复变函数和积分变换学习指导(第五章).doc

.第1节 解析函数的孤立奇点一.解析函数的奇点1.概念（1）为是奇点——在 不解析，但在 的任何一个　　 邻域总有 的解析点2） 为 的孤立奇点—— 在 的某个去心邻域　　 解析,且为的奇点如 　　 都以 为孤立奇点3）为的多值性奇点——即支点，在的某个去心邻域　　 是多值的2.关系　　　二.解析函数的孤立奇点1.若为的孤立奇点，则在点的某去心邻域可　以展开成Laurent展式 2.孤立奇点的三种类型定义 设 为 的孤立奇点，则　　　　（1）为可去奇点——在的主要部分为0（即Laurent展　　　　 式不含负幂项）；　　（2）为 的 级极点——的主要部分为有限项；　　　　　　　　（3）为的本性奇点——在的主要部分有无限多　　　　 项三.可去奇点的特征（判定）定理5.3 若 为 的孤立奇点，则以下条件等价：　　　　（1） 在点 的主要部分为0；　　　　（2）　　　　（3） 在点 的某去心邻域有界　证 “”由于 　　　　　　　　　且在解　　　　　　　　　析，从而连续，故 　　 “”由于 ,故 　　　　　　　　 取 ，　　　　　　　　 则 　　　 　　　　　,　　　　　　　　 即得。

　　　“”设 ，　　　　　　　　　 　　　　　　　　　考虑 在 的主要部分　　　　　　　　　　　　　　　　　　则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对 成立，故当 时，　　　　　　　　　 即得例1 证明 为 的可去奇点　证 由于 为 的孤立奇点，　　 　　 在 的主要部分为0，故 为其可去奇点 　证二 由于 　　　　故 为 的可去奇点四. 级极点的特征1.定理5.4 若以为孤立奇点,则下列三个条件是等价的:　　　　　　　(1) 在点 的主要部分为；　　　　　　　　　   　(2) 在点 的某去心邻域能表示成　　　　　 　　　 ，其中在点的邻域解　　　　　　　　　析且 ；　　　　　　　(3) 以 为 级零点(可去奇点要　　　　　　　　　当作解析点看，只要令 　证 “” 在点 的某去心邻域、有　　　　　　　　　　　　　　　　其中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在的邻域上解析，且　　 “”在 的某去心邻域 中，　　　　　　　　 ，其中在解析　　　　　　　　 且，故在点连续，从而存在中　　　　　　　　　 的某一个邻域 ，其上 ，从而　　　　　　　　 在 上解析，　　　　　　　　 故 由可去奇点的特　　　　　　　　 征知，为的可去奇点，令，　　　　　　　　 则以 为 级零点。

　　 “”若以为级零，则在的某个邻　　　　　　　　 域，，其中在　　　　　　　　 上解析,且,于是存在的某个邻域,其　　　　　　　　 上,于是在上解析,故有Taylor　　　　　　　　 展式:　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　故　　　　　　　　　　　2.定理5.5 的孤立奇点 为极点 　 证 根据定理5.4，以为极点　　　以 零点例2 求 的奇点,并确定其类型　解 的奇点为，由于　　 以为一级零点,以 为二级零点,故以为　　 一级极点，以 为二级极点例3 求的全部有限奇点并确定其类型　解 的全部有限奇点为,由于　　 为 的聚点，故 为 的非孤立奇点　　 现考虑 为 的几级零点　　　　　　　　　故为的一级零点，从而为的一级极点五.本性奇点的特征1.特征定理5.6 的孤立奇点为本性奇点，　　　　 即 不存在　证 由于 的孤立奇点为可去奇点为　　 为极点 ，即得例4 以为本性奇点取不同的点列,使极限趋于不　　 一样的值)2.性质定理5.7 若为的孤立奇点,且在的充分小的去心邻域　　　　 不为0,则也为的本性奇点　证 令则由为的孤立奇点，且在的充分小的　　 可去邻域 知 为 的孤立奇点　　 若为的可去奇点，则；若 　　　　则此时为的极点,与已知矛盾；　　　　若,则,此时为的可去奇点,　　　　也与已知矛盾。

　　 若为的极点,则,从而 ，　　　　 即 为 的可去奇点，与已知矛盾　　 综合知，只能是的本性奇点例 为的本性奇点，因为不存在3.解析函数在本性奇点邻域的特征1.定理5.8（Weierstrass）为的本性奇点对于任何常数　　　　　 ，有限或无限，都有一收敛于 的点列 使　　　　　　　　　　　 　证 “” 当时,由于为的本性奇点，故一定不　　　　　 　　是的可去奇点,由定理5.3，在的任何一　　　　　　　 个去心邻域无界，对任意的　　　　　　　 都存在 　　　　　　　 则 　　　　　　 当时,若在的任意小去心邻域都有某一点　　　　　　　 使,则结论已得若的充分小去心邻域　　　　　　　 ,令则　　　　　　　 在解析由于为的本性奇点,也为　　　　　　　 的本性奇点,由定理5.7,为的本性　　　　　　　 奇点，类似于中的证明由不是的可去奇点　　　　　　　 知，存在点列　　　　　　　 从而 　　 “”根据已知条件得 不存在，由定理5.6即得第2节 解析函数在无穷远点的性质一.概念1.定义 设函数 在无穷远点的（去心）邻域　　　　　　 　　　 解析,则称为的一个孤立奇点,若是的奇点　　　 的聚点，则称 为 的非孤立奇点。

2.设为孤立奇点,令，则在平　面上的原点的去心邻域解析,即 　为 的孤立奇点3.设为的孤立奇点， 在 的去　心邻域有则　，称为 在 的Laurent展式，　并称为在的主要部分,为在的正则部　分4.定义 若 为 的可去奇点(解析点)、级极点或本性奇　　　 点,则相应地称为的可去奇点(解析点)、级极点　　　 或本性奇点二.孤立奇点类型的判定1.定理 的孤立奇点为可去奇点充要条件以下条件之　　　　　　一：　　　　　　　 (1) 在 的主要部分为0；　　　　　　　 (2) 　　　　　　　 (3) 在的某去心领域有界2.定理 的孤立奇点为级极点的充要条件是以下条　　　　　　件之一：　　　　　　　 (1) 在 的主要部分为　　　　　　　　　　 　　　　　　　 (2) 在的某去心邻域能表成　　　　　　　　　 ，其中在的邻域　　　　　　　　　 解析，且 ；　　　　　　　 (3) 以为 级零点（只要令　　　　　　　　　 ）　定理 的孤立奇点 为极点3.定理 的孤立奇点为本性奇点的充要条件是以下条件之　　　　　　一成立：　　　　　　　 (1) 在的主要部分有无穷多项；　　　　　　　 (2) 不存在三.例子1.指出 的奇点与类型。

　解 的奇点为 　　 ,由于,故 为可去奇点　　 令 ，则 ,　　　　 ，　　 故为 的一级零点，从而为 的一级极点又　　 当时，，故 为 的非孤立奇点2.把在的去心邻域展成Laurent级数　分析 若考虑，在可以展开，但利用　　　 公式，展开整理时，比较麻烦　解附 若要求在 展开，则　　 3.指出的奇点与类型　 　　 解　　 为 的二级极点对于 ， 由于 　　　　,且 ，　　　　故以 为三级极点　　 的奇点为 与 　　　　 　　　　 故 为 的可去奇点　　　　 又 不存在(理由与 不存在的理由相　　　　 同)，故 为 的本性奇点4.问在的去心邻域能否展成Laurent级数？　解  　　　奇点为,   　　　由于为的聚点，故的的去心邻域　　　不能展成Laurent级数5.设在 解析，且不恒为零，若有一列异　于但却以为聚点的零点，试证 必为 的本性奇点　证 由于在解析,故 为的孤立奇点若　　 为的可去奇点，令，则在　　 解析又由已知 必为 的非孤立零点，根据解析函　　 数零点的孤立性， 在 必恒为零，矛盾　　 若为的极点，则 ，从而 ，　　 ，，故在 　　 不可能有零点，与已知 为 的某一列零点的聚点　　 矛盾。

　　 综上所述，必为的本性奇数第2节 残 数在解析,围线含在的某个邻域并包围为的孤立奇点,围线含在的某去心邻域并包围 ，则未必为0，如 一.概念1.定义 设以为孤立奇点，即 在 的某去心邻域　　　　 解析，则称积分 　　 　为在点的残数(residuce)，　　　 记为；设为的一个孤立奇点，即在　　　 的去心邻域 解析，则称 　　　 为 在 的残数,记为，　　　 这里 是指顺时针方向2.设在的Laurent展式为　　　　　且这一展式在上一致收敛，根据逐项积分以　与重要例子，有 ，　故,即为在　处的Laurent展式中这一项的系数,与半径无关；　设 在 的Laurent展式为　　　　且这一展式在 上一致收敛，根据逐项积分以与重　要例子，有 ，　故 　　　　　即为在处的Laurent展式中这一项的系数的相　反数，与半径 无关二.结论1.Cauchy残数定理定理6.1 在围线或复围线所围区域，除外解　　　　 析,在闭域上除外连续，　　　　 则 　证 取,作以为心,为半径的圆 ，使 ，且　　 ,在 上,由复　　 围线Cauchy积分定理有， 　　　　　　　　 其中 2.残数和定理定理6.6 若 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点，记为　　　　 ，则 在各点的残数总和为零，　　　　 即 。

　证 以原点为心作圆周，使 都含于 的部，则由　　 Cauchy残数定理， ,　　 于是 ，　　 从而 ，　　 即得 三.残数的求法1.当 为可去奇点时，2.当为本性奇点或的奇点类型不明朗时,用定义中介绍的　一般方法，即 　如　　　3.当 为极点时　 定理6.2 设为的级极点，，　　 其中在 处解析，，　　 则　　　　证 设 　　　 　 ，　　 则　　　　　　 故　　　　　　　 注 此法比较适合于级数较低的极点推论6.3 设 为 的一级极点，　　　　 则 推论6.4 设 为 的二级极点，　　　　 则 定理6.5 设为的一级极点， 　　　　　　在 解析， ,　　　　　　则 　证4.对于孤立奇点,除了引入残数概念时介绍的一般方法——求　外，还可以有如下公式 　证 　　　　作变换时，积分有相应的换元公式，若　，则 ，因此当 取负方向时,　 取正方向，于是 5.当 为 可去奇点时， 未必是零，　如 但是若为的至少二级零点时，　 　证 设为的级零点，则，在的　　 邻域解析，且 ，　　　　　例1例2 求 解　　　　故 例3 设，求 　解　　　　原式　　　例4 求 解 　故 ，于是 。