条件概率独立性课件.ppt

第三节第三节 条件概率和三个重要公式条件概率和三个重要公式1条件概率独立性1．．3．．1 条件概率条件概率2例例：：将将一一枚枚硬硬币币抛抛掷掷两两次次，，观观察察其其出出现现正正反反面面的的情情况况设设事事件件A为为“至至少少有有一一次次为为H”，，事事件件B为为“两两次次掷掷出出同同一一面面”现现来来求求已已知知事事件件A已已经经发发生生的的条条件件下下事件事件B发生的概率发生的概率条件概率独立性定义定义 设设A，，B为两个事件，且为两个事件，且 ，称，称为在事件为在事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的发生的条件概率条件概率可可以以证证明明，，条条件件概概率率 也也满满足足概概率率公公理理化化定定义义的的三三条条公公理理因因此此条条件件概概率率也也满满足足概概率率的的一一切切基基本性质如：如：3条件概率独立性例例1 袋中有袋中有16个球，其中颜色和材料如下表个球，其中颜色和材料如下表5个红球中，个红球中，2个木质球，个木质球，3个玻璃球；个玻璃球；11个蓝球中，个蓝球中，4个木质球，个木质球，7个玻璃球；个玻璃球；现从中任意摸取一个球。

现从中任意摸取一个球若若已已知知摸摸到到的的是是红红球球，，则则这这个个红红球球是是木木质质球球的的概率是多少？概率是多少？4解：解：A：摸到的是红球，：摸到的是红球，B：摸到的是木质球：摸到的是木质球 则所求概率为则所求概率为又又 所以所以条件概率独立性 例例 2 某某建建筑筑物物按按设设计计要要求求使使用用寿寿命命超超过过50年年的的概概率率为为0.8，，超超过过60年年的的概概率率为为0.6该该建建筑筑物物经经历历了了50年之后，它在年之后，它在10年内倒塌的概率有多大？年内倒塌的概率有多大？5条件概率独立性1．．3．．2三个重要公式三个重要公式6条件概率独立性例例3 有有6张张字字母母卡卡片片，，其其中中两两张张是是e，，两两张张是是s，，一一张张是是r，，一一张张是是i，，混混合合后后重重新新排排列列，，求求正好排成正好排成series的概率7条件概率独立性例例5: 某人忘记了号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，某人忘记了号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的的概率若巳知最后一个求他拨号不超过三次而接通所需的的概率若巳知最后一个数字是奇数那么此概率是多少数字是奇数那么此概率是多少? 解解: 设设 事件事件 A=“拨号不超过三次而接拨号不超过三次而接 通通”则则 “连拨三次都未接通连拨三次都未接通”又设又设 “ 第第i次接通次接通”则则(1)故故(2) 如已知最后一个数字是奇数如已知最后一个数字是奇数,则共有则共有5个数字可选择个数字可选择, 所以所以故故8条件概率独立性某某电电讯讯服服务务部部库库存存100部部相相同同型型号号的的电话机机代代售售，，其其中中60部部是是甲甲厂厂生生产产的的，，30部部是是乙乙厂厂生生产产的的，，10部部是是丙丙厂厂生生产产的的。

已已知知三三个个厂厂的的不不合合格格率率分分别别为为0.1, 0.3,0.2一一位位顾顾客客从从中中随随机机地取一部地取一部求：（求：（1）顾客取到的是不合格机的概率；）顾客取到的是不合格机的概率； （（2））顾顾客客使使用用后后发发现现不不合合格格，，问问此此电话机是甲、乙、丙厂生产的概率各是多少？机是甲、乙、丙厂生产的概率各是多少？2．全概率公式和贝叶斯公式．全概率公式和贝叶斯公式9条件概率独立性我们首先介绍我们首先介绍划分划分的概念的概念B1B2B3B5B4B6A10条件概率独立性11条件概率独立性因为因为 两两互不相容，两两互不相容，12证明证明：：由加法公式可得由加法公式可得条件概率独立性某某电电讯讯服服务务部部库库存存100部部相相同同型型号号的的电话机机代代售售，，其其中中60部部是是甲甲厂厂生生产产的的，，30部部是是乙乙厂厂生生产产的的，，10部部是是丙丙厂厂生生产产的的已已知知三三个个厂厂的的不不合合格格率率分分别别为为0.1, 0.3,0.2一一位位顾顾客客从从中中随随机机地取一部地取一部求：（求：（1）顾客取到的是不合格机的概率；）顾客取到的是不合格机的概率； （（2））顾顾客客使使用用后后发发现现不不合合格格，，问问此此电话机是甲、乙、丙厂生产的概率各是多少？机是甲、乙、丙厂生产的概率各是多少？13条件概率独立性14条件概率独立性15条件概率独立性例例:用甲胎蛋白法普查肝癌。

令用甲胎蛋白法普查肝癌令C={被检验者被检验者患肝癌患肝癌}，，A={甲胎蛋白检验结果为阳性甲胎蛋白检验结果为阳性}，，则则 ={被检验者未患肝癌被检验者未患肝癌} ={甲胎蛋白检验结果为阴性甲胎蛋白检验结果为阴性}由过去的统计资料已知由过去的统计资料已知又已知某地居民的肝癌发病率为又已知某地居民的肝癌发病率为P(C)=0.0004.在普查中查出一批甲胎蛋白检验结果为阳性在普查中查出一批甲胎蛋白检验结果为阳性的人求这批人中真的患有肝癌的概率的人求这批人中真的患有肝癌的概率16条件概率独立性解：由解：由Bayes公式得公式得17条件概率独立性例例: 在一盒中装有在一盒中装有15个球个球, 其中有其中有9个新球个新球, 第一次比第一次比赛从中任取赛从中任取3个使用个使用, 赛后仍放回盒中赛后仍放回盒中, 第二次比赛时第二次比赛时, 再从盒中任取再从盒中任取3个球个球, 求求(1) 第二次取出的球都是新球的概率第二次取出的球都是新球的概率;(2) 已知第二次取出的球都是新球已知第二次取出的球都是新球, 第一次仅取出第一次仅取出2个个新球的概率新球的概率.解解 以以 表示事件表示事件“第一次比赛从盒中第一次比赛从盒中任取的任取的3个球中有个球中有i个新球个新球”,可知可知 是样是样本空间本空间S的一个划分的一个划分, 以以B表示事件表示事件“第二次取出的球都是新球第二次取出的球都是新球”. 则则18条件概率独立性19条件概率独立性(2) 由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得(1) 由全概率公式得由全概率公式得20条件概率独立性事件的独立性事件的独立性21条件概率独立性证明：只要证明若证明：只要证明若 相互独立，相互独立，则则 也相互独立即可。

也相互独立即可因为因为 而而 ，所以，所以22条件概率独立性三个事件的独立性三个事件的独立性23条件概率独立性多个事件的独立性多个事件的独立性则称则称 相互独立相互独立定义：定义：设设 是是 n 个事件，若对任意个事件，若对任意的的k 及任意的及任意的 , ,都有都有等式等式24条件概率独立性26例例1 甲甲、、乙乙、、丙丙三三人人各各自自去去破破译译一一个个密密码码，，他他们们能破译的概率分别为能破译的概率分别为 试求：密码能译出的概率试求：密码能译出的概率条件概率独立性例例2 甲甲、、乙乙、、丙丙三三人人同同时时对对飞飞机机射射击击，，三三人人击击中中的的概概率率分分别别为为0.4,0.5,0.7，，飞飞机机被被一一人人击击中中而而被被击击落落的的概概率率为为0.2，，飞飞机机被被二二人人击击中中而而被被击击落落的的概概率率为为0.6，，飞飞机机被被三三人人击击中中,必定被击落，求飞机被击落的概率。

必定被击落，求飞机被击落的概率27条件概率独立性28第第i人击中人击中 i =1,2,3条件概率独立性29条件概率独立性 事件的独立性在可靠性问题中的应用事件的独立性在可靠性问题中的应用所谓系统（元件）的可靠性是指系统（元件）正常所谓系统（元件）的可靠性是指系统（元件）正常工作的概率工作的概率例例: : 设有设有n个元件，每个元件的可靠性均为个元件，每个元件的可靠性均为r，且各，且各元件能否正常工作是相互独立的，试求串联系统和元件能否正常工作是相互独立的，试求串联系统和并联系统的可靠性并联系统的可靠性33条件概率独立性（（1 1）串联系统）串联系统12n设设 =“ =“第第i个元件正常工作个元件正常工作””，，““串联系统正常工作串联系统正常工作””等价于等价于““这这n个元件都正常工作个元件都正常工作””所以串联系统的可靠性为：所以串联系统的可靠性为：由于由于 r < 1 所以，串联系统的可靠性随着所以，串联系统的可靠性随着 n 的增大而减少的增大而减少34条件概率独立性““并联系统正常工作并联系统正常工作””等价于等价于““这这n个元件中个元件中至少有一个元件正常工作至少有一个元件正常工作” ” 可见并联系统的可靠性高于串联系统。

可见并联系统的可靠性高于串联系统所以并联系统的可靠性为：所以并联系统的可靠性为：（（2 2）并联系统）并联系统1n235条件概率独立性（（3 3）混联系统）混联系统 如如下下图所示图所示混联系统的可靠性一般可以分解为若干串联或并联子系混联系统的可靠性一般可以分解为若干串联或并联子系统，从而逐步求得其可靠性统，从而逐步求得其可靠性132436条件概率独立性 贝努利试验和二项概率贝努利试验和二项概率将将某某一一试试验验独独立立地地重重复复进进行行n次次，，我我们们只只关关心心每每次次试试验验中中某某个个事事件件A是是否否发发生生，，这这种种试试验验称称为为贝贝努努利利试试验验，，相相应应的的数数学学模模型型称为称为贝努利概型贝努利概型37条件概率独立性它具有如下它具有如下四个特征四个特征(1) (1) 在相同条件下进行在相同条件下进行n次重复试验次重复试验; ;(2) (2) 每次试验是相互独立的每次试验是相互独立的;(3) (3) 每次试验有且仅有两种结果每次试验有且仅有两种结果 ；；(4) (4) 每次试验中每次试验中 。

在在n重贝努里试验中，我们主要研究事件重贝努里试验中，我们主要研究事件A恰好出现恰好出现k次的概率次的概率 38条件概率独立性““在在n n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A A恰好发生了恰好发生了k k次次””，，设事件设事件其中其中 由于由于 n n 次试验是相互独立的，所以事件次试验是相互独立的，所以事件A A在指定的在指定的 k k 次试验中发生，而在其余次试验中发生，而在其余(n-k(n-k）次试验中不发生（如）次试验中不发生（如前前k k次试验中次试验中A A都发生，而在后（都发生，而在后（n-kn-k）次试验中）次试验中A A都不发都不发生）的概率为：生）的概率为：39条件概率独立性所以所以 由于由于 恰好是恰好是 按二项公式展开时的各项，所以上述按二项公式展开时的各项，所以上述 公式称为公式称为二项概率公式二项概率公式由于这种由于这种指指定方式有定方式有 种，且它们是两两互不相容的，种，且它们是两两互不相容的，40条件概率独立性41条件概率独立性例例 甲甲、、乙乙两两名名棋棋手手进进行行比比赛赛，，已已知知甲甲的的实实力力较较强强，，每每盘盘棋棋获获胜胜的的概概率率为为0.6，，假假定定每每盘盘棋棋的的胜胜负负是是相相互互独独立立的的，，且且不不会会出出现现和和棋棋。

试试求求在在下下列列三三种种情情形下甲最终获胜的概率形下甲最终获胜的概率1） 采用三盘比赛制；采用三盘比赛制；（2）采用五盘比赛制采用五盘比赛制42条件概率独立性43条件概率独立性解解 因因 ，，故故例例 已知已知则事件则事件A，，B，，C全不发生的概率全不发生的概率为为 50条件概率独立性从而从而 P(ABC)=0 ，于是，于是A，，B，，C全不发生的概率为全不发生的概率为51条件概率独立性例例 设设A，，B为两个事件，且为两个事件，且P(A)=0.7，，P(A-B)=0.3，求，求解法一解法一 故故52条件概率独立性解法二解法二故故所以所以53条件概率独立性例例 设两两相互独立的三事件设两两相互独立的三事件A，，B和和C满足；满足；且已知且已知则则P(A)= 解解 设设 因事因事件，件，A，，B，，C两两相互独立，则两两相互独立，则54条件概率独立性即即因因故故55条件概率独立性。