微分算子法实用整理总结.doc

微分算子法微分算子法分类小结一、 n阶微分方程1、二阶微分方程： +p(*)+q(*)y=f(*) 2、n阶微分方程： y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+ ... +any=f(*)二、 微分算子法 1、定义符号：，D表示求导，如D*3=3*2，Dny表示y对* 求导n次；表示积分，如*=2 , *表示 对* 积分n次，不要常数 2、计算 将n阶微分方程改写成下式： Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+ ... +an-1Dy+any=f(*) 即 〔Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ ... +an-1D+an〕y=f(*) 记F(D)=Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ ... +an-1D+an规定特解：y*=3、的性质(1)性质一：ek*=ek*(F(k) 不等于0〕注：假设k为特征方程的m重根时，有ek*= *mek*= *mek* (2)性质二：ek*v(*)= ek*v(*)(3)性质三：特解形如sin(a*)和cos(a*)i.考察该式〔该种形式万能解法〕：eia* 利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解注：欧拉公式 eia*= cos(a*)+isin(a*)虚数 i2 = -1ii.假设特解形如sin(a*)和cos(a*)，也 可按以下方法考虑： 假设F(-a2)0，则sin(a*)=sin(a*)cos(a*)=cos(a*)假设F(-a2)= 0 ，则按i.进展求解，或者设-a2为F(-a2) 的m重根，则sin(a*)=*msin(a*)cos(a*)=*mcos(a*) (4)性质四〔多项式〕：〔*p+b1*p-1+b2*p-2+...+bp-1*+bp〕= Q(D)〔*p+b1*p-1+b2*p-2+...+bp-1*+bp〕注：Q(D)为商式，按D的升幂排列，且D的最高次幂为p 。

5) 性质五〔分解因式〕:==(6) 性质六:= 三、例题练习例1. +4y=e* 则(D2+4)y=e* ,特解y*=e*=e*=e* (性质一)例2、 y(4)+y=2cos(3*〕，则(D4+1)y= 2cos(3*〕 特解y*=2cos(3*〕= 2cos(3*〕= 2cos(3*〕=cos(3*〕(性质三)例3、-4+4y= *2e2*,则(D2-4D+4)y= *2e2* 特解y*=*2e2* = e2**2=e2**2= *4e2* 〔性质二〕例4、-3+3- y=e* ,则(D3-3D2+3D-1)y=e*特解y*=e*=e*1=e*1=*3e*(性质二〕例5、-y=sin* ,则(D3-1)y=sin* ,特解y*=sin*考察ei*ei*=ei*=ei*=ei*=(cos*+isin*) =-(cos*+sin*)+i(cos*-sin*) 取虚部为特解y*=(cos*-sin*) (性质一、三)例6、+y=cos* ，则(D2+1)y=cos* ，特解y*=cos* 考察ei* ei*=ei*=ei*=ei*=ei*1=-*ei*=*sin*-i*cos* 取实部为特解y*=*sin* (性质一、二、三〕 例7、-y=e* ，则(D4-1)y= e* 特解y*=e*=e*=e* =e* =e*=e*1=*e* 〔性质一、二、五〕例8、+y=*2-*+2 , 则(D2+1)y=*2-*+2 特解y*=(*2-*+2)=(1-D2)(*2-*+2)=*2-* (性质四)例9、+2+2y=*2e-* ,则(D2+2D+2)y=*2e-*特解y*=*2e-*=e-**2 =e-**2=e-*(1-D2)*2=e-*(*2-2)〔性质二、四〕例10、+y=*cos* ，则(D2+1)y=*cos* ，特解y*=*cos* ，考察*ei* *ei*=*ei*=ei**=ei**=ei**=ei**=ei**=(cos*+isin*)*=(*cos*+*2sin*)+i(*sin*-*2cos*)取实部为特解y*=(*cos*+*2sin*) (性质二、三、四〕. z.。