北师大版高三数学理复习学案：学案46 利用向量方法求空间角含答案.doc

高考数学精品复习资料 2019.5学案46　利用向量方法求空间角导学目标： 1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角．自主梳理1．两条异面直线的夹角(1)定义：设a，b是两条异面直线，在直线a上任取一点作直线a′∥b，则a′与a的夹角叫做a与b的夹角．(2)范围：两异面直线夹角θ的取值范围是_______________________________________．(3)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cos θ＝________＝______________.2．直线与平面的夹角(1)定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角．(2)范围：直线和平面夹角θ的取值范围是________________________________________．(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝__________或cos θ＝sin φ.3．二面角(1)二面角的取值范围是____________．(2)二面角的向量求法：①若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角(如图①)．②设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．自我检测1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(　　)A．45° B．135°C．45°或135° D．90°2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则(　　)A．l1∥l2 B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)A．120° B．60°C．30° D．以上均错4．(20xx·湛江月考)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)A．150° B．45° C．60° D．120°5．(20xx·铁岭模拟)已知直线AB、CD是异面直线，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB＝2，CD＝1，则异面直线AB与CD夹角的大小为(　　)A．30° B．45° C．60° D．75°探究点一　利用向量法求异面直线所成的角例1　已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．变式迁移1　如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC所成的角．探究点二　利用向量法求直线与平面所成的角例2　(20xx·新乡月考)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值．变式迁移2　如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成角的正弦值．探究点三　利用向量法求二面角例3　如图，ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝BC＝BA＝1，AD＝，求面SCD与面SBA所成角的余弦值大小．变式迁移3　(20xx·沧州月考)如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．(1)证明：SO⊥平面ABC；(2)求二面角A—SC—B的余弦值．探究点四　向量法的综合应用例4　如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形．(1)求证：AD⊥BC；(2)求二面角B－AC－D的余弦值；(3)段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．变式迁移4 (20xx·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE； (2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．1．求两异面直线a、b的夹角θ，需求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos θ＝|cos〈a，b〉|.2．求直线l与平面α所成的角θ.可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角．则sin θ＝|cos〈n，a〉|.3．求二面角α—l—β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角．则θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(20xx·成都月考)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值等于(　　)A. B.C. D.2．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　　)A. B. C. D.3．已知正四棱锥S—ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为(　　)A. B. C. D.4.如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知B1C，C1D与上底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的余弦值为(　　)A. B.C. D.5．(20xx·兰州月考)P是二面角α—AB—β棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α—AB—β的大小为(　　)A．60° B．70° C．80° D．90°二、填空题(每小题4分，共12分)6．(20xx·郑州模拟)已知正四棱锥P—ABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是________．7．如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°且PA＝AC＝BC＝a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．8．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(20xx·烟台模拟)如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD.(1)求二面角B－AD－F的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值．10．(12分)(20xx·大纲全国)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．11．(14分)(20xx·湖北)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．(1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C；(2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求tan θ的最小值．学案46　利用向量方法求空间角自主梳理1．(2)　(3)|cos φ|　2．(2)　(3)|cos φ|　3.(1)[0，π]自我检测1．C　2.B　3.C　4.C　5.C课堂活动区例1　解题导引　(1)求异面直线所成的角，用向量法比较简单，若用基向量法求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确．(2)用异面直线方向向量求两异面直线夹角时，应注意异面直线所成角的范围是解　如图所示，以C为原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设CA＝CB＝CC1＝2，则A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，∴＝(0，－1,2)，＝(－2,0，－2)，∴cos〈，〉＝＝－.∴异面直线BD与A1C所成角的余弦值为.变式迁移1　解　∵＝＋，＝＋，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·.∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴·＝0，·＝0，·＝0，·＝－a2，∴·＝－a2.又·＝||·||·cos〈，〉，∴cos〈，〉＝＝－.∴〈，〉＝120°.∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.例2　解题导引　在用向量法求直线OP与α所成的角(O∈α)时，一般有两种途径：一是直接求〈，〉，其中OP′为斜线OP在平面α内的射影；二是通过求〈n，〉进而转化求解，其中n为平面α的法向量．解　设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图．则M(1,0,2)，N(0,1,0)，可得＝(－1,1，－2)．又＝(0,0,2)为平面DCEF的法向量，可得cos〈，〉＝＝－.所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为|cos〈，〉|＝.变式迁移2　解　以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)．∴＝(0,2,1)，＝(1，－2,0)．设平面BDF的一个法向量为n＝(2，a，b)，∵n⊥，n⊥，∴　即解得a＝1，b＝－2.∴n＝(2,1，－2)．设AB与平面BDF所成的角为θ，则法向量n与的夹角为－θ，∴cos＝＝＝，即sin θ＝，故AB与平面BDF所成角的正弦值为.例3　解题导引　图中面SCD与面SBA所成的二面角没有明显的公共棱，考虑到易于建系，从而借助平面的法向量来求解．解　建系如图，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，B(0，1,0)，S(0,0,1)，∴＝(0,0,1)。