第8讲费马点最值模型解析版.doc

中考数学几何模型8：费马点最值模型TH名师点睛 拨开云雾 开门见山 费马尔问题思考：如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点 费马点的性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120° 费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。

∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.求证：GA+GB+GC的值最小.证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB≌△CPD； ∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵ ∠GCP=60°,∴ ∠BCD=60°,∴ △GCP和△BCD都是等边三角形∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°.∴ A、G、P三点一线∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°.∴ G、P、D三点一线∴ AG、GP、PD三条线段同在一条直线上∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点变式练习>>>1．如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围.解：将绕点顺时针旋转60°得到，易知为等边三角形.从而（两点之间线段最短），从而.过作的平行线分别交于点，易知.因为在和中，①， ②又，所以③. ①+②+③可得，即.综上，的取值范围为.例题2. 已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长． 解 如图2，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE = BE+EF+FG．∵ 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）． ∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上．设正方形的边长为，那么BO=CO=，GC=, GO=．∴ BG=BO+GO =+．∵ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．∴ +=，解得=2．注 本题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试．变式练习>>>2．若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 求PB的值.例题3. 如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值．【解答】，线段A1E为最短．变式练习>>>3．如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）连接AM，DM，将△ADP绕点A逆时针旋转60°，得△AP′D′，由（2）知，当M，P，P′，D′在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为D′N，∵M在BC上，∴当D′M⊥BC时，D′M取最小值，设D′M交AD于E，∵△ADD′是等边三角形，∴EM＝AB＝500，∴BM＝400，PM＝EM﹣PE＝500﹣，∴D′E＝AD＝400，∴D′M＝400+500，∴最少费用为10000×（400+500）＝1000000（4+5）元；∴M建在BC中点（BM＝400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500﹣）米处，最少费用为1000000（4+5）元．例题4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CD＝AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y＝kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）在第二问的条件下，设G为y轴上一点，点P从直线y＝kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）【解答】解：（1）∵A（﹣6，0），C（0，4）∴OA＝6，OC＝4，设DE与y轴交于点M由DE∥AB可得△DMC∽△AOC，又∵CD＝AC∴，∴CM＝2，MD＝3，同理可得EM＝3∴OM＝6，∴D点的坐标为（3，6）；（2）由（1）可得点M的坐标为（0，6）由DE∥AB，EM＝MD，可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上，∴ED与CF互相垂直平分∴CD＝DF＝FE＝EC，∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心作直线BM，设BM与CD、EF分别交于点S、点T，可证△FTM≌△CSM，∴FT＝CS，∵FE＝CD，∴TE＝SD，∵EC＝DF，∴TE+EC+CS+ST＝SD+DF+FT+TS，∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，由点B（6，0），点M（0，6）在直线y＝kx+b上，可得直线BM的解析式为y＝﹣x+6．（3）解法1 ∵ BQ=AQ， ∴MQ＋2AQ最小就是MQ＋AQ＋BQ最小，就是在直线MO上找点G使他到A、B、M三点的距离和最小．至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形，注意到题目中等边三角形的信息，考虑作旋转变换． 把△MQB绕点B顺时针旋转60°，得到△M′Q′B，连接′、MM′（图5），可知△′B、△MM′B都是等边三角形，则′=BQ．又M′Q′=MQ，∴MQ＋AQ＋BQ= M′Q′+ ′+AQ．∵点A、M′为定点，所以当Q、Q′两点段A M′上时，MQ＋AQ＋BQ最小．由条件可证明Q′点总在AM′上，所以A M′与OM的交点就是所要的G点（图6）．可证OG=MG． 图5 图6 图7解法2 考虑MQ＋AQ最小，过Q作BM的垂线交BM于K，由OB=6，OM=，可得∠BMO＝30°，所以QK＝MQ．要使MQ＋AQ最小，只需使AQ＋QK最小， 根据“垂线段最短”，可推出当点A、Q、K在一条直线上时，AQ+QK最小，并且此时的QK垂直于BM，此时的点Q即为所求的点G（图7）．过A点作AH⊥BM于H,则AH与y轴的交点为所求的G点.由OB=6，OM=，可得∠OBM=60°，∴∠BAH=30°在Rt△OAG中，OG=AO·tan∠BAH=∴G点的坐标为（0，）（G点为线段OC的中点）．例题5. 如图1，已知一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E段BD上，且BE＝2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG＝RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点，∴解得，∴b＝﹣2，c＝3．（2），对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，∴点C坐标（1，0），∵AD＝DC＝2，∴点D坐标（﹣1，0），∵BE＝2ED，∴点E坐标（﹣，1），设直线CE为y＝kx+b，把E、C代入得到解得，∴直线CE为y＝﹣x+，由解得或，∴点M坐标（﹣，）．（3）①∵△AGQ，△APR是等边三角形，∴AP＝AR，AQ＝AG，∠QAC＝∠RAP＝60°，∴∠QAR＝∠GAP，在△QAR和△GAP中，，∴△QAR≌△GAP，∴QR＝PG．②如图3中，∵PA+PG+PC＝QR+PR+PC＝QC，∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．∵∠GAO＝60°，AO＝3，∴AG＝QG＝AQ＝6，∠AGO＝30°，∵∠QGA＝60°，∴∠QGO＝90°，∴点Q坐标（﹣6，3），在RT△QCN中，QN＝3，CN＝7，∠QNC＝90°，∴QC＝＝2，∵sin∠ACM＝＝，∴AM＝，∵△APR是等边三角形，∴∠APM＝60°，∵PM＝PR，cos30°＝，∴AP＝，PM＝RM＝，∴MC＝＝，∴PC＝CM﹣PM＝，∵＝＝，∴CK＝，PK＝，∴OK＝CK﹣CO＝，∴点P坐标（﹣，）．∴PA+PC+PG的最小值为2，此时点P的坐标（﹣，）．达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF∴ME+MA+MD=ME+EG+GF过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．2. 如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（　　）A．+ B．+ C．4 D．3【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小．理由：。