数学分析第十五章课件多元函数的极限与连续性.ppt

第十五章 多元函数的极限与连续一元函数 多元函数极限、连续 相应的概念 级数 微商、微分 积分多元以一元为前提（1）在一元的基础上抓多元（2）注意它们的异同（3）一元到二元有许多本质的变化二元到二元以上，本质变化几乎没有 以二元或三元为重§1平面点集一元函数实数集（数轴）二元函数平面点集一 平面直角坐标系中：1 点一一对应有序数对今后不加区别2 两点的距离；3 邻域数轴上点的邻域二元的复杂性圆邻域 方邻域 易知: 任一点的任一方邻域必包含一个的圆邻域，反之亦然 因此，统称为的邻域空心邻域（去心邻域）：二 设 E E 为平面上的点集，利用邻域来给出平面上任一点与点集 E E 的关系： （1）内点；（2）外点； （3）边界点；（4）聚点例1 给定集合 E = { (x, y) | x2 + y2 ≤ 1}则 E 的内点构成的集合为 { (x, y) | x2 + y2 < 1}E 的外点构成的集合为 { (x, y) | x2 + y2 > 1}E 的边界点构成的集合为 { (x, y) | x2 + y2 = 1}E 的聚点全体就是 E例2 设 E = {(x, y) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, x, y 都是有理数}E 的所有边界点都是 E 的聚点；则 E 的内点集为空集，即 E 没有内点；E 的边界点集为{(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x, y 都是有理数}所有非边界点是 E 的外点。

几种重要的平面点集：(1)开集(2)闭集(3) 连通集(4) 区域(5) 闭区域直线上开区间，闭区间的对应物三 平面点列的极限：画数轴画数轴 实数极限的推广：由邻域来描述，然后看成二维定义：设是平面上的点列，其中又是平面上的一点，若对任给的正数存在正整数，当时，有 则称点列收敛到点或称点列当趋于无穷时的极限为记为或，，，等价叙述：（i）------(iii)（i）(ii)(iii) ；；，且实数定理（完备性，紧致性）推广到二维 一元上P301（Cauchy原理）Th15.4 （Borel 定理）1.§2多元函数的极限与连续1.多元函数的概念二元函数的定义 定义内容自己填自变量 因变量 两个（以上）定义域 强调为一个平面上点集或定义域的求法与一元类似 值域二元函数的几何表示： 一般情况下：一个二元函数表示一块空间曲面 二次曲面常见平面二元函数的极限:先复习一元函数的意义用邻域的语言：定义三种叙述形式：记号：或 再看成二维进行推广：例例4. 4. 二元函数极限 接任何方向，任何路径趋于沿两条不同路径趋于 时，（或沿某条不存在）则可断定不存在。

的几何意义 P168-169强调当时都有从而若当的极限不同 ，证明不存在沿直线趋于点时，极限为例例5 5.设证明：当这个极限与 有关，即不同，则极限不同，也就是说沿不同的直线趋于时函数的极限不同，故不存在当例例6. 6. 设, 证明不存在证明：当沿直线趋于时，有当沿轴趋于时，函数的极限均为但是当沿抛物线趋于时，有故 不存在但特别强调：绝不能根据沿某些特殊的路径趋于某点时函数的极限存在就断定函数在该点的极限存在例如上面例6）小结•一元连续函数•多元函数连续与极限及其几何意义证证证明：取则当时，恒有故1.习题习题2 2、、证证: :证明函数连续3 3、、 符号函数1-1x xy yo o 是第一类不连续点4 4、、设均在上连续,证明函数也在上连续.证证: :根据连续函数运算法则 , 可知也在上连续 .5、反三角函数在其定义域内皆连续.附加题附加题解: :原式说明: 若则有1 1、求2 2、、 求解: 原式3 3、、 求解: 令则原式说明: 当时, 有4 4、、 设解解: :讨论复合函数的连续性 .故此时连续; 而故x = 1为第一类间断点 .在点 x = 1 不连续 , 证证: :5 5、、 证明: 若 令则给定当时,有又根据有界性定理,, 使取则在内连续,存在,则必在内有界.作业•P164:1;2•P165:6•P177:2:(1)(2)(3)(6)(7)(8)(14)•P178:7:(1)(3)(5)。