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第五章 刚体定轴转动（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis） 刚体（rigid body）：任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型）刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变有关质点系的规律都可用于刚体，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化§1 刚体的运动一. 刚体的运动形式 1.平动（translation） 在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动平动是刚体的基本运动形式之一，刚体做平动时，可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动 2.转动（rotation） 转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为： ▲定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上 （本章着重讨论定轴转动） ▲定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动（如陀螺的运动） 3.平面运动 刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的平面运动，又称为刚体的平面平行运动 4.一般运动 刚体不受任何限制的的任意运动, 称为刚体的一般运动。

它可视为以下两种刚体的基本运动的叠加：▲随基点O（可任选）的平动▲ 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动ΔjΔj··OO··O′O′ 如图示的两种运动分解，基点（O和）选取不同，平动也可以不同，但转动却是相同的，与基点的选取无关 在动力学的处理中，通常选取质心为基点比较方便二. 刚体转动的描述（运动学问题）1. 定点转动（rotation about a fixed point） （1）角量的描述 基点Ov·ωrrP×瞬时轴刚体 刚体绕基点O的转动，其转轴是可以改变的为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢和转向，引入角速度矢量 式中是刚体绕瞬时轴转动的无限小角位移 规定角速度的方向沿瞬时轴，且与刚体转向成右手螺旋关系关于角速度的矢量性，可见《普通物理学与答疑（力学与热学）》（清华大学物理系基础物理教研组编 北京出版社）第179页─185页的分析为反映刚体角速度的变化情况，引入角加速度矢量 一般情况下，并不一定沿着瞬时轴。

在定轴转动的情况下，和都只有沿固定转轴的分量，此时可用代数量和来表示角速度和角加速度设定转轴的取向，规定转向与转轴取向成右手螺旋关系时的和为正量，反之为负量 （2）线量和角量的关系 刚体上任意点P都在绕瞬时轴转动，v·ωrrP× 基点O瞬时轴刚体 P点线速度： P点线加速度： 称作旋转加速度； 称作向轴加速度刚体 OvP×ω,αrr定轴·参考方向θz 2.定轴转动（rotation about a fixed axis） 此时转轴固定，矢量退化为代数量刚体上各点都绕同一轴作圆周运动，且各点都分别相同 当时，刚体作匀角加速转动，此时有运动学关系：§2 刚体的定轴转动定律Fi刚体vi O×ω,αriri定轴·zθimiΔ 把刚体看作无限多质元构成的质点系，则 转动惯量（rotational inertia）令 ─ 刚体对z轴的则 ，即 ─ 转动定律其中 是对z轴的外力矩和。

定轴情况下，可不写下标z，记作： ， J反映刚体的转动惯性转动定律与牛顿第二定律相比，有M～ F ， J ～ m ， ～ a §3 转动惯量的计算 dmrm转轴 J由质量对轴的分布决定演示 质量分布改变对转动惯量的影响一. 常用的几种转动惯量表示式 RmORmCCAm 细圆环： 均匀圆盘： 均匀细杆： ，二.计算转动惯量的几条规律1. 对同一轴J具有可叠加性 CdmJCJ平行× 2.平行轴定理 ri mi Δx z yi y xiO 3.对薄平板刚体的正交轴定理 即 yx z 圆盘 R C m[例]求对薄圆盘的一条直径的转动惯量，已知圆盘 解： §4 转动定律应用举例定轴O·Rthmv0= 0绳 已知：如图示，轮 R = 0.2m， m =1kg，vo=0，h =1.5m，绳轮间无相对滑动，绳不可伸长，下落时间t =3s。

求：轮对O轴J =？ 解：动力学关系： 对轮： (1) 对m： (2)α·RGTNT =–T′mgma 运动学关系： (3) (4)(1)~(4)联立解得 分析结果：·单位对； ·h、m一定，J↑→t↑，合理； ·若J = 0，得 ，正确代入数据： §5 定轴转动中的功能关系adqzxωq·轴rF一. 力矩的功 力矩的空间积累效应： 力矩的功 二. 定轴转动动能定理 令 ─ 转动动能 于是得到刚体定轴转动动能定理： ▲飞轮储能, ▲惯性电车的设想三. 刚体的重力势能若刚体受到保守力的作用，也可以引入势能的概念×ChChimiΔEp= 0刚体在重力场中，也具有重力势能。

一个不太大的物体，其上各点的重力加速度相同，它的重力势能可以计算如下： 四. 应用举例 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立 [例]已知：如图示，均匀直杆质量为m，长为l，初始水平静止轴光滑，θ··ω轴OCABl , ml /4 求:杆下摆到角时，角速度？轴对杆的作用力？解：（杆+地球）系统，只有重力作功，E守恒初态： 末态：则： (1)由平行轴定理 ，有 (2)(1)、(2)解得： 应用质心运动定理求轴力： (3) (4)BCθO··Al , mθNlNtNmgaCtaCl^l^^t^ (5) (6)βCθO··ωABl , mNlNtN^l^^t^ 由(3)(4)(5)(6)解得： §6 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律现在讨论力矩对时间的积累效应。

质点系： 对点：， 对轴： 刚体： Lz =Jz由此得到刚体定轴转动的角动量定理： 刚体定轴转动的角动量守恒定律：若M外z= 0，则Jz= const. 若几个刚体组成一个刚体系，且其中各刚体都绕同一轴转动则在刚体系的情况下，有，这时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变 演示 回转仪定向；角动量守恒 TV 角动量守恒[例] 如图示，已知：h，R，M=2m，=60°m(黏土块) yxhPθOM光滑轴均质圆盘（水平）R 求：碰撞后的瞬刻盘的 P转到x轴时盘 的 =? 解：m下落：mPhv (1) 对（m +盘）系统，碰撞极小，冲力远大于重力，故重力对O轴力矩可忽略，又轴处外力对轴的力矩为零，故系统角动量守恒： (2)又 (3)由(1)(2)(3)得： (4)mmg·OMR 对（m + M +地球）系统，只有重力作功，E守恒，令P、x重合时EP = 0，则： (5)由(3)(4)(5)得：。