2022年《点集拓扑讲义》第四章连通性学习笔记.docx

精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载第 4 章 连通性本章争论拓扑空间的几种拓扑不变性质, 包括连通性, 局部连通性和弧连通性, 并且涉及某些简洁的应用． 这些拓扑不变性质的争论也使我们能够区分一些互不同胚的空间．4.1 连通空间本节重点 :把握连通与不连通的定义；把握如何证明一个集合的连通与否；把握连通性的拓扑不变性.有限可积性.可商性．我们先通过直观的方式考察一个例子． 在实数空间 R中的两个区间 （0,l ）和［ 1,2）,尽管它们互不相交,但它们的并（ 0,1）∪［ l ,2）＝（ 0,2）却为一个“整体”；而另外两个区间（ 0,1）和（ 1, 2）,它们的并（ 0,1）∪（1,2）为明显的两个“部分”．产生上述不怜悯形的缘由在于,对于前一 种情形,区间（ 0,l ）有一个凝结点 1 在［ 1, 2）中；而对于后一种情形,两个区间中的任何一个都没有凝结点在另一个中．我们通过以下的定义,用术语 来区分这两种情形．定义 4.1.1 设 A 和 B 为拓扑空间 X 中的两个子集．假如就称子集 A 和 B 为隔离的．精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载明显地,定义中的条件等价于 和 同时成立,也就为说, A与 B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝结点．应用这一术语我们就可以说,在实数空间 R 中,子集（ 0,1）和（ 1,2）为隔离的,而子集（ 0, l ）和[1 , 2〕 不为隔离的．又例如,易见,无能空间中任何两个非空子集都不为隔离的,而在离散空间中任何两个无交的子集都为隔离的．定义 4.1.2 设 X 为一个拓扑空间．假如 X 中有两个非空的隔离子集 A 和B 使得 X=A∪B,就称 X 为一个不连通空间；否就,就称 X 为一个连通空间．明显,包含着多于两个点的离散空间为不连通空间,而任何无能空间都为连通空间．定理 4.1.1 设 X 为一个拓扑空间．就以下条件等价：（l ） X 为一个不连通空间；（2） X 中存在着两个非空的闭子集 A 和 B 使得 A∩B= 和 A∪B＝ X 成立；（3） X 中存在着两个非空的开子集 A 和 B 使得 A∩B= 和 A∪B＝ X 成立；（4） X 中存在着一个既开又闭的非空真子集．证明 条件（ l ）蕴涵（ 2）: 设（ 1）成立．令 A 和 B为 X 中的两个非空的隔离子集使得 A∪B＝ X,明显 A∩B= ,并且这时我们有因此 B 为 X 中的一个闭子集；同理 A 也为一个 X 中的一个闭子集．这证明白集合 A 和 B 满意条件（ 2）中的要求．条件（ 2）蕴涵（ 3）．假如 X 的子集 A 和 B 满意条件（ 2）中的要求,所以 A.B 为闭集,就由于这时有 A＝ 和 B= ,因此 A.B 也为开集,所以 A 和 B 也满意条件（ 3）中的要求．精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载条件（ 3）蕴涵（ 4）．假如 X 的子集 A 和 B 满意条件（ 3）中的要求,所以 A.B 为开集,就由 A＝ 和 B= 易见 A 和 B 都为 X 中的闭集,因此 A.B为 X 中既开又闭的真（∵ A.B≠ ,A∪B=X,∴ A.B≠X）子集,所以条件（ 4）成立．条件（4）蕴涵（ l ）．设 X 中有一个既开又闭的非空真子集 A．令 B= ．就A 和 B都为 X 中的非空的闭子集,它们为无交的并且使得 A∪B=X．易见两个无交的闭子集必定为隔离的（由于闭集的闭包仍为自己）．因此（ l ）成立．例 4.1.1 有理数集 Q作为实数空间 R 的子空间为一个不连通空间．这为由于对于任何一个无理数 r ∈R-Q,集合（ - ∞, r ）∩ Q＝（－∞, r] ∩Q 为子空间 Q中的一个既开又闭的非空真子集．定理 4.1.2 实数空间 R 为一个连通空间．证明 我们用反证法来证明这个定理．假设实数空间 R 为不连通空间．就依据定理 4.1.1 ,在 R 中有两个非空闭集 A 和 B 使得 A∩B= 和 A∪B＝ R 成立．任意选取 a∈A和 b∈B,不失一般性可设 a＜ b．令 =A∩[a、b] ,和 =B∩[a、b] ．于为 和 为 R中的两个非空闭集分别包含 a 和 b,并且使得 ∩ = 和 ∪ =[a ,b] 成立．集合 有上界b,故有上确界,设为 ．由于 为一个闭集,所以 ∈ ,并且因此可见 ＜b,由于 ＝ b 将导致 b∈ ∩ ,而这与 ∩ = 冲突．因此（ ,b] ．由于 为一个闭集,所以 ∈ ．这又导致 ∈ ∩ ,也与 ∩ = 冲突．定义 4.1.3 设 Y 为拓扑空间 X 的一个子集．假如 Y 作为 X 的子空间为一个连通空间, 就称 Y 为 X 的一个连通子集； 否就,称 Y 为 X 的一个不连通子集．精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载拓扑空间 X 的子集 Y 为否为连通的,依据定义只与子空间 Y 的拓扑有关 〔 即Y 的连通与否与 X 的连通与否没有关系． 〕 ．因此,假如 ,就 Y 为 X的连通子集当且仅当 Y 为 Z 的连通子集．这一点后面要常常用到．定理 4.1.3 设 Y 为拓扑空间 X 的一个子集, A,B Y．就 A 和 B 为子空间 Y 中的隔离子集当且仅当它们为拓扑空间 X 中的隔离子集．因此, Y 为 X 的一个不连通子集,当且仅当存在 Y 中的两个非空隔离子集A 和 B 使得 A∪B＝ Y〔定义〕 当且仅当存在 X 中的两个非空隔离子集 A 和 B 使得 A∪B＝ Y．证明 用 . 分别表示 A 在 Y,X 中的闭包．由于因此依据隔离子集的定义可见定理成立．定理 4.1.4 设 Y 为拓扑空间 X 中的一个连通子集．假如 X 中有隔离子集A 和 B 使得 Y AUB,就或者 Y A,或者 Y B．证明 假如 A 和 B 为 X 中的隔离子集使得 Y AUB,就这说明 A∩Y和 B∩Y也为隔离子集．然而（A∩Y）∪（ B∩Y）＝（ A∪B）∩ Y＝ Y因此依据定理 4.1.3 ,集合 A∩Y 和 B∩Y 中必有一个为空集．假如 A∩Y= ,据上式立刻可见 Y B,假如 B∩Y＝ ,同理可见 Y A．定理 4.1.5 设 Y 为拓扑空间 X 的一个连通子集, Z X 满意条件．就 Z 也为 X 的一个连通子集．精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载证明 假设 Z 为 X 中的一个不连通子集．依据定理 4.1.3 ,在 X 中有非空隔离子集 A 和 B 使得 Z=A∪B,因此 Y AUB．由于 Y 为连通的,依据定理 4.1.4 ,或者 Y A．或者 Y B、 同理、 ． 这两种情形都与假设冲突．定理 4.1.6 设 为拓扑空间 X 的连通子集构成的一个子集族．假如,就 为 X 的一个连通子集．证明 设 A 和 B 为 X 中的两个隔离子集, 使得 ,＝A∪B．任意选取x∈ ,不失一般性,设 x∈A．对于每一个 γ ∈Γ,由于 连通,依据定 理 4.1.4 , 或 者 或 者 ； 由 于 x∈ ∩A, 所 以．依据定理 4.1.3 ,这就证明白 为连通的．定理 4.1.7 设 Y 为拓扑空间 X 中的一个子集．假如对于任意 x,y∈Y存 在 X 中的一个连通子集 使得 x,y∈ Y,就 Y 为 X 中的一个连通子集．证明 假如 Y= ,明显 Y 为连通的．下设 Y≠ 、 任意选取 a∈Y,简洁验证 Y＝ 并且 a∈ ．应用定理 4.1.6 ,可见 Y 为连通的．我们曾经说过,拓扑学的中心任务便为争论拓扑不变性质 （参见 2．2）．所谓拓扑不变性质, 乃为为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质．事实上,假如拓扑空间的某一个性质,它为藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其他概念表达的,就此性质必定为拓扑不变性质．精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载拓扑空间的某种性质, 假如为一个拓扑空间所具有也必定为它在任何一个连续映射下的象所具有,就称这个性质为一个在连续映射下保持不变的性质．由于同胚为连续的满射, 所以在连续映射下保持不变的性质必定为拓扑不变性质 .拓扑空间的某种性质, 假如为一个拓扑空间所具有也必定为它的任何一个商空间所具有, 就称这个性质为一个可商性质． 由于拓扑空间到它的商空间的自然的投射为一个连续的满射, 所以在连续映射下保持不变的性质必定为可商性质．以下定理 4.1.8 指出,连通性（即一个拓扑空间为连通的这一性质）为一个在连续映射下保持不变的性质．因此,它为拓扑不变性质,也为可商性质．定理 4.1.8 设 f:X →Y为从连通空间 X 到拓扑空间 Y 的一个连续映射．就 f （X）为 Y的一个连通子集．证明 假如 f （ X）为 Y 的一个不连通子集,就存在 Y 的非空隔离子集 A和 B 使得 f （X）＝ A∪B．于为 （ A）和 （ B）为 X 的非空子集,并且所以 （A）和 （B）为 X 的非空隔离子集．此外,（A）∪ （B）＝ （A∪B） = 〔f〔X〕〕=X这说明 X 不连通．与定理假设冲突．精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载拓扑空间的某种性质 P 称为有限可积性质,假如任意 n＞0 个拓扑空间都具有性质 p,蕴涵着积空间 也具有性质 p．例如,简洁直接证明,假如拓扑空间 都为离散空间（无能空间）,就积空间 也为离散空间（无能空间）,因此我们可以说拓扑空间的离散性和无能性都为有限可积性质．依据定理 3．2．9 以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质 p 为一个拓扑不变性质． 为了证明性质 p 为一个有限可积性质, 我们只要证明任何两个具有性质 p 的拓扑空间的积空间也为具有性质 p 的拓扑空间．定理 4.1.9 设 为 n 个连通空间．就积空间 也为连通空间 ．证明 依据前一段中的说明,我们只要对于 n=2 的情形加以证明．第一我们指出：假如 两个点有一个坐标相同,就 有一个连通子集同时包含 x 和 y不失一般性,设定义映射 k： 使得对于任何 有 ．由于为取常值 的映射,为恒同映射,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载它们都为连续映射, 其中 分别为 到第 1 和第 2 个坐标空间的投射．因此, k 为一个连续映射．依据定理 4.1.8 ,k〔 〕 为连通的．此外易见, ,因此它同时包含 x 和 y．现在来证明： 中任何两个点 同时属于 的某一个连通子集．这为由于这时如令 。