对勾函数讲解与例题解析(共4页).doc

对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成请自己在图上完成：他是如何叠加而成的对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式利用均值不等式可以得到：当x>0时，当x<0时，即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质yXOy=ax(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式）对勾的研究离不开说到均值不等式，其实也是根据得来的我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开，就得到了的公式：a+b≥2sqrt(ab）把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求的公式。

那么后面的式子呢？也是平均数的，但不同的是，前面的称为，而后面的则称为，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数这些知识点也是非常重要的三、关于求函数最小值的解法1. 均值不等式，，当且仅当，即的时候不等式取到“=”当的时候，2. 法若的最小值存在，则必需存在，即或（舍）找到使时，存在相应的即可通过观察当的时候，3. 单调性定义设 当对于任意的，只有时，，此时单调递增；当对于任意的，只有时，，此时单调递减当取到最小值，4. 复合函数的单调性在单调递增，在单调递减；在单调递增又 原函数在上单调递减；在上单调递增即当取到最小值，四、例题解析： 例1、已知函数 ， 练习：2.已知函数 ,求f(x)的最小值,并求此时的x值. 五、重点（窍门）其实对勾函数的一般形式是：f(x)=ax+b/x(a>0)定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a当x<0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：设x10,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数⑶当00，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数⑷当根号a0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）