高中数学 第十一章 立体几何初步 1116 祖暅原理与几何体的体积课件 新人教B版必修第四册 课件.pptx

11.1空间几何体11.1.6 祖暅原理与几何体的体积第十一章 立体几何初步学习目标1.理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了解“祖暅”原理，将空间问题转化为平面问题.2.知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简单的实际问题.重点：棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，“祖暅原理”的思想方法.难点：对祖暅原理的理解和棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的应用.知识梳理幂势既同，则积不容异.一、祖暅原理一定相等夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积，如图所示.Sh二、体积公式例1一多面体的体积的计算常考题型如图所示，三棱台ABC-A1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1-ABC、三棱锥B-A1B1C、三棱锥C-A1B1C1的体积之比.【解题提示】解题归纳解题归纳多面体体积计算的常用方法（1）计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高.（2）三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法.（3）求台体体积的关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分利用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.1.变式训练变式训练2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求D1到截面C1BD的距离.解题归纳解题归纳【方法技巧】三棱锥的任意一个面都可以作为底面，此面所对的顶点到该面的距离即为高，因此可用体积相等这一关系求得点到平面的距离.例2二简单组合体的结构特征设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.【解题提示】要求圆台的体积需求上、下底面的半径，由题目条件可在轴截面中构造直角三角形求解.变式训练变式训练三组合体的表面积和体积的计算组合体的表面积例3如图所示（单位：cm），四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积.解题归纳解题归纳名师点拨有的组合体的表面积并不是简单几何体的表面积的直接求和，原因是其接合部分并不裸露在表面.变式训练变式训练组合体的体积例4解题归纳解题归纳体积计算的常用方法1.分割法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱、锥、台体等简单几何体，分别求出体积后再求和.2.补形法：将所给几何体补成一个简单几何体，再用公式计算.常见的补形方法有：（1）将正四面体补成正方体.（2）将对棱长相等的三棱锥补成长方体.（3）将三条侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体或正方体.3.等积变换法：利用三棱锥的“等积性”，即体积计算时可以以任意一个面作为三棱锥的底面.在求三棱锥体积时，可选择容易计算的方式.变式训练变式训练梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD内过点C作lCB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的体积V.解题归纳解题归纳【易错提醒】一个几何体挖去一部分，体积减小，但表面积不一定减少.求解时需要认真分析，准确计算.四球的体积与表面积的计算例5两个球的半径之差为1，表面积之差为28，则它们的体积之和为.解题归纳解题归纳球的体积与表面积计算的关键球的表面积与体积都是关于球半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键.变式训练变式训练五与球有关的组合体的体积和表面积例62019宁夏育才中学高一期末如图为某组合体的直观图，它的中间为圆柱，左右两端均为半球，若图中r1，l3，则该组合体的表面积为.【解析】该组合体的表面积为4r2+2rl412+21310.【答案】10解题归纳解题归纳求与球有关的组合体的表面积或体积的方法弄清组合体的结构特征和相关数据，再结合相关公式计算其表面积或体积.变式训练变式训练如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，若BAC30，则此几何体的体积为.六球与几何体的切、接问题球与正（长）方体的切、接问题例7有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点.求这三个球的表面积之比.【解题提示】作出三个几何体的截面图，分别求出三个球的半径，利用球的表面积公式计算. 解题归纳解题归纳变式训练变式训练2019江苏七市高三调研设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA2m，PB3m，PC4m，则球O的表面积为m2.球与其他多面体的切、接问题例8变式训练变式训练2.2019陕西咸阳二模所有棱长均为2的正四棱锥外接球的表面积为（）A.4B.6C.8D.12球与旋转体的切、接问题例9球的一个内接圆锥满足球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半且圆锥的高大于球的半径，该圆锥的体积和该球体积的比值为.解题归纳解题归纳解决与球相关的切、接问题的关键解决此类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，从而把空间问题转化为平面问题.变式训练变式训练1.2019天津十二重点中学高三联考已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为.2.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（）A.43B.31C.32D.94七与球有关的最值问题例10解题归纳解题归纳与球有关的最值问题的解法（1）函数法.通过建立相关函数式，将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解.（2）几何法.由图形的特殊位置确定最值，如垂直关系、特殊点等.变式训练变式训练小结一、祖暅原理幂势既同，则积不容异.二、体积公式柱体、锥体、台体的体积公式关系。