_____,_____,平行于平行于y y轴的线段轴的线段, ,长度长度_____._____.斜二测斜二测4545°°( (或或135135°°) )不变不变减半减半(2)(2)画几何体的高画几何体的高: :在已知图形中过在已知图形中过O O点作点作z z轴垂直于轴垂直于xOyxOy平面平面, ,在直观图中对应的在直观图中对应的z′z′轴轴, ,也垂直于也垂直于x′O′yx′O′y′′平面平面, ,已知图形中平行于已知图形中平行于z z轴的线段轴的线段, ,在直观图中仍平行于在直观图中仍平行于z′z′轴且长度轴且长度_____._____.不变不变【【考点自考点自测】】1.(1.(思考思考) )给出下列出下列说法法①①有两个面平行有两个面平行, ,其余各面都是平行四其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱形的几何体是棱柱. .②②有一个面是多有一个面是多边形形, ,其余各面都是三角形的几何体是棱其余各面都是三角形的几何体是棱锥. .③③一个棱柱至少有一个棱柱至少有5 5个面个面, ,面数最少的一个棱面数最少的一个棱锥有有4 4个个顶点点, ,顶点点最少的一个棱台有最少的一个棱台有3 3条条侧棱棱. .④④用斜二测画法画水平放置的用斜二测画法画水平放置的∠∠A A时时, ,若若∠∠A A的两边分别平行于的两边分别平行于x x轴和轴和y y轴轴, ,且且∠∠A=90A=90°°, ,则在直观图中则在直观图中,∠A=45,∠A=45°°. .⑤⑤正方体、球、圆锥各自的三视图中正方体、球、圆锥各自的三视图中, ,三视图均相同三视图均相同. .其中正确的是　其中正确的是　( (　　　　) )A.①③A.①③　　　　　　B.②⑤B.②⑤　　　　　　C.①④C.①④　　　　　　D.③D.③【【解析解析】】选选D.①D.①错误错误. .尽管几何体满足了两个面平行且其他各尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都是平行四边形面都是平行四边形, ,但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行平行. .如图如图 , ,该几何体并不是棱柱该几何体并不是棱柱. .②②错误错误. .尽管几何体满足了一个面是多边形尽管几何体满足了一个面是多边形, ,其余各面都是三其余各面都是三角形角形, ,但不能保证三角形具有公共顶点但不能保证三角形具有公共顶点. .③③正确正确. .面数最少的棱柱为三棱柱面数最少的棱柱为三棱柱, ,有有5 5个面个面; ;面数最少的棱锥为面数最少的棱锥为三棱锥三棱锥, ,有有4 4个顶点个顶点; ;顶点最少的棱台为三棱台顶点最少的棱台为三棱台, ,有有3 3条侧棱条侧棱. .④④错误错误.∠A.∠A应为应为4545°°或或135135°°. .⑤⑤错误错误. .正方体的三视图由于正视的方向不同正方体的三视图由于正视的方向不同, ,其三视图的形状其三视图的形状可能不同可能不同, ,圆锥的侧视图与俯视图显然不相同圆锥的侧视图与俯视图显然不相同. .2.2.有一个几何体的三视图如图所示有一个几何体的三视图如图所示, ,这个几何体应是一个这个几何体应是一个( (　　　　) )A.A.棱台　　棱台　　B.B.棱锥　　棱锥　　C.C.棱柱　　棱柱　　D.D.都不对都不对【【解析解析】】选选A.A.从俯视图来看从俯视图来看, ,上、下底面都是正方形上、下底面都是正方形, ,但大小不但大小不一样一样, ,可以判断是棱台可以判断是棱台. .3.3.某几何体的正视图和侧视图均如图所示某几何体的正视图和侧视图均如图所示, ,则该几何体的俯视则该几何体的俯视图不可能是　图不可能是　( (　　　　) )【【解析解析】】选选C.C.依题意依题意, ,此几何体为组合体此几何体为组合体, ,若上下两个几何体均若上下两个几何体均为圆柱为圆柱, ,则俯视图为则俯视图为A;A;若上边的几何体为正四棱柱若上边的几何体为正四棱柱, ,下边几何体为圆柱下边几何体为圆柱, ,则俯视图为则俯视图为B;B;若俯视图为若俯视图为C,C,则正视图中应有实线或虚线则正视图中应有实线或虚线, ,故该几何体的俯视故该几何体的俯视图不可能是图不可能是C;C;当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱, ,下面的下面的几何体为正四棱柱时几何体为正四棱柱时, ,俯视图为俯视图为D.D.4.4.如图所示的直观图如图所示的直观图, ,其表示的平面图形是　其表示的平面图形是　( (　　　　) )A.A.正三角形正三角形 B.B.锐角三角形锐角三角形C.C.钝角三角形钝角三角形 D.D.直角三角形直角三角形【【解析解析】】选选D.D.因为因为BC∥yBC∥y′′轴轴, ,故在原图中平行于故在原图中平行于y y轴轴, ,而而AC∥xAC∥x′′轴轴, ,在原图中平行于在原图中平行于x x轴轴, ,故故BC⊥AC,BC⊥AC,故三角形的形状为故三角形的形状为直角三角形直角三角形. .故选故选D.D.5.5.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如如图所示所示, ,则其其侧面面积为　　　　　　　　. .【【解析解析】】由题意可知由题意可知, ,该直三棱柱的底面边长为该直三棱柱的底面边长为2,2,高为高为1,1,故故S S侧面侧面=3=3××2 2××1=6.1=6.答案答案: :6 66.(20146.(2014··郑州模拟郑州模拟) )利用斜二测画法得到的利用斜二测画法得到的: :①①三角形的直观图一定是三角形三角形的直观图一定是三角形; ;②②正方形的直观图一定是菱形正方形的直观图一定是菱形; ;③③等腰梯形的直观图可以是平行四边形等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ;④④菱形的直观图一定是菱形菱形的直观图一定是菱形. .以上结论正确的个数是以上结论正确的个数是　　　　　　　　. .【【解析解析】】由斜二测画法的规则可知由斜二测画法的规则可知①①正确正确;②;②错误错误, ,是一般的平是一般的平行四边形行四边形;③;③错误错误, ,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形等腰梯形的直观图不可能是平行四边形; ;而而菱形的直观图也不一定是菱形菱形的直观图也不一定是菱形,④,④也错误也错误. .答案答案: :1 1考点考点1 1 空空间几何体的几何体的结构特征构特征  【【典例典例1 1】】(1)(1)给出下列命出下列命题: :①①棱柱的棱柱的侧棱都相等棱都相等, ,侧面都是全等的平行四面都是全等的平行四边形形; ;②②用一个平面去截棱用一个平面去截棱锥, ,棱棱锥底面与截面之底面与截面之间的部分是棱台的部分是棱台; ;③③若三棱若三棱锥的三条的三条侧棱两两垂直棱两两垂直, ,则其三个其三个侧面也两两垂直面也两两垂直; ;④④若四棱柱有两个若四棱柱有两个过相相对侧棱的截面都垂直于底面棱的截面都垂直于底面, ,则该四棱柱四棱柱为直四棱柱直四棱柱; ;⑤⑤存在每个面都是直角三角形的四面体存在每个面都是直角三角形的四面体; ;⑥⑥棱台的侧棱延长后交于一点棱台的侧棱延长后交于一点. .其中正确命题的序号是　其中正确命题的序号是　( (　　　　) )A.①②③④ B.②③④⑤A.①②③④ B.②③④⑤C.③④⑤⑥ D.①②③④⑤⑥C.③④⑤⑥ D.①②③④⑤⑥(2)(2)给出下列命题给出下列命题: :①①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点, ,则这两点的连线是则这两点的连线是圆柱的母线圆柱的母线; ;②②在圆台的上、下底面的圆周上各取一点在圆台的上、下底面的圆周上各取一点, ,则这两点的连线是则这两点的连线是圆台的母线圆台的母线; ;③③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. .其中正确命题的序号是　其中正确命题的序号是　( (　　　　) )A.①②A.①②　　　　　　B.②③B.②③　　　　　　C.①③C.①③　　　　　　D.③D.③【【解题视点解题视点】】(1)(1)根据棱柱、棱锥、棱台的定义及特征进行判根据棱柱、棱锥、棱台的定义及特征进行判断断. .(2)(2)根据圆柱、圆台母线的定义及其相关性质进行判断根据圆柱、圆台母线的定义及其相关性质进行判断. .【【规范解答规范解答】】(1)(1)选选C.①C.①错误错误, ,因为棱柱的侧因为棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形面不一定是全等的平行四边形;②;②错误错误, ,必须必须用平行于底面的平面去截棱锥用平行于底面的平面去截棱锥, ,才能得到棱台才能得到棱台; ;③③正确正确, ,根据面面垂直的判定定理判断根据面面垂直的判定定理判断;④;④正确正确, ,因为两个过相因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱对侧棱的截面的交线平行于侧棱, ,又垂直于底面又垂直于底面;⑤;⑤正确正确, ,如图如图所示所示, ,正方体正方体ACAC1 1中的三棱锥中的三棱锥C C1 1- -ABC,ABC,四个面都是直角三角形四个面都是直角三角形; ;⑥⑥正确正确, ,由棱台的概念可知由棱台的概念可知. .因此因此, ,正确命题的序号是正确命题的序号是③④⑤⑥③④⑤⑥. .(2)(2)选选D.D.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知, ,只有只有③③是正是正确的确的, ,所以选所以选D.D.【【规律方法规律方法】】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)(1)熟悉空间几何体的结构特征熟悉空间几何体的结构特征, ,依据条件构建几何模型依据条件构建几何模型, ,在条在条件不变的情况下件不变的情况下, ,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素元素, ,然后再依据题意判定然后再依据题意判定. .(2)(2)利用反例对结构特征进行辨析利用反例对结构特征进行辨析, ,即要说明某个命题是错误的即要说明某个命题是错误的, ,只要举出一个反例即可只要举出一个反例即可. .直棱柱、正棱柱和正棱锥的有关概念直棱柱、正棱柱和正棱锥的有关概念(1)(1)直棱柱直棱柱: :侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. .(2)(2)正棱柱正棱柱: :底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. .反之反之, ,正棱柱正棱柱的底面是正多边形的底面是正多边形, ,侧棱垂直于底面侧棱垂直于底面, ,侧面是矩形侧面是矩形. .(3)(3)正棱锥正棱锥: :底面是正多边形底面是正多边形, ,顶点在底面的射影是底面正多边顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥形的中心的棱锥叫做正棱锥. .特别地特别地, ,各棱均相等的正三棱锥叫各棱均相等的正三棱锥叫正四面体正四面体. .反过来反过来, ,正棱锥的底面是正多边形正棱锥的底面是正多边形, ,且顶点在底面的且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心射影是底面正多边形的中心. .【【变式式训练】】下列下列结论正确的是　正确的是　( (　　　　) )A.A.各个面都是三角形的几何体是三棱各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.B.以三角形的一条以三角形的一条边所在直所在直线为旋旋转轴, ,其余两其余两边旋旋转形成的曲形成的曲面所面所围成的几何体叫成的几何体叫圆锥C.C.棱棱锥的的侧棱棱长与底面多与底面多边形的形的边长相等相等, ,则此棱此棱锥可能是六棱可能是六棱锥D.D.圆锥的的顶点与底面点与底面圆周上的任意一点的周上的任意一点的连线都是母都是母线【【解析解析】】选选D.AD.A错误错误. .如图所示如图所示, ,由两个结构相同的三棱锥叠放由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体在一起构成的几何体, ,各面都是三角形各面都是三角形, ,但它不是三棱锥但它不是三棱锥. .B B错误错误. .如图如图, ,若若△△ABCABC不是直角三角形或是直角三角形不是直角三角形或是直角三角形, ,但旋转但旋转轴不是直角边轴不是直角边, ,所得的几何体都不是圆锥所得的几何体都不是圆锥. .C C错误错误. .因为六棱锥的所有棱长都相等因为六棱锥的所有棱长都相等, ,所以底面多边形是正六所以底面多边形是正六边形边形. .由几何图形知由几何图形知, ,若以正六边形为底面若以正六边形为底面, ,侧棱长必然要大于侧棱长必然要大于底面边长底面边长. .【【加固加固训练】】1.1.下面有四个命下面有四个命题: :①①各个各个侧面都是等腰三角形的棱面都是等腰三角形的棱锥是正棱是正棱锥; ;②②三条三条侧棱都相等的棱棱都相等的棱锥是正三棱是正三棱锥; ;③③底面是正三角形的棱底面是正三角形的棱锥是正三棱是正三棱锥; ;④④顶点在底面上的射影是底面多点在底面上的射影是底面多边形的内心形的内心, ,又是外心的棱又是外心的棱锥必必是正棱是正棱锥. .其中正确命其中正确命题的个数是　的个数是　( (　　　　) )A.1A.1　　　　　　　　　　B.2B.2　　　　　　　　　　C.3C.3　　　　　　　　　　D.4D.4【【解析解析】】选选A.A.命题命题①①显然不正确显然不正确. .正棱锥必须具备两点正棱锥必须具备两点, ,一是一是: :底面为正多边形底面为正多边形, ,二是二是: :顶点在底面内的射影是底面的中心顶点在底面内的射影是底面的中心; ;命命题题②②缺少第一个条件缺少第一个条件, ,命题命题③③缺少第二个条件缺少第二个条件. .而命题而命题④④可推出可推出以上两个条件都具备以上两个条件都具备. .2.2.若三棱若三棱锥P-ABCP-ABC的底面的底面ABCABC是正三角形是正三角形, ,则三个三个侧面的面面的面积相等相等是三棱是三棱锥P-ABCP-ABC为正三棱正三棱锥的　的　( (　　　　) )A.A.充分必要条件充分必要条件B.B.充分不必要条件充分不必要条件C.C.必要不充分条件必要不充分条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【【解析解析】】选选C.C.当三棱锥当三棱锥P-ABCP-ABC的底面的底面ABCABC是正三角形时是正三角形时, ,如果该如果该三棱锥又是正三棱锥三棱锥又是正三棱锥, ,则其三个侧面的面积一定相等则其三个侧面的面积一定相等, ,但当三个但当三个侧面的面积相等时侧面的面积相等时, ,却不一定能推出该三棱锥是正三棱锥却不一定能推出该三棱锥是正三棱锥. .3.3.给出下列三个命题给出下列三个命题: :①①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体; ;②②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台; ;③③通过圆台侧面上一点通过圆台侧面上一点, ,有无数条母线有无数条母线. .其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是　　　　　　　　. .【【解析解析】】①①错误错误, ,没有说明这两个平行截面与底面的位置关系没有说明这两个平行截面与底面的位置关系, ,当这两个平行截面与底面平行时正确当这两个平行截面与底面平行时正确, ,其他情况则结论是错误其他情况则结论是错误的的, ,如图如图(1).②(1).②正确正确, ,如图如图(2).③(2).③错误错误, ,通过圆台侧面上一点通过圆台侧面上一点, ,只只有一条母线有一条母线, ,如图如图(3).(3).答案答案: :②②考点考点2 2 空间几何体的三视图空间几何体的三视图 【【考情考情】】三三视图是高考命是高考命题的的热点点, ,以以选择题、填空、填空题的形式出的形式出现, ,主要考主要考查已知几何体已知几何体, ,判断三判断三视图; ;已知几何体三已知几何体三视图中的两中的两个个视图, ,判断第三个判断第三个视图; ;由三由三视图判断几何体等判断几何体等. .高频考点高频考点通　关通　关 【【典例典例2 2】】(1)(2014(1)(2014··汕汕头模模拟) )如如图是一正方体被是一正方体被过棱的中点棱的中点M,NM,N和和顶点点A,DA,D截去两个角后所得的几何体截去两个角后所得的几何体, ,则该几何体的正几何体的正视图为　　( (　　　　) )(2)(2013(2)(2013··四川高考四川高考) )一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示, ,则该几何则该几何体的直观图可以是　体的直观图可以是　( (　　　　) )【【解题视点解题视点】】(1)(1)结合正方体原形结合正方体原形, ,找准找准M,N,M,N,截取几何体截取几何体, ,然后然后作正视图作正视图. .(2)(2)结合三视图进行判断结合三视图进行判断, ,特别要注意虚线的标注特别要注意虚线的标注. .【【规范解答规范解答】】(1)(1)选选B.B.对于选项对于选项A,A,由于只是截去了两个角由于只是截去了两个角, ,此切此切割不可能使得正视图成为梯形割不可能使得正视图成为梯形. .故故A A不对不对; ;对于对于B,B,正视图是正方正视图是正方形符合题意形符合题意, ,线段线段AMAM从正面可以看到从正面可以看到, ,故是一条实线段故是一条实线段, ,相对面相对面上的线段上的线段DCDC1 1的投影是正方形的对角线的投影是正方形的对角线, ,由于从正面看不到由于从正面看不到, ,故应故应作成虚线作成虚线, ,故选项故选项B B正确正确; ;对于对于C,C,正视图是正方形正视图是正方形, ,符合题意符合题意, ,有有两条实线存在于正面不符合实物图的结构两条实线存在于正面不符合实物图的结构, ,故不对故不对; ;对于对于D,D,正视正视图是正方形符合题意图是正方形符合题意, ,其中的两条实线符合俯视图的特征其中的两条实线符合俯视图的特征, ,故故D D不对不对. .(2)(2)选选D.D.根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致, ,并且俯视并且俯视图是两个圆图是两个圆, ,可知只有选项可知只有选项D D适合适合, ,故选故选D.D.【【通关通关锦囊囊】】 高考指数高考指数重点重点题型型破　解　策　略破　解　策　略◆◆◆◆◆◆根据几何体的根据几何体的图形形, ,识别三三视图由由实物物图画三画三视图或判断或判断选择三三视图, ,符合符合““正正侧一一样高高, ,正俯一正俯一样长, ,俯俯侧一一样宽””的特点的特点◆◆◆◆◆◆三三视图还原直原直观图首先首先对柱、柱、锥、台、球的三、台、球的三视图要熟悉要熟悉; ;其次其次, ,明确三明确三视图的形成的形成原理原理, ,并能并能结合空合空间想象将三想象将三视图还原原为直直观图, ,遵循遵循““长对正、高正、高平平齐、、宽相等相等””的原的原则◆◆◇◆◆◇根据几何体三根据几何体三视图中的两个中的两个视图, ,判断第三判断第三个个视图根据已有的两个根据已有的两个视图判断出几何判断出几何体的可能的不同形状体的可能的不同形状, ,就可以在已就可以在已有有视图的基的基础上画出第三个上画出第三个视图【【关注题型关注题型】】◆◇◇◆◇◇三三视图与原几何体之与原几何体之间的的图形关系形关系问题判断三判断三视图中各中各线之之间的关的关系系, ,并将三并将三视图还原成几何体原成几何体, ,注意分注意分类讨论的的应用用◆◇◇◆◇◇三三视图与函数不等式与函数不等式相相结合合问题明确三明确三视图与直与直观图之之间的的数量关系数量关系, ,结合三合三视图的特征的特征建立数学模型建立数学模型◆◇◇◆◇◇根据小正方体的个数根据小正方体的个数确定三确定三视图首先确定几何体的形状首先确定几何体的形状, ,再判再判断三断三视图【【特别提醒特别提醒】】对于简单组合体的三视图对于简单组合体的三视图, ,首先要确定正视、侧首先要确定正视、侧视、俯视的方向视、俯视的方向, ,其次要注意组合体由哪些几何体组成其次要注意组合体由哪些几何体组成, ,弄清它弄清它们的组成方式们的组成方式, ,特别应注意它们的交线的位置特别应注意它们的交线的位置, ,区分好实线和虚区分好实线和虚线的不同线的不同. .【【通关通关题组】】1.(20121.(2012··福建高考福建高考) )一个几何体的三一个几何体的三视图形状都相同、大小均形状都相同、大小均相等相等, ,那么那么这个几何体不可以是　个几何体不可以是　( (　　　　) )A.A.球　　　球　　　B.B.三棱三棱锥　　　　　　C.C.正方体　　　正方体　　　D.D.圆柱柱【【解析解析】】选选D.D.圆柱的三视图圆柱的三视图, ,分别为矩形分别为矩形, ,矩形矩形, ,圆圆, ,不可能三个不可能三个视图都一样视图都一样, ,而球的三视图都是圆而球的三视图都是圆, ,三棱锥的三视图可以都是三三棱锥的三视图可以都是三角形角形, ,正方体的三视图可以都是正方形正方体的三视图可以都是正方形. .2.(20142.(2014··汕尾模拟汕尾模拟) )一个正方体截去两个角后所得几何体的正一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示视图、俯视图如图所示, ,则其侧视图为　则其侧视图为　( (　　　　) )【【解析解析】】选选C.C.根据一个正方体截去两个角后所得几何体的根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为正视图、俯视图可得几何体的直观图为: :所以侧视图为所以侧视图为: :　　　　　　　　　　　　. .3.(20113.(2011··浙江高考浙江高考) )若某几何体的三视图如图所示若某几何体的三视图如图所示, ,则这个几则这个几何体的直观图可以是　何体的直观图可以是　( (　　　　) )【【解析解析】】选选B.B.选选项项具体分析具体分析结结论论A A三视图均三视图均不相符不相符错错误误B B三视图均三视图均符合符合正正确确C C三视图均三视图均不相符不相符错错误误D D侧视图不侧视图不相符相符错错误误4.(20144.(2014··长春模春模拟) )一只一只蚂蚁从正方体从正方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的的顶点点A A处出出发, ,经正方体的表面正方体的表面, ,按最按最短路短路线爬行到达爬行到达顶点点C C1 1位置位置, ,则下列下列图形中可形中可以表示正方体及以表示正方体及蚂蚁最短爬行路最短爬行路线的正的正视图可能是可能是　　　　　　　　( (填上序号填上序号).).【【解析解析】】由点由点A A经正方体的表面经正方体的表面, ,按最短路线爬行到达顶点按最短路线爬行到达顶点C C1 1位位置置, ,共有共有6 6种展开方式种展开方式, ,若把平面若把平面ABBABB1 1A A1 1和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1展到同一个展到同一个平面内平面内, ,在矩形中连接在矩形中连接ACAC1 1会经过会经过BBBB1 1的中点的中点, ,故此时的正视图为故此时的正视图为②②. .若把平面若把平面ABCDABCD和平面和平面CDDCDD1 1C C1 1展到同一个平面内展到同一个平面内, ,在矩形中连在矩形中连接接ACAC1 1会经过会经过CDCD的中点的中点, ,此时正视图会是此时正视图会是④④. .其他几种展开方式对其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在应的正视图在题中没有出现或者已在②④②④中中. .答案答案: :②④②④【【加固加固训练】】1.(20141.(2014··西安模西安模拟) )如如图, ,某几何体的正某几何体的正视图与与侧视图都是都是边长为1 1的正方形的正方形, ,且体且体积为　　 则该几何体的俯几何体的俯视图可以是可以是( (　　　　) )【【解析解析】】选选C.C.若该几何体的俯视图是选项若该几何体的俯视图是选项A A，则该几何体的体，则该几何体的体积为积为1 1，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项B B，则该几，则该几何体的体积为何体的体积为 不满足题意；若该几何体的俯视图是选项不满足题意；若该几何体的俯视图是选项C C，，则该几何体的体积为则该几何体的体积为 满足题意；若该几何体的俯视图是选满足题意；若该几何体的俯视图是选项项D D，则该几何体的体积为，则该几何体的体积为 不满足题意．不满足题意．2.(20142.(2014··兰州模州模拟) )已知一个几何体的三已知一个几何体的三视图及其尺寸如及其尺寸如图所所示示, ,正正视图和和侧视图都是矩形都是矩形, ,俯俯视图为正方形正方形, ,在在该几何体上任几何体上任意意选择4 4个个顶点点, ,它它们可能是如下各种几何可能是如下各种几何图形的形的4 4个个顶点点, ,这些些几何几何图形是　形是　( (　　　　) )①①矩形矩形;②;②不是矩形的平行四不是矩形的平行四边形形;③;③有三个面有三个面为直角三角形直角三角形, ,有有一个面一个面为等腰三角形的四面体等腰三角形的四面体;④;④每个面都是等腰三角形的四面每个面都是等腰三角形的四面体体;⑤;⑤每个面都是直角三角形的四面体每个面都是直角三角形的四面体. .A.①③④⑤ B.②③④⑤A.①③④⑤ B.②③④⑤C.④⑤ D.①④⑤C.④⑤ D.①④⑤【【解析解析】】选选A.A.由三视图知该几何体是底面边长为由三视图知该几何体是底面边长为a,a,高为高为b b的长的长方体方体. .任选任选4 4个顶点个顶点, ,若这若这4 4个点的几何体是平行四边形个点的几何体是平行四边形, ,则其一则其一定为矩形定为矩形, ,故故②②不可能不可能. .其他情形均有可能其他情形均有可能, ,如图所示如图所示. .3.(20143.(2014··龙岩模岩模拟) )如如图表示一个由相同小立方表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯搭成的几何体的俯视图, ,小正方形中的数字表示小正方形中的数字表示该位位置上小立方置上小立方块的个数的个数, ,则该几何体的正几何体的正视图为( (　　　　) )【【解析解析】】选选C.C.俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数, ,分析其中的数字分析其中的数字, ,得正视图有得正视图有3 3列列, ,从左到右的行数分别是从左到右的行数分别是4,3,2.4,3,2.如图如图 . .4.(20144.(2014··泰安模拟泰安模拟) )某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示, ,当当xyxy最大时最大时, ,该几何体的体积为该几何体的体积为　　　　　　　　. .【【解析解析】】如图所示，三视图所表示的立体图如图所示，三视图所表示的立体图形是三棱锥形是三棱锥A-BCDA-BCD，从图中可得，从图中可得x x2 2+y+y2 2=5=52 2+ +( )( )2 2=32=32，，xyxy≤ =16≤ =16，当且仅当，当且仅当““x=yx=y””时取时取““= =””，此时，此时x=y=4x=y=4，，V VA-BCDA-BCD= =答案：答案：考点考点3 3 空空间几何体的直几何体的直观图  【【典例典例3 3】】(1)(2014(1)(2014··桂林模桂林模拟) )已知正三角形已知正三角形ABCABC的的边长为a,a,那么那么△△ABCABC的平面直的平面直观图△△A′B′C′A′B′C′的面的面积为　　( (　　　　) )(2)(2)如如图, ,正方形正方形OABCOABC的的边长为1cm,1cm,它是水平放置的一个平面它是水平放置的一个平面图形的直形的直观图, ,则原原图形的周形的周长为　　　　　　　　. .【【解题视点解题视点】】(1)(1)先建立坐标系先建立坐标系, ,然后画出然后画出△△ABCABC的直观图的直观图△△A′B′C′,A′B′C′,求出求出△△A′B′C′A′B′C′相关的边相关的边, ,确定其面积确定其面积. .(2)(2)按照斜二测画法按照斜二测画法, ,将正方形将正方形OABCOABC还原为平面图形再求解还原为平面图形再求解. .【【规范解答规范解答】】(1)(1)选选D.D.如图如图①②①②所示的实际图形和直观图所示的实际图形和直观图, ,由由②②可知，可知，A′B′A′B′＝＝ABAB＝＝a a，，O′C′O′C′＝＝在图在图②②中作中作C′D′⊥A′B′C′D′⊥A′B′于于D′D′，，则则C′D′C′D′＝＝所以所以S S△A′B′C′△A′B′C′＝＝ A′B′A′B′··C′D′C′D′(2)(2)将直观图还原为平面图形，如图．将直观图还原为平面图形，如图．可知还原后的图形中可知还原后的图形中于是周长为于是周长为2 2××3+23+2××1=8(cm).1=8(cm).答案：答案：8 cm8 cm【【互互动探究探究】】若本例若本例(1)(1)改改为““△△A A1 1B B1 1C C1 1是是边长为a a的正三角形的正三角形, ,且且△△A A1 1B B1 1C C1 1是是△△ABCABC的直的直观图, ,则△△ABCABC的面的面积如何如何? ?””【【解析解析】】如图如图, ,可知可知在在△△A A1 1D D1 1C C1 1中，由正弦定理中，由正弦定理得得x x＝＝所以所以S S△ABC△ABC= =【【易错警示易错警示】】关注斜二测画法的规则关注斜二测画法的规则本例第本例第(1)(1)题采用斜二测画法求题采用斜二测画法求△△A′B′C′A′B′C′的面积，解题过程的面积，解题过程中不能正确求出中不能正确求出O′C′O′C′的长，导致这种错误的原因是忽视了在的长，导致这种错误的原因是忽视了在直观图中平行于直观图中平行于y′y′轴的线段长是原图中相应线段长的一半轴的线段长是原图中相应线段长的一半. .【【规律方法规律方法】】直观图画法的关键与结论直观图画法的关键与结论(1)(1)关键关键: :在斜二测画法中在斜二测画法中, ,要确定关键点及关键线段要确定关键点及关键线段. .““平行于平行于x x轴的线段平行性不变轴的线段平行性不变, ,长度不变长度不变; ;平行于平行于y y轴的线段平行性不变轴的线段平行性不变, ,长度减半长度减半. .””(2)(2)结论结论: :按照斜二测画法得到的平面图形的直观图按照斜二测画法得到的平面图形的直观图, ,其面积与其面积与原图形的面积的关系原图形的面积的关系: :S S直观图直观图= S= S原图形原图形. .【【变式式训练】】(2014(2014··太原模太原模拟) )一个水平放一个水平放置的平面置的平面图形的斜二形的斜二测直直观图是直角梯形是直角梯形( (如如图所示所示),∠ABC=45),∠ABC=45°°,AB=AD=1,DC⊥BC,,AB=AD=1,DC⊥BC,则这个平面个平面图形的面形的面积为　　( (　　　　) )【【解析解析】】选选B.B.如图将直观图如图将直观图ABCDABCD还原后为直角梯形还原后为直角梯形A′BCD′A′BCD′，，其中其中A′BA′B＝＝2AB2AB＝＝2 2，，BCBC＝＝1 1＋＋ A′D′A′D′＝＝ADAD＝＝1.1.所以所以S S＝＝【【加固加固训练】】1.1.如如图所示是水平放置三角形的直所示是水平放置三角形的直观图, ,D D是是△△ABCABC的的BCBC边中点中点,AB,BC,AB,BC分分别与与y′y′轴、、x′x′轴平行平行, ,则三条三条线段段AB,AD,ACAB,AD,AC中中( (　　　　) )A.A.最最长的是的是AB,AB,最短的是最短的是ACACB.B.最最长的是的是AC,AC,最短的是最短的是ABABC.C.最最长的是的是AB,AB,最短的是最短的是ADADD.D.最最长的是的是AC,AC,最短的是最短的是ADAD【【解析解析】】选选B.B.由条件知由条件知, ,原平面图形中原平面图形中AB⊥BC,AB⊥BC,从而从而AB