第二十五讲 奇数、偶数与奇偶分析整数按能否被2整除分为两大类：奇数和偶数,奇数与偶数有下列基本性质：1．奇数≠偶数2．两个整数相加<减>或相乘,结果的奇偶性如下表所示3．若干个奇数之积是奇数,偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数,若干个偶数的和为偶数．4．设m、n是整数,则m土n,的奇偶性相同． 5．设m是整数,则m与,mn的奇偶性相同．奇偶性是整数的固有属性,通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法．例题 [例1] 三个质数之和为86,那么这三个质数是． <"希望杯"邀请赛试题>思路点拨 运用奇数、偶数、质数、合数性质,从分析三个加数的奇偶性人手． 注： 18世纪的哥尼斯堡,有7座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来,在这迷人的地方,人们议论着一个有趣的问题．一个游人怎样才能不重复地一次走遍7座桥,而最后又回到出发点． 1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题．欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简单的几何图形,他指出只要我们能从一点出发,不重复地一笔把这样的图形画出来,那么就可说明游人能够不重复地一次走遍这7座桥,这就是著名的"一笔画"问题的来历．利用奇偶分析不难得到一般的结论：凡是能一笔画成的图形,它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来,一笔出去．因此,除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连． 简单地说,当且仅当图形中的奇结点<每点出发有奇数字线>的个数不大于2时,这个图形才能一笔画．[例2] 如果a、b、c是三个任意的整数,那么〔 ． A．都不是整数 B．至少有两个整数 C．至少有一个整数 D．都是整数 <20XXTI杯全国初中数学竞赛题>思路点拨 举例验证或从a、b、c的奇偶性说明． [例3] <1>设1,2,3,…,9的任一排列为al,a2,a3…,a9．求证：< a2—2>…是一个偶数． <2>在数11,22,33,44,54,…20022002,20032003,这些数的前面任意放置"+"或"一"号,并顺次完成所指出的运算,求出代数和,证明：这个代数和必定不等于2003．思路点拨 <1>转换角度考察问题,化积的奇偶性为和的奇偶性来研究；<2>由于任意添"十"号或"一"号,形式多样,因此不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质人手．[例4]已知都是+1或一1,并且,求证：n是4的倍数．思路点拨 可以分两步,先证n是偶数2k,再证明k是偶数,解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发,挖掘隐含的一个等式． [例5] 游戏机的"方块"中共有下面?种图形．每种"方块"都由4个l×l的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7× 4的长方形<可以重复使用某些图形>． 问：最多可以用这7种图形中的几种图形? 思路点拨 为了形象化地说明问题,对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色,除"品字型"必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格,其余6个方格各占2个黑格2个白格． 注：对同一个数学对象,从两个方向考虑,再将这两个方面合在一起整体考虑,得出结论,这叫计算两次原理,通过计算两次可以建立方程,证明恒等式等． 在一定的规则下,进行某种操作或变换,问是否<或证明>能够达到一个预期的目的,这就是所谓操作变换问题,此类问题变化多样,解法灵活,解题的关键是在操作变换中,挖掘不变量,不变性．一些非常规数字问题需要恰当地数学化,以便计算或推理．引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法．所谓赋值法就是在解题时,将问题中的某些元素用适当的数表示,然后利用这些数值的大小,正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法． [例6]桌上放着七只杯子；杯口全朝上,每次翻转四个杯子：问能否经过若干次这样的翻动,使全部的杯子口都朝下? 思路点拨 这不可能．我们将口向上的杯于记为："0",口向下的杯子记为"1"．开始时,由于七个杯子全朝上,所以这七个数的和为0,是个偶数．一个杯子每翻动一次,所记数由0变为1,或由l变为0,改变了奇偶性．每一次翻动四个杯子,因此,七个之和的奇偶性仍与原来相同．所以,不论翻动多少次,七个数之和仍为偶数．而七个杯子全部朝下,和为7,是奇数,因此,不可能． 整数可以分为奇数和偶数两类． [例7]在1,2,3,…,2005前面任意添上一个正号或负号,它们的代数和是奇数还是偶数?思路点拨 两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同,只要知道1+2+3+…+2005的奇偶性即可． 因两个整数的和与差的奇偶性相同,所以,在1,2,3,…,2005中每个数前面添上正号或负号,其代数和应与1+2+3+…+2005的奇偶性相同,而1+2+3+…+2005=<1+ 2005>×2005=1003 ×2005为奇数；因此,所求代数和为奇数． 注：抓住"a+b与a—b奇偶性相同",通过特例1十2十3十…十2005得到答案． [例8]" 元旦联欢会上,同学们互赠贺卡表示新年的：良好祝愿．"无论人数是什么数,用来交换的贺卡的张数总是偶数．"这句话正确吗?试证明你的结论． 思路点拨 用分类讨论的思想方法,从"无论人数是什么数"入手,考虑人数为奇数或偶数的两种情况． 这句话是正确的．下面证明之． 若联欢会上的人数为偶数,设为2m ,则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数,即<2m—1>．那么,贺卡总张数为2m<2m—1>=4m2-2m,显然是偶数． 若联欢会上的人数为奇数,设为2m+1·2m,仍为偶数． 故"用来交换的贺卡张数总是偶数"是对的． 注：按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一． [例9]桌面上放有1993枚硬币,第1次翻动1993枚,第2次翻动其中的1992枚,第3次翻动其中的1991枚,…,第1993次翻动其中一枚,试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?并说明理由．思路点拨 若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上,应该翻动该硬币奇数次．因此,要把1993枚硬币原先朝下的一面都朝上,应该翻动这1993枚硬币的总次数为奇数．现在1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×<1+1993>/2=1993×997是个奇数,故猜想可以使桌面上1993枚硬币原先朝下的一面都朝上． 理由如下：按规定,1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×<1+1993>/2=1993×997,所以翻动的次数为奇数,而且可见每个硬币平均翻动了997次．而事实上,只要翻动一枚硬币奇数次,就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上．按如下的方法进行翻动： 第1次翻动全部1993枚, 第2次翻动其中的1992枚,第1993次翻动第2次未翻动的那1枚, 第3次翻动其中的1991枚,第1992次翻动第3次未翻动的2枚, 第997次翻动其中的997枚,第998次翻动第997次未翻动的996枚． 这样,正好每枚硬币被翻动了997次,就能使每一枚硬币原来朝下的一面都朝上． 注：灵活、巧妙地利用奇俩性分析推理,可以解决许多复杂而有趣的问题,并有意想不到的效果． [例10]在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6,打乱次序后,将纸片翻过来,在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数,然后,计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值,得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．思路点拨 从反面人手,即设这6个数两两都不相等,利用与 <=1,2,3,4,5,6>的奇偶性相同,引入字母进行推理证明． 设6张卡片正面写的数是,反面写的数对应为,则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为,,,,,．设这6个数两两都不相等,则它们只能取0,1,2,3,4,5这6个值． 于是+++++=0+1+2+3+4+5=15是个 奇数．另一方面,与 <=1,2,3,4,5,6>的奇偶性相同．所以+++++与+++++=一 =<1+2+3+4+5+6>一<1+2+3+4+5+6>=O的奇偶性相同,而0是个偶数,15是奇数,两者矛盾．所以,,,,,,这6个数中至少有两个是相同的． 注：反证法是解决奇、偶数问题中常用的方法． [例11]有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间,问： <1>若最初小船是在左岸,往返若干次后,它又回到左岸,那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数? 如果它最后到了右岸,情况又是怎样呢? <2>若小船最初在左岸,它过河99次之后,是停在左岸还是右岸?思路点拨 <1>小船最初在左岸,过一次河就到了右岸,再过一次河就由右岸回到左岸,即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸,都过了两次河．因此,小船由左岸开始,往返多次后又回到左岸,则过河的次数必为2的倍数,所以是偶数．同样的道理,不难得出,若小船最后停在右岸,则过河的次数必为奇数． <2>通过<1>,我们发现,若小船最初在左岸,过偶数次河后,就回到左岸；过奇数次河后,就停在右岸．现在小船过河99次,是奇数次．因此,最后小船该停在右岸． 注 关键是对过河次数的理解：一个单程,即由左岸到右岸<或由右岸到左岸>就过河一次；往返一个来回就过河两次． [例12]黑板上写了三个整数,任意擦去其中一个,把它改写成另两个数的和减去1,这样继续下去,得到1995、1996、1997,问原来的三个数能否是2、2、2？思路点拨 如果原来的三个整数是2、2、2,即三个偶数,操作一次后,三个数变成二偶一奇,这时如果擦去其中的奇数,操作后三个数仍是二偶一奇．如果擦去的是其中的一个偶数,操作后三个数仍是二偶一奇．因此,无论怎样操作,得到的三个数都是二偶一奇,不可能得到1995、1996、1997． 所以,原来的三个数不可能是2、2、2．注 解决本题的诀窍在于考查数字变化后的奇偶性．[例13]将正偶数按下表排成五列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24…… 28 26 根据上面的排列规律,则2000应位于< >A．第125行,第1列 B．第125行,第2列 C．第250行,第1列 D．第250行,第2列思路点拨 观察表格,第1行最右边的数为8,第2行最左边的数为16,第3行最右边的数为24,于是可猜测：当行数为奇数时,该行最右边的数为8×行数；当行数为偶数时,该行最左边的数为8×行数．通过验证第4行、第5行、第6行知,上述猜想是正确的,因为2000=8×250,所以2000应在第250行,又因为250为偶数,故2000应在第250行最左边,即第250行第1列,故应选C． 注：观察、寻找规律是解决这类问题的妙招． 。
