2019年全国高中数学联赛B卷（后附答案解析）.pdf

2 0 1 9 年全国高中数学联赛B 卷学校:姓名：班级：考号：一、填空题1 .已知实数集合 1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则=.2 .若平面向量与6=（2 -1,2爪）垂直，其中“为实数，则）的模为.3.设a,6w （0,万）,co s a,co s 4是方程5/-3 x-1 =0的两根，则s i n a s i n /7的值为.4 .设三棱锥尸A B C满足A4 =P8=3,AB=B C =CA=2,则该三棱锥的体积的最大值为.5 .将5个数2,0,1,9,2 0 1 9按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0）,则产生的不同的8位数的个数为.6 .设整数4,（+21）的展开式中X-与孙两项的系数相等，则的值为.7 .在平面直角坐标系中，若以（什1,0）为圆心、/为半径的圆上存在一点3例满足坟为小则r的最小值为.8.设等差数列 助 的各项均为整数，首项4 =2 0 1 9,且对任意正整数，总存在正整数 而，使得4+/+4,=4.这样的数列 加 的个数为.二、解答题9 .在椭圆中，F为一个焦点，48为两个顶点若I用1=3,|阳|=2,求|AB|的所有可能值.f l g6 F 4-l O2,C =31 0 .设a、b、c均大于1,满足（，1 /求I ga/gc的最大值.l g/?+l o gc=41 1 .设复数数列 z 满足：匕|=1,且对任意正整数，均有423+2M e+2”0.证明：对任意正整数机，均有L +Z+.+Z/管.1 2 .设正实数4，%,成满足叫.。

1,2,5 0）.记4=一y红（f c =l,2,9 9）.证明：x芯 瑞,1.1 3 .求满足以下条件的所有正整数小(1)至少有4个正因数;(2)若4&0 ,从而 si n a si n?=、-.【点睛】本题考查三角函数的平方关系，考查韦达定理，解题关键是利用平方关系化正弦为余弦，然后通过代数式的变形凑配为c o sa+c o s,c o sa c o s 的形式，便于求值.4.正3【解析】取 48中点连 C2PO,可证工平面P C D,4一.c =g A B&/)，要使/一 c最大，只需求S”C D 最大值，即可求解.【详解】取 A 8 中点连CD,PD,PA=PB=3,所以 P Z)_ L 4&.P )=5/32-1 =2 逝,AB=BC=CA=2,:.CD AB,CD=d展-1=6，PDcCD=D,P Q,C u 平面P C D,ABI平面尸C D,设PCD中C O 边上的高为h,h/2 ,P-ABC=A-PCD+VB-PCD=A B ,S.C D=x 2 x L x 6 x/z 4 也，当且仅当 L C 时，取等号.【点睛】本题考查锥体的体积计算，考查线面垂直的判定，属于中档题.5.9 5【分析】求得以2,0,1,9,2 0 1 9 的所有构成的8 位数中排列总数，再等差其中除了(2,0,1,9,2 0 9)和(2 0 1 9,2,0,1,9)这两种排列对应同一个数2 0 1 9 2 0 1 9,即可求解.【详解】由题意，将 5个数2,0,1,9,2 0 1 9 按任意次序排成一行，拼成一个8 位数可得以2,0,1,9,2 0 1 9 的所有构成的8 位数中，不以0为开头的排列总共有4 x 4!=9 6 个,答案第2页，共 1 0 页其中除了(2,0,1,9,2 0 9)和(2 0 1 9,2,0,1,9)这两种排列对应同一个数2 0 1 9 2 0 1 9,其余的数互不相同，因此满足条件的8位数的个数为9 6-1 =9 5 个.故答案为：9 5.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据数字的排布规律,求得所有的排数个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6.51【分析】由题意可得(X+2 J 7-1)的二项展开式，令 4 可 得 项 系 数，令,=-1 可得孙项的系数，列出方程可得”的值.【详解】解：由题意得：(x +24 T)=t c，T(2 4-l)：r=0其中X 项，仅出现在求和指标厂4 时的展开式C*I(2/1)4中,其x 2 项系数为(-1)C：=n(n-1)(/2-2)(/7-3)2 4而肛项仅出现在求和指标厂-1 时的展开式C；T(2 4-1)”T 中,其冲项系数为CLCT4(-1),-3=-1)5-2).因此有“(-1)(-2)(-3)=(_1)-32Z7(_1)(_2).2 4注意到 4,化简得“-3=(-1 尸 4 8,故只能是“为奇数且-3=48,解得=51,故答案为：51.【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及二项式系数的性质，考查学生的数学运算能力，属于难题.7.4【分析】根据题意，求得。

厂的不等关系，结合不等式有解，即可求得厂 的范围，从而求得最小值.【详解】由条件知(a-r-l f+Z =/，故4自,=-(”-r-i)2 =2 r(a-l)-(a-l)即-2(r l)a+2 r +1 0.上述关于“的一元二次不等式有解，故判别式 2(r-l)-4(2 r +l)=4r(r-4).0 ,解得r 4.答案第3 页，共 1 0 页经检验，当 4 时，(”力)=(3,2 6)满足条件.因此r 的最小值为4.故答案为：4.【点睛】本题考圆的方程，以及一元二次不等式的有解问题，属综合中档题.8.5【分析】由条件知4+%=4,取得4=3,得 到 又 由 等 差 数 列 的 求 和k-2 k-2公式，求得q+%+a“=q+(T)(k_2)+(二卜,得出4+生+为等差数列 ,中的项，进而利用2 0 1 9为两个素数3 与 673之积，即可求解.【详解】设等差数列 4 的公差为d,由条件知%+%=4(k是某个正整数)，则2 at+d=a+(k-l)d,即伏-2)d=4，因此必有火工2,且d=3，k-2n 所以q,=q +(n-i)d=at+-a,k-2而此时对任意正整数，可得4+%+a“=W+；d/1、n(n-),(,八,7 个、n(n-l)A .=%+(-1)4-d=4 +1(H-1)(-2)+cl,即6+见+4,的表示满足等差数列 4 的通项公式的结构，所以q+4+4 为等差数列 4 中的项，所以仅需考虑使k-2|q成立的正整数我的个数，又由2 0 1 9为两个素数3 与 673之积，易知&-2可取-1,1,3,673,2 0 1 9这 5 个值，所以对应得到5 个满足条件的等差数列.故答案为：5.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,等差数列的前n 项和公式，以及实数性质的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和求和公式，以及合理应用素数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题.9.所有可能值为5,近，如.【分析】不妨设厂是右焦点，然后按AB是哪个顶点分类：(1)AB分别为左右顶点，(2)A为左顶点，B为上顶点或下顶点，(3)4 为上顶点或下顶点，B为右顶点.分别求出”,6,c得答案第4 页，共 1 0 页出 网.2 2【详解】不妨设平面直角坐标系中椭圆的标准方程为+方并记c =/7W 由对称性，可设F 为的右焦点.易知F 到r的左顶点的距离为a+C,到右顶点的距离为a-c,到上下顶点的距离均为。

分以下情况讨论：(1)4、B 分别为左、右顶点.此时a+c=3,a-c=2,故同回=2 a=5(相应地，炉=(a+c)(“-c)=6,的方程为 公+t=1).2 5 6(2)A为左顶点，8为上顶点或下顶点.此时+c=3,a=2,故 c=l,进 而=一 i =3,所以|A B|=Ja?+M 相应的方程为3+=1).(3)A为上顶点或下顶点，3为右顶点.此时折3,a-2,故 e=l,进而之二片-c?=8,所以1明=/77 =/7(相应r的 方 程 为 获+(=1).综上可知，IABI的所有可能值为5,近,而【点睛】本题考查椭圆的几何性质，掌握椭圆顶点的概念是解题关键.由于椭圆有四个顶点,因此解题时需分类讨论.10.33【详解】设 I g ar,l g/?=y,l g c=z,由，b,c l 可知 x,y,z 0.z z由条件及换底公式知”+=3,丫 +-=4,即孙+z =3 y =4 x.y x由此,令 x=3 r,y=4 r(r 0),则 z =4 x-x y =12 r-12 产.其中由z 0可 知 七(0,1).因此，结合三元平均值不等式得l g al g c =x z =3 J12 f(l-r)=18/(2-2 f),18；J=1 8j j =y-28 816当f =2-2 ,即r =(相应的。

分别为100,1()5,103)时，I g al g c 取到最大值丁.11.证明见解析【分析】很明显，复数列恒不为零，且气旦=当画(电).据此结合递推关系分类讨论z 4答案第5页，共 10页，为偶数和m为奇数两种情况即可证得题中的结论.【详解】由 于 团=1,且对任意正整数，均有4Z3+2Z,Z“M+Z；=0敝Z.HO（N+）./2/由条件得4 a+2 型 +l=O（/:e N+）,Zn/Zn）解得马L=Z 1乎（e N+）.Z 4因 此 导=怦=匚乎=g,故 =|讣击=击（此）进而有|z“+z“+J=|z“e N+)当m为偶数时，设m-2 s（s丘N+）.利用可得|Z|+Z 2 +Z，Z ZA T+Z2/+?2*|=之 第*=.A=1 k=q=2 3当加为奇数时，设昨S+Ks W TV).由、可知以+|=5 三=X Z2k-+Z2k J Z%=s+l Z k=s+故,+2 +XIZ2-I +Z2jV|Z2 5+l|0.对bl,2,.,9 9,由平均值不等式知0 kq+出+a*99从 而 有 为 石 端=n忧+1k=l_ k、4 +记式的右端为T,则对任意i=l,2,1 0 0,出 在 T的分子中的次数为i-1,在 T的分母答案第6页，共 1 0 页中的次数为1 0 0-i.50从而7 =n =n 短 3 湍f-m5()=n1=1101-2/又O 4O J,生(，=1,2,5 0),故 9,结合得士石端殁犷1.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的证明，其中平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置.放缩法是不等式证明中几乎不可避免的，在证明各种竞赛问题中的应用在证明过程中，应用灵活，具有较高的技巧性.1 3 .满足条件的为所有形如p 的数，其中p是素数，整数a 2 3.【分析】根 据 题 设 条 件 得 到 广 =7 尸-，得出4 =1，4=，4-尸 7,4一 2 =7，代入4T-4-2 4 4化简得/=(*二生/，进而得到d=p 2,从而得到44,4，4为I，P，P:，PJ 此时相应的为pl 即可得到结论.【详解】由至少有4个正因数，可得欠2 4,又由4-4，4-4,4-&T构成等比数列，所 以 字 号=卢 争-，“2”1 4一1 一,4,n n因为4&0),可得DE=,再结合图象，可在C 8的延长线上取一点4,使得/AKE=NABK=NABK，从而可得AABKSA A X E,再根据K C平分/B K E,结合角平分线定理可得空=维，由此可推出A =A，由此可证KE CENAKE=NALE,从而证出A、K、L、E四点共圆.【详解】令 他=1,BC=CD=t(t 0),由条件知。

E=产.如图，注意到/B K E/A8 K=N P O E EK,可 在C 3的延长线上取一点4 ,使得ZAKE=ZABK=ZABK-又KC平分/B K E,故 粤KE此时有AAB K s AA，在，故ABAKBKAK AEKE,BC _t1CEt+t21+f工目力 A 3 AB AK (B K 1 AB于 是 有-=-=-=-=-.AE A K AE K E)l+2t+t2 AEBE BE由上式两端减1,得f=从而A =A.因此N AK E=N AK =Z AB K.同理可得N A =/E D L而/AB K=N EDL,所以NAKE=NALE.因此A、K、L、E四点共圆.【点睛】本题考查四。