高三数学专题06解析几何题怎么解.pdf

高三数学专题高三数学专题 0606 解析几何题怎么解解析几何题怎么解安振平安振平高考解析几何试题一样共有4 题(2 个选择题,1 个填空题,1 个解答题),共计 30 分左右,考查的知识点约为 20 个左右.其命题一样紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆,圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的基础知识.解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的差不多知识,这点值得考生在复课时强化.例例 1 1已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点，AB=2、OT=t(0t1)，以 AB 为直腰作直角梯形AAB B，使A A垂直且等于 AT，使B B 垂直且等于 BT，AB 交半圆于 P、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线AB 的方程；（2）运算出点 P、Q 的坐标；（3）证明：由点 P 发出的光线，经 AB 反射后，反射光线通过点Q.讲解讲解:通过读图,看出A,B点的坐标.1t，(1)明显A1,1t,B1，因此 直线AB 的方程为y tx 1；x2 y2 1,（2）由方程组y tx 1,2t1 t2解出P(0,1)、Q(,)；1 t21 t21 01（3）kPT,0 tt1 t2 021 t211 t.22ttt(1 t)t1 t2kQT由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知，由点 P 发出的光线经点 T 反射，反射光线通过点 Q.需要注意的是,Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式,有味吗?x2y2例例 2 2已知直线 l 与椭圆221(a b 0)有且仅有一个交点 Q，且与 x 轴、yab轴分别交于 R、S，求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程讲解：讲解：从直线l所处的位置,设出直线l的方程,由已知，直线 l 只是椭圆的四个顶点，因此设直线l 的方程为y kx m(k 0).代入椭圆方程b2x2a2y2 a2b2，得b2x2 a2(k2x2 2kmx m2)a2b2.化简后，得关于x的一元二次方程(a2k2b2)x2 2ka2mx a2m2 a2b2 0.因此其判别式 (2ka2m)24(a2k2b2)(a2m2a2b2)4a2b2(a2k2b2m2).由已知，得=0即a2k2b2 m2.在直线方程y kx m中，分别令 y=0，x=0，求得R(m,0),S(0,m).kmyx ,k ,kx令顶点 P 的坐标为（x，y），由已知，得解得y m.m y.22代入式并整理，得ab1,即为所求顶点 P 的轨迹方程x2y222方程ab1形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗?x2y22 3x2y2例例 3 3 已知双曲线221的离心率e，过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距3ab离是3.2（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y kx 5(k 0)交双曲线于不同的点 C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求 k 的值.讲讲 解解：（1）c23,原 点 到 直 线AB：xy 1的 距 离a3abd aba2 b23.ab3.c2.b 1,a 2故所求双曲线方程为x y2 1.3（2）把y kx 5代入 x2 3 y2 3中消去 y，整理得(13k2)x230kx 78 0.设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则x0kBEx1 x215 k5 y kx 5,0021 3k21 3k2y 110.x0kx0 ky0 k 0,即15 k5 k k 0,又 k 0,k2 7221 3 k1 3 k故所求 k=7.为了求出k的值,需要通过消元,方法设法建构k的方程.例例 4 4 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1、F2在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为 90，直线 l 过左焦点 F1与椭圆交于 A、B 两点，ABF2的面积最大值为 12（1）求椭圆 C 的离心率；（2）求椭圆 C 的方程讲解：讲解：（1）设|PF1|r1,|PF2|r2,|F1F2|2c,对PF1F2,由余弦定理,得r11r224c2(r1r2)22r1r24c24a24c24a24c2cosF1PF211r r2r1r22r1r22r1r22(12)221 2e2 0，解出e 2.2（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情形：i)当 k 存在时，设 l 的方程为y k(x c)x2y2椭圆方程为221,A(x1,y1),B(x2,y2)ab由e 2.得a2 2c2,b2 c2.x 2y22c2 0因此椭圆方程可转化为2将代入，消去y得x2 2k2(x c)2 2c2 0,整理为x的一元二次方程，得(1 2k2)x2 4ck2x 2c2(k21)0.2则 x1、x2是上述方程的两根且2 2c 1 k2，|x2 x1|21 2k2 2c(1 k2)，|AB|1 k|x2 x1|1 2k22AB 边上的高h|F1F2|sinBF1F2 2c|k|1k2,也可如此求解：S 1|F1F2|y1 y2|2 c|k|x1 x2|11 k2|k|S 2 2c()2c2221 2k1 k 2 2c2 2 2c21k2|k|k2k42 2 2c12k214k24k4142c2.1k4k2ii)当 k 不存在时，把直线x c代入椭圆方程得22y c,|AB|2c,S 2c2c221由知 S 的最大值为2c2由题意得2c2=12因此c2 6 2 b2a212 222故当ABF2面积最大时椭圆的方程为：xy1.12 26 2下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：x myc（如此设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）22椭圆的方程为：xy1,A(x1,y1),B(x2,y2)22ab2222.得：a2 2c2,b2 c2,因此椭圆方程可化为：x 2y 2c 02把代入并整理得：(m2 2)y2 2mcy c2 0因此y1,y2是上述方程的两根.由e|AB|(x1 x2)2(y1y2)21 m2|y2 y1|1m24m2c24c2(m2 2)m222 2c(1 m2),m2 2AB 边上的高h 2c1 m2,2c1 m2 2 2c22从而S 1|AB|h 12 2c(1 m)222m 21 m2(m 2)2 2 2c2m2111 2m 122c2.当且仅当 m=0 取等号，即Smax2c2.由题意知2c212,因此b2 c2 6 2,a212 2.22故当ABF2面积最大时椭圆的方程为：xy1.12 26 2x2y2例例 5 5已知直线y x 1与椭圆221(a b 0)相交于 A、B 两点，且线段abAB 的中点在直线l:x 2y 0上.（）求此椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x y22 4上，求此椭圆的方程.y x 1，讲解讲解:（1）设 A、B 两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由x2得y212b2a(a2b2)x2 2a2x a2 a2b2 0,依照韦达定理，得2a22b2,y1 y2(x1 x2)2 2,x1 x2222a ba ba2b2,2线段 AB 的中点坐标为（2）.22a ba ba22b22 0,a2 2b2 2(a2c2)a2 2c2由已知得222a ba b故椭圆的离心率为e 2.2（2）由（1）知b c,从而椭 圆的右焦点坐标 为F(b,0),设F(b,0)关于直线l:x 2y 0的对称点为(x0,y0),则解得x0y00 1x by 1且0 20 0,x0b 22234b且y0b553242222由已知得x0 y0 4,(b)(b)4,b 455x2y21.故所求的椭圆方程为84例例 6 6已知M：x (y 2)1,Q是x轴上的动点，QA，QB 分别切M 于 A，B22两点，（1）假如|AB|4 2，求直线 MQ 的方程；3（2）求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.讲解讲解:（1）由|AB|4 2|AB|22 2212，可得|MP|MA|()12(),由3233射影定理，得|MB|MP|MQ|,得|MQ|3,在 RtMOQ 中，|OQ|MQ|2|MO|232225，故a 25或a 5，因此直线 AB 方程是2x 5y 2 5 0或2x 5y 2 5 0;（2）连接 MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由点 M，P，Q 在一直线上，得2y 2,(*)由射影定理得|MB|2|MP|MQ|,ax即x2(y 2)2a2 4 1,(*)把（*）及（*）消去 a，并注意到y 2，可得71x2(y)2(y 2).416适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.例例 7 7如图，在 RtABC 中，CBA=90，AB=2，AC=2。

DOAB 于 O 点，2OA=OB，DO=2，曲线 E 过 C 点，动点 P 在 E 上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；（2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之间，设DM，DN试确定实数的取值范畴讲解讲解:（1）建立平面直角坐标系,如图所示.|PA|+|PB|=|CA|+|CB|y=2222()2 2 222C动点P的轨迹是椭圆.xAOBa 2,b 1,c 1.x2 y21.曲线 E 的方程是2（2）设直线 L 的方程为y kx 2,代入曲线 E 的方程x 2y 2，得22(2k1)x 8kx 6 0设 M1（x1,y1),22N(x2,y2),则 (8k)24(2k 1)6 0,8k,x1 x2 22k 16x1x22.2k 1i)L 与 y 轴重合时，|DM|1|DN|3ii)L 与 y 轴不重合时，由得k又23.2x xMxDMD1,DNxD xNx2x2 x1 0,或x2 x1 0,01,(x1 x2)2x1x21 2 2.x1x2x2x1(x x2)2x1 x2264k226(2k 1)3213(22)k而k4 31,6 3(22)8.2k323(21)2k16,34 1 2 16110,2,330 1,1 2,110,311.3的取值范畴是,1.值得读者注意的是，直线L 与 y 轴重合的情形易于遗漏，应当引起小心.例例8 8直 线l过 抛 物 线y 2px(p 0)的 焦 点，且 与 抛 物 线 相 交 于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点.（1）求证：4x1x2 p;（2）求证：关于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线 l 不是 CD 的垂直平分线.讲解讲解:（1）易求得抛物线的焦点F(P,0).22若 lx 轴，则 l 的方程为x P,显然x1x2P.132224若2l不 垂 直 于x轴，可 设y k(x P),代 入 抛 物 线 方 程 整 理 得22PP2P2.x P(12)x 0,则x1x244k综上可知4x1x2 p.（2）设C(c,c),D(d,d)且c d，则CD的 垂 直 平 分 线l的 方 程 为2p2p222c dc dc2 d2y (x)22p4p22c dc dpc d假设l过 F，则0()整理得22p24p(c d)(2p2 c2 d2)0p 02p2 c2 d2 0，c d 0.2这时l的方程为 y=0，从而l与抛物线y 2px只相交于原点.而 l 与抛物线有两个不同的交点，因此l与 l 不重合，l 不是 CD 的垂直平分线.此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在经历中积存，能力在联想中提升.课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！例例 9 9 某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口A 和 B，沿着道路 AP、BP 运往公路另一侧的 P 处，PA=100m，PB=150m，APB=60，试说明如何样运土石最省工？讲解讲解:以直线 l 为 x 轴，线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在 l 一侧必存在经A 到 P 。