固体物理第二章答案.doc

1第 2 章晶体的结合习 题1. 有一晶体,平衡时体积为 ， 原子间相互作用势为 .如果相距为 r 的两原子互作用势为 0V0Unmraru证明(1)体积弹性模量为 K= .90VU(2)求出体心立方结构惰性分子的体积弹性模量.[解答]设晶体共含有 N 个原子,则总能量为U(r)= .ijijru'21由于晶体表面层的原子数目与晶体内原子数目相比小得多,因此可忽略它们之间的基异,于是上式简化为U= .'jij设最近邻原子间的距离为 R 则有 Rjiar再令 A A 得到 U=,1'jmja,'jnjn .20nmAN平衡时 R=R ,则由已知条件 U(R ) = 得00U002RNnm由平衡条件)(0Rd得.21010nmAN由(1),(2)两式可解得.)(2,0nnRNUA利用体积弹性模量公式[参见《固体物理教程》(2.14)式]K= 得 K= 0209RV nmRANV000 )1()1(291= = )()()()1(291000 nRUnmN.90V由于 因此 于是 K= ,U,U.9(1)由《固体物理教程》(2.18)式可知,一对惰性气体分子的互作用能为2若令.)(126rBAru,则 N 个惰性气体分子的互作用势能可表示为6,42.612)( RArU由平衡条件 可得 R 进一步得 0d.6120 .2)(1600ANRU代入 K= 并取 m=6， n=12， V 得 K= ..90Vn3004N251623A对体心立方晶体有 A 于是.19,25.16.7K2. 一维原子链,正负离子间距为 ,试证:马德隆常数为 1n2.a[解答] 相距 的两个离子间的互作用势能可表示成ijr.4)(2nijijij rbqu设最近邻原子间的距离为 R 则有 ,aj则总的离子间的互作用势能U= .jnjjjjij abRqNru''0' 14[22基中 jja1'为离子晶格的马德隆常数,式中+;- 号分别对应于与参考离子相异和相同的离子.任选一正离子作为参考离子,在求和中对负离子到正号,对正离子取负号,考虑到对一维离子两边的离子是正负对称分布的,则有利用正面的展开式 1n(1+ ).4132)1(' Ljja x,432Lx并令 得 =1n(1+1)=1n2.于是,一维离子链的马德常数为 1n2x 3. 计算面心立方面简单格子的 和 6A12(1)只计最近邻;(2)计算到次近邻;(3)计算到次近邻.[解答]图 2.26 示出了面心立方简单格子的一个晶胞.角顶 O 原子周围有 8 个这样的晶胞,标号为 1 的原子是原子 O 的最近邻标号为 2 的原子是 O 原子的最近邻,标号为 3 的原子是 O 原子的次次近邻.由此得到,面心立方简单格子任一原子有 12 个最近邻,6 个次近邻及 24 个次次近邻.以最近邻距离度量,其距离分别为:由.3,,1jjj aa.1,2'126'6 jjjj aAA3图 2.6 面心立方晶胞得(1)只计最近邻时 ， .12*)1(66A12*)(12\ A(2)计算到次近邻时.09412*612)(,75.1 66 A(3)计算到次次近邻时由以上可以看出,由于 .12703.94.123*241*612)3(69.8.75.1 666 A 12A中的幂指数较大, 收敛得很快,而 中的幂指数较小 ,因此 收敛得较慢,通常所采用的面心立方简单格子的 A6A和 的数值分别是 14.45 与 12.13. 6124. 用埃夫琴方法计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数.[解答]马德隆常数的定义式为 ,式中+、-号分别对应于与参考离子相异和相同的离子,二维正方离jja1'子(正负两种)格子,实际是一个面心正方格子,图 2.7 示出了一个埃夫琴晶胞.设参考离子 O 为正离子,位于边棱中点的离子为负离子,它们对晶胞的贡献为 4*(1/2).对参考离子库仑能的贡献为 图 2.7 二维正方离子晶格.12*4顶角上的离子为正离子,它们对晶胞的贡献为 4*(1/4), 对参考离子库仑能的贡献为 因此通过一个埃.241*夫琴晶胞算出的马德隆常数为 再选取 个埃夫琴晶胞作为考虑对象,这时离子.29314*2424O 的最的邻,次近邻均在所考虑的范围内,它们对库仑能的贡献为 而边棱上的离子对库仑能的贡献为 ,241,521*84顶角上的离子对为库仑能的贡献为 这时算出的马德隆常数为,841*图 2.8 4 个埃夫琴晶胞同理对 个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为932 61.84*1320*832148521 对 个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为642614.32*51872*10842*8304 当选取 n 个埃夫琴晶胞来计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数,其计算公式(参见刘策军,二维 NaC1 2晶体马德隆常数计算,《大学物理》 ，Vo1.14,No.12,1995.)为 .1,8411 nDCBAnn其中 ,21)(,1nBtAnt,1)()1( )2()(122222221  nnCL.12)()1(8 2222  nnDL55. 用埃夫琴方法计算 CsCl 型离子晶体的马德隆常数(1)只计最近邻(2)取八个晶胞[解答](1)图 2.29 是 CsCl 晶胸结构,即只计及最近邻的最小埃夫琴晶胞,图 2.29 是将 Cs 双在体心位置的结构,a图 2.9(a)是将 Cl 取在体心位置的结构,容易求得在只计及最近邻情况下,马德隆常数为 1.图 2.29 （a）Cs 取为体心的 CsC1 晶胞,(b) C1 取为体心的 CsC1 晶胞(2)图 2.10 是由 8 个 CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞,8 个最近邻在埃夫琴晶胞内,每个离子对晶胞的贡献为 1,它们与参考离子异号,所以这 8 个离子对马德隆常数的贡献为 8埃夫琴晶胞 6 个面上的离子与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是 ,它们与参考离子的距离为 它2132R们对马德隆常数的贡献为- 3/2*61图 2.10 8 个 CsCl 晶胞构成的一个埃夫琴晶胞埃夫琴晶胞楞上的 12 个离子,与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是 它们与参考离子的距离为41它们对马德隆常数的贡献为- 埃夫琴晶胞角顶上的 8 个离子,与参考离子同号,它们对埃32R324/1*夫琴晶胞的贡献是 它们与参考离子的距离为 2R 它们对马德隆常数的贡献为 - ,由 8 个 CsCl 晶胞81 21*构成的埃夫琴晶胞计算的马德隆常数 为了进一步.064.3)/(32)4/1(*/)(68找到马德常数的规律,我们以计算了由 27 个 CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数,结果发现,由 27 个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数是 0.439665.马德隆常数的不收敛,说明 CsCl 晶胞的结构的马德隆常数不能用传统的埃夫琴方法计算.为了找出合理的计算方法,必须首先找出采用单个埃夫琴晶胞时马德隆常数不收敛的原因.为了便于计算,通常取参考离子处于埃夫琴晶胞的中心.如果以 Cs 作参考离子,由于埃夫琴晶胞是电中性的要求,则边长为 (p 是大于或等于 1 的整数)的埃夫琴晶胞是由(2 p) 个 CsCl 晶胞所构成,埃夫琴晶胞a2 3最外层的离子与参考离子同号,而边长为(2 p+1)的埃夫琴晶胞是由(2 p+1) 个 CsCl 晶胞所构成,但埃夫琴晶胞的最外层离子与参考离子异号,如果以 C1 作参考离子也有同样的规律,设参考离子处于坐标原点 O ,沿与晶胞垂直的方向(分别取为 x,y,z 图 2.11 示出了 z 轴)看去,与参考郭同号的离子都分布在距 O 点 的层面上,其ia中 是大于等于 1 的整数,与 O 点离子异号的离子都分布在距 O 点( -0.5) 的层面上,图 2.11(a) 示出i ia了同号离子层,图 2.11(b)示出了异号离子层.6图 2.11 离子层示意图(a)表示同号离子层, O 离子所在层与 O 离子所在层相距' ia(b)表示异号离子层, O 离子所在层和 O 离子所在层相距( -0.5)'当 CsCl 埃夫琴晶胞边长很大时,晶胞最外层的任一个离子对参考离子的库仑能都变得很小,但它们对参考离子总的库仑能不能忽略.对于由(2 p) 个 CsCl 晶胞所构成的埃夫琴晶胞来说,最外层有 6*(2p) 个与参考离子同号的离子,3 2它们与参考离子的距离为(1/2) ~( ) ,它们与参考离子的库仑能为 量级,这是一个相对大的正a2p ae024值.对于由(2 p+1) 个 CsCl 晶胞所构成的埃夫琴晶胞来说,离外层有 6*(2p+1) 个与参考离子异号的离子,它们与参考3离子的库仑能为 量级,这是一个绝对值相对大的负值,因此,由(2 p) 个 CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞所e024 3计算的库仑能,与由(2 p+1) 个 CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能会有较大的差异.即每一情况计算的库仑能3都不能代表 CsCl 晶体离子间相互作用的库仑能.因此这两种情况所计算的马德隆常数也必定有较大的差异,由 1 个CsCl 晶胞、8 个 CsCl 晶胞和 27 个 CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞的计算可知, CsCl 埃夫琴晶胞体积不大时,这种现象已经存在.为了克服埃夫琴方法在计算马德隆常数时的局限性,可采取以下方法,令由 (2p) 个 CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞3计算的库仑能为 ，由(2 p+1) 个 CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能为 ，则 CsCl 晶体离子间相互作用1U3 1U的库仑能可近似取作(1))(221因子 1/2 的引入是考虑除了(2 p+1) 个 CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞最外层离子外 ,其他离子间的库仑能都累计了两3偏,计算 和 时要选取体积足够大的埃夫琴晶胞,此时埃夫琴晶胞最外层离子数与晶胞内的离子数相比是个很小1的数,相应的马德隆常数应为 (2))(212其中： 是由(2 p) 个 CsC1 晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的值; 由 (2p+1) 个1ija' 3 1ija' 3CsC1 晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算成本的值.为简化计算,特选取晶胞边长 为计算单位,由于 所以,32aR(3) ,23' ''' iia其中 是某一离子到参点的距离与 的比值.'iaa考虑到对称性,对选定的埃夫琴晶胞,把晶胞的离子看成分布在一个个以参考离子为对称心的正六面体的六个面上,体积不同的正六面六个面上的离子分别计算.由(2 p) 个 CsC1 晶胞构成埃夫琴晶胞时,由分析整理可得3(4),2111 ppipi CBA由(2 p+1) 个 CsC1 晶胸构成埃夫琴晶胞时,3(5),112 ppii D7其中： (6)),1('''2'2' piiyxkAixyi 表示与 O 点距离为 的 6 个面上所有的离子对马德隆常数的面贡献。