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高级生物统计03正交设计.ppt

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Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 见见明道绪明道绪主编主编面向面向21世纪课程教材世纪课程教材生物统计附试验设计生物统计附试验设计中国农业出版社，中国农业出版社，2002第十二章第十二章第八节第八节正交设计正交设计补充补充Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 在实际工作中在实际工作中，常常需要同时考察，常常需要同时考察 3个或个或3个以上的试验因素个以上的试验因素，若进行全面，若进行全面试验，则试验的规模将很大试验，则试验的规模将很大，往往因试，往往因试验条件的限制而难于实施验条件的限制而难于实施。

正交设计正交设计就是安排多因素试验就是安排多因素试验、寻、寻求最优水平组合的一种求最优水平组合的一种高效率试验设计高效率试验设计方法 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design一、正交设计的概念及原理 (一) 正交设计的基本概念正交设计是利用正交表来安排与分析多正交设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法因素试验的一种设计方法它从试验的全部它从试验的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，解全面试验的情况，找出最优水平组合找出最优水平组合Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 例如，例如，研究如下研究如下3个因素对某品种鸡生产性能的影个因素对某品种鸡生产性能的影响：响： A因素是饲料配方，设因素是饲料配方，设A1、、A2、、A3 3个水平个水平；； B因素是光照因素是光照，设，设 B1 、、B2 、、B3 3个水平个水平；； C因素是温度，设因素是温度，设C1、、C2、、C3 3个水平。

个水平这是一个这是一个3因素因素3水平的试验水平的试验，各因素的水平之间，各因素的水平之间全部可能的组合有全部可能的组合有27种种 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 如果试验方案包含各因素的全部水平组如果试验方案包含各因素的全部水平组合，即合，即进行全面试验进行全面试验，可以分析各因素的效，可以分析各因素的效应应，交互作用，也可选出最优水平组合，交互作用，也可选出最优水平组合这是全面试验的优点是全面试验的优点但全面试验包含的水平但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大组合数较多，工作量大，由于受试验场地、，由于受试验场地、试验动物、经费等限制而难于实施试验动物、经费等限制而难于实施如果试验的主要目的是寻求最优水平组如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设合，则可利用正交设计来安排试验来安排试验。

Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 正交设计的正交设计的基本特点基本特点是：是：用部分试验来代用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况解全面试验的情况正交试验是用部分试验来代替全面试验，正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂现交互作用的混杂Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 如如对对于于上上述述3因因素素3水水平平试试验验，，若若不不考考虑虑交交互互作作用用，，可可利利用用正正交交表表L9(34)安安排排，，试试验验方方案案仅仅包包含含9个个水水平平组组合合，，就就能能反反映映试试验验方方案案包包含含27个个水水平平组组合合的的全全面面试试验验的的情情况况，，找出最佳的生产条件。

找出最佳的生产条件Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design(二二) 正交设计的基本原理正交设计的基本原理上例中，全面试验试验方案如表上例中，全面试验试验方案如表1所示所示 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design表表表表1 31 3因素因素因素因素3 3水平全面试验方案水平全面试验方案水平全面试验方案水平全面试验方案Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 图图1 3因素因素3水平试验的均衡分散立体图水平试验的均衡分散立体图Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 正正交交设设计计就就是是从从全全面面试试验验点点（（水水平平组组合合））中中挑挑选选出出有有代代表表性性的的部部分分试试验验点点（（水水平平组组合合））来来进进行行试试验验。

图图1中中标标有有试试验验号号的的九九个个“(·)”，，就就是是利利用用正正交交表表L9(34)从从27个个试试验验点点中中挑挑选选出来的出来的9个试验点即：个试验点即：(1)A1B1C1 (4)A2B1C2 (7)A3B1C3(2)A1B2C2 (5)A2B2C3 (8)A3B2C1(3)A1B3C3 (6)A2B3C1 (9)A3B3C2Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 上述选择上述选择，保证了，保证了A因素的每个水平与因素的每个水平与B因素因素、、 C 因因素的各个水平在试验中各搭配一素的各个水平在试验中各搭配一次从图从图1中可以看到，中可以看到，9个个试验点分布是均衡试验点分布是均衡的的，在立方体的每个平面上，在立方体的每个平面上，都恰是，都恰是3个试验个试验点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点。

点；在立方体的每条线上也恰有一个试验点 9个试验点均衡地分布于整个立方体内个试验点均衡地分布于整个立方体内，，有很强的代表性，能够比较全面地反映全面试有很强的代表性，能够比较全面地反映全面试验的基本情况验的基本情况 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design二、正交表及其特性 (一) 正交表表表2 是一张正交表，记号为是一张正交表，记号为L8(27) ，，其其中中“L”代表正交表代表正交表；；L 右下角的数字右下角的数字“8”表示有表示有8行，用这张正交表安排试验包含行，用这张正交表安排试验包含8个个处理处理(水平组合水平组合) ；括号内的底数；括号内的底数“2” 表示表示因素的水平数，括号内因素的水平数，括号内2的指数的指数“7”表示有表示有7列列，用这张正交表最多可以安排，用这张正交表最多可以安排7个个2水平因水平因素。

素 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design表表表表2 2 L L8 8(2(27 7) )正交表正交表正交表正交表Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 常常用用的的正正交交表表已已由由数数学学工工作作者者制制定定出出来来，，供供进进行行正正交交设设计计时时选选用用2水水平平正正交交表表除除L8(27)外外，，还还有有L4(23)、、L16(215)等等；；3水水平平正正交交表表有有L9(34)、、L27(313) …… 等 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design(二二) 正交表的特性正交表的特性 1 1、任一列中，不同数字出现的次数相等、任一列中，不同数字出现的次数相等例如例如L8(27)中不同数字只有中不同数字只有1和和2，它们，它们各出现各出现4次；次；L9(34)中不同数字有中不同数字有1、、2和和3，，它们各出现它们各出现3次次。

Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 2 2、、任两列中，同一横行所组成的数字对出任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相等现的次数相等例如例如 L8(27)中中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两各出现两次；次；L9(34) 中中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现各出现1次即每个因素的一个次即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的两列各个数字之间的搭配是均匀搭配是均匀的 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 根据以上两个特性，我们用正交表安排的根据以上两个特性，我们用正交表安排的试验，具有试验，具有均衡分散均衡分散和和整齐可比整齐可比的特点。

的特点所谓所谓均衡分散均衡分散，，是指用正交表挑选出来的是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均衡的衡的由由图图1可以看出，在立方体中可以看出，在立方体中，任一，任一平面内都包含平面内都包含 3 个个“(·)”，，任一直线上都任一直线上都包含包含1个个“(·)” Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 整齐可比整齐可比是指每一个因素的各水平间具是指每一个因素的各水平间具有可比性有可比性因为正交表中每一因素的任一水平下都因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此抵消如在抵消如在A、、B、、C 3个因素中，个因素中，A因素的因素的 3 个水平个水平 A1、、A2、、A3 条件下各有条件下各有 B、、C 的的 3 个不同水平，即：个不同水平，即： Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 在在这这9个个水水平平组组合合中中，，A因因素素各各水水平平下下包包括括了了B、、C因因素素的的3个个水水平平，，虽虽然然搭搭配配方方式式不不同同，，但但B、、C皆皆处处于于同同等等地地位位，，当当比比较较A因因素素不不同同水水平平时时，，B因因素素不不同同水水平平的的效效应应相相互互抵抵消消，，C因因素素不不同同水水平平的的效效应应也也相相互互抵抵消消。

所所以以A因因素素3个个水水平平间间具具有有可可比比性性同同样样，，B、、C因因素素3个水平间亦具有可比性个水平间亦具有可比性Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design(三) 正交表的类别 1、、相相同同水水平平正正交交表表各各列列中中出出现现的的最最大大数数字字相相同同的的正正交交表表称称为为相相同同水水平平正正交交表表如如L4(23)、、L8(27)、、L12(211)等等各各列列中中最最大大数数字字为为2，，称称为为两两水水平平正正交交表表；；L9(34)、、L27(313)等各列中最大数字为等各列中最大数字为3，称为，称为3水平正交表水平正交表 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 2、、混混合合水水平平正正交交表表各各列列中中出出现现的的最最大大数数字字不不完完全全相相同同的的正正交交表表称称为为混混合合水水平平正正交交表表。

如如L8(4×24)表表中中有有一一列列最最大大数数字字为为4，，有有4列列最最大大数数字字为为2也也就就是是说说该该表表可可以以安安排排一一个个4水水平平因因素素和和4个个2水水平平因因素素再再如如L16(44×23)，，L16(4×212)等都混合水平正交表等都混合水平正交表Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design三、正交设计方法【【例例1】】在在进进行行矿矿物质元素对架子猪物质元素对架子猪补饲试验中，考察补饲配方、用量、食盐补饲试验中，考察补饲配方、用量、食盐3个个因素，每个因素都有因素，每个因素都有3个水平试安排一个正个水平试安排一个正交试验方案交试验方案 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design(一一) 确定因素和水平确定因素和水平影响试验结果的因素很多，我们不可能把所有影响试验结果的因素很多，我们不可能把所有影响因素通过一次试验都予以研究，只能根据以往影响因素通过一次试验都予以研究，只能根据以往的经验，挑选和确定若干对试验指标影响最大、有的经验，挑选和确定若干对试验指标影响最大、有较大经济意义而又了解不够清楚的因素来研究。

同较大经济意义而又了解不够清楚的因素来研究同时还应根据实际经验和专业知识，定出各因素适宜时还应根据实际经验和专业知识，定出各因素适宜的水平，列出因素水平表的水平，列出因素水平表例例1】】的因素水平表如的因素水平表如表表3所示 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design水水平平因因素素矿物物质元素元素补饲配方配方(A) 用用量量(g)(B) 食食盐(g)(C)1配方配方I(A1)15(B1)0(C1)2配方配方II(A2)25(B2)4(C2)3配方配方III(A3)20(B3)8(C3)表表3 因素水平表因素水平表Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design(二) 选用合适的正交表根根据据因因素素、、水水平平及及需需要要考考察察的的交交互互作作用用的多少来选择合适的正交表。

的多少来选择合适的正交表选选用用正正交交表表的的原原则则是是：：既既要要能能安安排排下下试试验验的的全全部部因因素素，，又又要要使使部部分分水水平平组组合合数数（（处处理数）尽可能地少理数）尽可能地少Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 一一般般情情况况下下，，试试验验因因素素的的水水平平数数应应恰恰好好等等于于正正交交表表记记号号中中括括号号内内的的底底数数；；因因素素的的个个数数（（包包括括交交互互作作用用））应应不不大大于于正正交交表表记记号号中中括括号号内内的的指指数数；；各各因因素素及及交交互互作作用用的的自自由由度度之之和和要要小小于于所所选选正正交交表表的的总总自自由由度度，，以以便便估估计计试试验验误误差差若若各各因因素素及及交交互互作作用用的的自自由由度度之之和和等等于于所所选选正正交交表表总总自自由由度度，，则则可可采采用用有重复正交试验来估计试验误差。

有重复正交试验来估计试验误差Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 此此例例有有3个个3水水平平因因素素，，若若不不考考察察交交互互作作用用，，则则各各因因素素自自由由度度之之和和为为 (水水平平数数-1) ×因因素素数数个个数数= (3-1)×3=6，，小小于于L9(34)总总自自由由度度9-1=8，故可以选用，故可以选用L9(34)；；若若要要考考察察交交互互作作用用，，则则应应选选用用L27(313)，，此此时时所所安安排排的的试试验验方方案案实实际际上上是是全全面面试试验验方方案 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design(三) 表头设计表头设计就是把挑选出的因素和要考察的交互表头设计就是把挑选出的因素和要考察的交互作用分别排入正交表的表头适当的列上。

作用分别排入正交表的表头适当的列上在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按该列上；若考察交互作用，就应按该正交表的交互作正交表的交互作用列表用列表安排安排各各因因素与交互作用素与交互作用此例不考察交互作用，可将矿物质元素补饲配此例不考察交互作用，可将矿物质元素补饲配方方(A)、用量、用量(B)和食盐和食盐 (C)依次安排在依次安排在L9(34)的第的第1、、2、、3列上，第列上，第4 列列为空列，见表为空列，见表4Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 表表表表4 4 表头设计表头设计表头设计表头设计Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design(四) 列出试验方案把正交表中安排各因素的每个列把正交表中安排各因素的每个列(不包含不包含欲考察的交互作用列欲考察的交互作用列)中的每个数字依次换成中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个该因素的实际水平，就得到一个正交试验方正交试验方案案。

表表5就是就是[例例1] 的正交试验方案的正交试验方案Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 表表表表5 [5 [例例例例1 ] 1 ] 的正交试验方案的正交试验方案的正交试验方案的正交试验方案Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 根据表根据表5，， 1 号试验处理号试验处理是是 A1B1C1 ，，即配即配方方I、用量、用量15g、食盐为、食盐为0；；2号试验处理号试验处理是是A1B2C2 ，即配方，即配方II 、、用量用量 25g 、食、食盐盐为为 4g ，，… ；；9号试验处理号试验处理为为A3B3C2，即配，即配方方III、用量、用量20g、食盐、食盐4g。

Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design四、正交试验结果的统计分析若各号试验处理都只有一个观测值，则若各号试验处理都只有一个观测值，则称之为称之为单独观测值正交试验单独观测值正交试验；若各号试验处；若各号试验处理都有两个或两个以上观测值，则称之为理都有两个或两个以上观测值，则称之为有有重复观测值正交试验重复观测值正交试验Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design(一) 单独观测值正交试验结果的方差分析对对【【例例1】】用用L9(34)安安排排试试验验方方案案后后，，各各号号试试验验只只进进行行一一次次，，试试验验结结果果(增增重重)列列于表于表6。

试对其进行方差分析试对其进行方差分析Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design表表6 6 正交试验结果计算表正交试验结果计算表正交试验结果计算表正交试验结果计算表Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 该该试试验验的的9个个观观测测值值总总变变异异由由A因因素素、、B因因素素、、C因因素素及及误误差差变变异异四四部部分分组组成成，，因因而而进进行行方方差分析时平方和与自由度的划分式为：差分析时平方和与自由度的划分式为： SST = SSA + SSB + SSC+SSe dfT = dfA + dfB + dfC + dfe (1) 用用n表表示示试试验验(处处理理)数数；；a、、b、、c表表示示A、、B、、C因因素素各各水水平平重重复复数数；；ka、、kb、、kc表表示示A、、B、、C因因素素的的水水平平数数。

本本例例，， n=9、、 a=b=c=3、、 ka=kb=kc=3 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design1、计算各项平方和与自由度、计算各项平方和与自由度矫正数 C = T2/n = 612.12/9 = 41629.6011总平方和 SST =Σy2-C =63.42+68.92+…+73.72 - 41629.6011 =101.2489 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental DesignA因素平方和因素平方和 SSA A=Σ /a-C =(197.22+200.32+214.62)/3 –41629.6011=57.4289 B因素平方和因素平方和 SSB B = Σ /b-C =(199.12+208.62+204.42)/3 -41629.6011 =15.1089Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design C因素平方和因素平方和 SSC=ΣT2C/c-C =(198.72+206.92+206.52)/3 误差平方和误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB-SSC =101.2489-57.4289-15.1089 -41629.6011 =14.2489-14.2489 =14.4622Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 总自由度总自由度 dfT =n-1=9-1=8 A因素自由度因素自由度 dfA =ka-1=3-1=2 B因素自由度因素自由度 dfB =kb-1=3-1=2 C因素自由度因素自由度 dfC =kc-1=3-1=2 误差自由度误差自由度 dfe = dfT-dfA-dfB-dfC = 8-2-2-2 = 2Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design2、、列出方差分析表，进行列出方差分析表，进行F检验检验表表7 方差分析表方差分析表Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design F 检检验验结结果果表表明明，，三三个个因因素素对对增增重重的的影影响响都都不不显显著著。

究究其其原原因因可可能能是是本本例例试试验验误误差差大大且且误误差差自自由由度度小小(仅仅为为2)，，使使检检验验的的灵灵敏敏度度低低，，从从而掩盖了考察因素的显著性而掩盖了考察因素的显著性由由于于各各因因素素对对增增重重影影响响都都不不显显著著，，不不必必再再进进行行各各因因素素水水平平间间的的多多重重比比较较此此时时，，可可直直观观地地从从表表6中中选选择择平平均均数数大大的的水水平平A3、、B2、、C2组组合成合成最优水平组合最优水平组合 A3B2C2Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 上上述述无无重重复复正正交交试试验验结结果果的的方方差差分分析析，，其其误误差差是是由由“空空列列”来来估估计计的的然然而而“空空列列”并并不不空空，，实实际际上上是是被被未未考考察察的的交交互互作作用用所所占占据据。

这这种种误误差差既既包包含含试试验验误误差差，，也也包包含含交交互互作作用用，，称称为为模模型型误误差差若若交交互互作作用用不不存存在在，，用用模模型型误误差差估估计计试试验验误误差差是是可可行行的的；；若若因因素素间间存存在在交交互互作作用用，，则则模模型型误误差差会会夸夸大大试试验验误误差差，，有有可可能能掩掩盖盖考考察察因因素素的的显显著著性性这这时时，，试试验验误误差差应应通通过过重重复复试试验验值值来来估估计计所所以以，，进进行行正正交交试试验验最最好好能能有有二二次次以以上上的的重重复复正正交交试试验验的的重重复复，，可可采采用完全随机或随机单位组用完全随机或随机单位组(即随机即随机区组区组)设计Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design(二) 有重复观测值正交试验结果的方差分析【【例例2】】【【例例1】】的的正交试试验验重重复复两两次次，，随随机机单单位位组组设设计计，，试试验验结结果果列列于于表表8。

试试对对其其进行方差分析进行方差分析Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design表表8 8 有重复观测值正交试验结果计算表有重复观测值正交试验结果计算表Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 用用r表表示示试试验验处处理理的的重重复复数数；； n，，a、、b、、c，，ka、、kb、、kc的的意意义义同同【【例例1】】此此例例r=2；； n=9，，a=b=c=3，，ka=kb=kc=3Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 对对于于有有重重复复、、且且重重复复采采用用随随机机单单位位组组设设计计的的正正交交试试验验，，总总变变异异可可以以划划分分为为处处理理间间、、单单位位组组间间和和误误差差变变异异三三部部分分，，而而处处理理间间变变异异可可进进一一步步划划分分为为A因因素素、、B因因素素、、C因因素素与与模模型型误误差差变变异四部分异四部分。

此时，平方和与自由度划分式为：此时，平方和与自由度划分式为： SST=SSt+SSr+SSe2 dfT = dft + dfr + dfe2 而而 SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1 dft = dfA + dfB + dfC + dfe1Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design于是于是 SST= SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+ SSe2 dfT = dfA + dfB + dfC + dfr + dfe1 + dfe2 (2) 式中：式中：SSr为单位组间平方和；为单位组间平方和；SSe1为模型为模型误差平方和；误差平方和；SSe2为试验误差平方和；为试验误差平方和；SSt为处为处理间平方和；理间平方和； dfr 、、dfe1 、、dfe2 、、dft 为为相相应自由应自由度。

度注意注意，对于重复采用完全随机设计的正交，对于重复采用完全随机设计的正交试验，在平方和与自由度划分式中无试验，在平方和与自由度划分式中无 SSr、、dfr项Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design1、计算各项平方和与自由度、计算各项平方和与自由度矫正数矫正数 C =T2/ (r n) = 1347.42/(2×9) =100860.3756Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 总平方和总平方和 SST=Σy2-C =63.42+68.92+…+92.82 - 100860.3756 =1978.5444 单位组间平方和单位组间平方和 SSr=ΣT2r /n-C =(612.12+735.32)/9 - 100860.3756 =843.2355Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 处理间平方和处理间平方和 SSt = ΣT2t / r - C = (130.82+156.12+…+166.52)/2 -100860.3756 = 819.6244 A因素平方和因素平方和 SSA = ΣT2A / (ar) - C = (418.12+441.72+487.62)/(3×2) -100860.3756 = 416.3344 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental DesignB因素平方和因素平方和 SSB =ΣT2B /(br) - C =(411.82+475.52+430.12)/(3×2) -100860.3756 =185.2077C因素平方和因素平方和 SSC = ΣT2C / (cr) - C = (423.92+473.22+450.32)/(3×2) -100860.3756 = 202.8811 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design模型误差平方和模型误差平方和 SSe1 = SSt – SSA – SSB - SSC =819.6244-416.3344-185.2077 -202.8811 =15.2012试验误差平方和试验误差平方和 SSe2 =SST – SSr - SSt =1978.5444-843.2355 - 819.6244 =315.6845Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 总自由度总自由度 dfT=rn-1=2×9-1=17 单位组自由度单位组自由度 dfr=r-1=2-1=1 处理自由度处理自由度 dft=n-1=9-1=8 A因素自由度因素自由度 dfA=ka-1=3-1=2 B因素自由度因素自由度 dfB=kb-1=3-1=2 C因素自由度因素自由度 dfC=kc-1=3-1=2 模型误差自由度模型误差自由度 dfe1 = dft-dfA-dfB-dfC = 8-2-2-2-2 = 2 试验误差自由度试验误差自由度 dfe2=dfT-dft =17-1-8 = 8Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design2、列出方差分析表，进行F检验表表9 9 有重复观测值正交试验结果的方差分析表有重复观测值正交试验结果的方差分析表Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 首先检验首先检验MSe1与与MSe2差异的显著性，若差异的显著性，若经经 F 检验不显著，则可将其平方和与自由度检验不显著，则可将其平方和与自由度分别合并，计算出合并的误差均方分别合并，计算出合并的误差均方，进行，进行 F 检验与多重比较检验与多重比较，以提高分析的精度，以提高分析的精度；若；若 F 检验显著检验显著，说明存在交互作用，二者不能合，说明存在交互作用，二者不能合并，此时只能以并，此时只能以MSe2进行进行 F 检验与多重比较。

检验与多重比较Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 本例本例MSe1 / MSe2<1，，MSe1与与MSe2差异不差异不显著显著，故将误差平方和与自由度分别合并计，故将误差平方和与自由度分别合并计算出合并的误差均方算出合并的误差均方MSe，即，即 MSe = ( SSe1+ SSe2 ) / ( dfe1+ dfe2 ) = (15.2012+315.6845) / (2+8) = 33.09 并用合并的误差均方并用合并的误差均方MSe进行进行 F 检验与多检验与多重比较 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design F检检验验结结果果表表明明，，矿矿物物质质元元素素配配方方对对架架子子猪猪增增得得有有显显著著影影响响，，另另外外两两个个因因素素作作用用不不显著；二个单位组间差异极显著。

显著；二个单位组间差异极显著Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design3、、 A因素各水平平均数的多重比较因素各水平平均数的多重比较表表10 A因素各水平平均数多重比较表因素各水平平均数多重比较表 (SSR法法) 多重比较结果表明：多重比较结果表明：A因素因素A3水平的平均水平的平均数显著或极显著地高于数显著或极显著地高于A2、、A1；；A2与与A1间差间差异不显著异不显著 Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 因为，因为，由由dfe=10和和k=2, 3, 查得查得SSR值并计算出值并计算出LSR值值列于表列于表11。

表表11 SSR值与值与LSR值表值表Copyright © 2006 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 此例因此例因模型误差不显著模型误差不显著，可以认为因素间不存在，可以认为因素间不存在显著的交互作用显著的交互作用可由A、、B、、C因素的最优水平组合因素的最优水平组合成最优水平组合成最优水平组合A因素的最优水平为因素的最优水平为A3 ；；因为因为B、、C因素水平间差异均不显著，故可任选一水平如因素水平间差异均不显著，故可任选一水平如B、、C因素选择使增重达较高水平的因素选择使增重达较高水平的B2及及C2 ，，则得则得最优水平最优水平组合组合为为A3B2C2，，即即配方配方III、、用量用量25克、食盐克、食盐4克克若若模模型型误误差差显显著著，，表表明明因因素素间间交交互互作作用用显显著著，，则则应进一步试验，以分析因素间的交互作用应进一步试验，以分析因素间的交互作用。

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