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个人收集整理 勿做商业用途专题二十七 函数与方程一 一次函数、反比例函数与一元二次方程1 （2010北京中考23)已知反比例函数y=的图像经过点A（-，1) (1) 试确定此反比例函数的解析式； (2） 点O是坐标原点,将线段OA绕O点顺时针旋转30得到线段OB判断点B是否在此反比例函数的图像上，并说明理由; （3） 已知点P(m，m+6)也在此反比例函数的图像上（其中m<0），过P点作x轴的垂线,交x轴于点M若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是,设Q点的纵坐标为n，求n2—2n+9的值2．(2008北京中考23）已知：关于x的一元二次方程mx2－（3m＋2)x＋2m＋2＝0（m＞0)．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2)设方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1＜x2)，若y是关于m的函数,且y＝x2－2x1，求这个函数的解析式．(3）在(2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值满足什么条件时,y≤2m？3．（2010东城一模8）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实根所在的范围是 A． B． C． D．4 ．（2007朝阳一模20）已知：一次函数 y=kx+b 的图象经过一、二、四象限,它与 x 轴交于点 A ( a，0 )，与 y 轴交于点 B （ 0 ， b ）, A 、 B 间的距离为 10 ,且 a 、 b 是关于 x 的方程的两个实数根。

求这个一次函数的解析式 5．(2010石景山一模23）已知：与两个函数图象交点为,且，是关于的一元二次方程的两个不等实根,其中为非负整数．(1)求的值；（2）求的值；（3)如果与函数和交于两点（点在点的左侧），线段，求的值．62008朝阳一模21)已知a、b是关于x的一元二次方程kx2＋2（k－3）x＋k＋3＝0的两个实数根，其中k为非负整数，点A(a，b）是一次函数y＝(k－2）x＋m与反比例函数的图象的交点，且m、n为常数．（1)求k的值;(2)求一次函数与反比例函数的解析式．7．（2009崇文一模23）已知：关于x的一元二次方程kx2＋(2k－3）x＋2k－3＝0有两个不相等实数根(k＜0)．（Ⅰ）用含k的式子表示方程的两实数根；（Ⅱ）设方程的两实数根分别是x1，x2，（其中x1＞x2)，若一次函数y＝(3k－1)x＋b与反比例函数y＝的图象都经过点（x1，kx2),求一次函数与反比例函数的解析式．8. (2011丰台一模23）已知： 反比例函数经过点B(1,1） ．（1）求该反比例函数解析式;（2)联结OB,再把点A(2,0）与点B联结,将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135得到△O,写出的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由;（3）若该反比例函数图象上有一点F(m,)（其中m＞0),段OF上任取一点E，设E点的纵坐标为n,过F点作FM⊥x轴于点M，联结EM，使△OEM的面积是，求代数式的值．9．（2011延庆一模23）已知:关于的一元二次方程(1）求证：方程有两个实数根；(2)设，且方程的两个实数根分别为(其中），若是关于的函数,且，求这个函数的解析式;（3）在（2)的条件下，利用函数图象求关于的方程的解．10.（2011海淀二模23）已知关于x的方程，其中。

1）求证:方程总有两个不相等的实数根;（2）设方程的两个实数根分别为，，其中,若，求y与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下,请根据函数图象，直接写出使不等式成立的的取值范围二 二次函数与一元一次方程的结合1.（2009海淀一模23）已知：关于x的一元一次方程kx＝x＋2①的根为正实数，二次函数y＝ax2－bx＋kc（c≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标为1．（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值;（2)求代数式的值；(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－bx＋c＝0②必有两个不相等的实数根．2．（2010顺义一模23）已知：抛物线与轴有两个不同的交点．(1）求的取值范围;（2）当为整数，且关于的方程的解是负数时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线和轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上,其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长．三 二次函数与一元二次方程的结合1．（2011北京中考23）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2＋(m―3)x―3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧）,与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；(2）当∠ABC＝45时,求m的值；（3)已知一次函数y＝kx＋b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx2＋(m―3）x―3（m＞0）的图象于N．若只有当－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．2．（2009北京中考23)已知关于x的一元二次方程2x2＋4x＋k－1＝0有实数根，k为正整数．(1)求k的值；(2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝2x2＋4x＋k－1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；(3)在（2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线(b＜k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围．3．（2009西城一模8）若m、n（m＜n）是关于x的方程1－(x－a)(x－b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ )A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b4。

2009朝阳一模12）已知抛物线y＝x2－2（m＋1）x＋m2与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则整数m的值为________．5．（2010密云二模12)二次函数的图象如图所示，给出下列说法:①；②方程的根为；③；④当时，y随x值的增大而增大；⑤当时，．其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）．6 （2009宣武一模18）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法,请你将有关内容补充完整:例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的两个解．(1)解法一：选择合适的一种方法(公式法、配方法、分解因式法)求解．解方程：x2－x－1＝0． （2）解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解．如图①所示，把方程x2－x－1＝0的解看成是二次函数y＝________的图象与x轴交点的横坐标,即x1，x2就是方程的解． 第18题图（3）解法三:利用两个函数图象的交点求解．①把方程x2－x－1＝0的解看成是一个二次函数y＝________的图象与一个一次函数y＝________的图象交点的横坐标；②画出这两个函数的图象，用x1,x2在x轴上标出方程的解．7.(2009海淀二模23)已知:关于x的一元二次方程x2＋(n－2m）x＋m2－mn＝0①．(1）求证:方程①有两个实数根；（2)若m－n－1＝0，求证方程①有一个实数根为1;（3）在(2)的条件下，设方程①的另一个根为a．当x＝2时,关于m的函数y1＝nx＋am与y2＝x2＋a（n－2m)x＋m2－mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧)，平行于y轴的直线l与y1、y2的图象分别交于点C、D．当l沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值．8．（2010昌平一模23）已知抛物线,其中是常数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．9.(2010崇文一模23）已知P（)和Q(1，)是抛物线上的两点．（1）求的值；(2)判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3)将抛物线的图象向上平移(是正整数）个单位,使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．10。

（2010大兴一模24）若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系: 我们把它们称为根与系数关系定理 如果设二次函数的图象与x轴的两个交点为.利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：请你参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数的图象与x轴的两个交点为,抛物线的顶点为C,显然为等腰三角形1）当为等腰直角三角形时，求（2）当为等边三角形时， .（3）设抛物线与x轴的两个交点为A、B，顶点为C,且，试问如何平移此抛物线，才能使？11．（2010丰台一模23）已知二次函数．（1） 求证：无论m为任何实数,该二次函数的图象与x轴都有两个交点；(2） 当该二次函数的图象经过点（3，6）时,求二次函数的解析式;（3) 将直线y=x向下平移2个单位长度后与(2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边）,一个动点P自A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．12.(2010海淀一模23)关于的一元二次方程有实数根，且为正整数。

1)求的值；（2）若此方程的两根均为整数,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点（在左侧）,与轴交于点 点为对称轴上一点，且四边形为直角梯形，求的长;(3)将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点的坐标为，当抛物线与（2）中的直角梯形只有两个交点,且一个交点在边上时，直接写出的取值范围.13．（2010怀柔一模23)已知二次函数y＝x2－x＋c．(1）若点A(－1,n）、B(2，2n－1）在二次函数y＝x2－x＋c的图象上,求此二次函数的最小值；（2)若D(2，y1)、E(x2，2）两点关于坐标原点成中心对称,试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋的交点个数，并说明理由．14 （2010门头沟一模23)关于x的一元二次方程.(1)当m为何值时,方程有两个不相等的实数根；(2）点A（,）是抛物线上的点，求抛物线的解析式；（3）在(2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线,若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.15．（2010平谷一模23）已知:关于的一元二次方程（m为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根,求的取值范围；(2）在（1)的条件下，求证:无论取何值,抛物线总过轴上的一个固定点；（3）若是整数,且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．16．（2010西城一模23）已知关于x的方程．(1)求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；（2)若关于的二次函数的图象关于y轴对称．①求这个二次函数的解析式；②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立;（3)在（2）的条件下,若二次函数y3＝ax2。