人教版九年级数学上册《根与系数关系》课件.pdf

1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程的根的情况怎样确定？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？ 4 4、求一个一元二次方程，使它的两个、求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为根分别为 2 2和和3;3;-4-4和和7;7;3 3和和-8;-8;-5-5和和-2-2 (x-2)(x-3)=0 x2-5x+6=0 x2-3x-28=0 (x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0 (x+5)(x+2)=0 (x+4)(x-7)=0 x2+7x+10=0 问题问题1 1：从求这些方程的过程中你发现根：从求这些方程的过程中你发现根 与各项系数之间有什么关系？与各项系数之间有什么关系？ 新课讲解新课讲解 如果方程如果方程x2+px+q=0有两个根是有两个根是x1,x2 那么有那么有x1+ x2=-p, x1 x2=q 猜想猜想：2 2x x2 2-5x+3=0,-5x+3=0,这个方程的两根之和，这个方程的两根之和， 两根之积是与各项系数之间有什么关系两根之积是与各项系数之间有什么关系 ？ 问题问题2 2；对于一元二次方程的一般式是否也；对于一元二次方程的一般式是否也 具备这个特征？具备这个特征？ x2=1解得：解得：x1= 所以得到所以得到,x1+x2=x1 x2= 填写下表：填写下表： 方程方程 两个根两个根 两根两根 之和之和 两根两根 之积之积 a与与b 之间之间 关系关系 a与与c 之间之间 关系关系 猜想：猜想： 如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根的两个根 分别是分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？，那么，你可以发现什么结论？ 已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。

求证：求证： 推导: 如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 ，那么：，那么： 这就是一元二次方程一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系，也叫，也叫韦达定理韦达定理 一元二次方程的一元二次方程的 根与系数的关系根与系数的关系 16世纪法国最杰出的数学家韦达韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系， 因此,人们把这个关系称为韦达定理韦达定理数学原本只 是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取 得了伟大的成就韦达是第一个有意识地和系统地 使用字母表示数字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多 改进是他确定了符号代数的原理与方法，使当时 的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用 因此，他获得了“代数学之父代数学之父”之称 1. 3. 2. 4. 5. 口答下列方程的两根之和与两根之积口答下列方程的两根之和与两根之积 练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？ 返回 例例1：已知：已知是方程是方程 的两个实数根，求的两个实数根，求的值 解：解： 根据根与系数的关系根据根与系数的关系: 例例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（两个根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒数和）倒数和 解：设方程的两个根是解：设方程的两个根是x1 x2，那么那么 返回 例例1. 不解方程，求方程不解方程，求方程 的的 两根的平方和、倒数和。

解法如上）两根的平方和、倒数和解法如上） 用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值 求求与方程的根与方程的根有关的有关的代数式的值代数式的值时时, 一般先将所求的代数式化成一般先将所求的代数式化成含两根之和含两根之和, 两根之积两根之积的形式的形式,再再整体代入整体代入. 例如：已知方程例如：已知方程 x22x1的两根为的两根为 x1,x2， 不解方程，求下列各式的值不解方程，求下列各式的值 （1）（）（x1x2）2 （2）x13x2x1x23 （3） 1 1、如果、如果-1-1是方程是方程2X X2 2X+m=0X+m=0的一个根，则另的一个根，则另 一个根是一个根是_，m =_m =_ 2 2、设设 X1、X2是方程是方程X X2 24X+1=04X+1=0的两个根，则的两个根，则 X1+X2 = _ ,X1X2 = _， ， X12+X22 = ( = ( X1+X2)2 - - _ = _ ( ( X1-X2)2 = ( ( _ )2 - - 4X1X2 = _ 3、判断正误：判断正误： 以以2和和-3为根的方程是为根的方程是X X2 2X-6=0 X-6=0 （ ） 4 4、已知两个数的和是已知两个数的和是1 1，积是，积是-2-2，则这两个数是，则这两个数是 _ 。

X1+X2 2X1X2 -3 41 14 12 2和和-1 基基 础础 练练 习习 （还有其他解法吗？）（还有其他解法吗？） 例例2： 已知方程已知方程 的一个根的一个根 是是2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的值的值. 解：设方程 的两个根 分别是 、 ，其中 所以： 即： 由于 得：k=-7 答：方程的另一个根是 ，k=-7 练习：练习： （1）若关于）若关于x的方程的方程2x25xn0的一个根是的一个根是 2，求它的另一个根及，求它的另一个根及n的值 （2）若关于）若关于x的方程的方程x2kx60的一个根是的一个根是 2，求它的另一个根及，求它的另一个根及k的值 （3）、已知一元二次方程的）、已知一元二次方程的 的一个根为的一个根为1 ，则方程的另一根为，则方程的另一根为_， m=_： （4）、）、已知方程已知方程 的一个根是的一个根是 1， 求它的另一个根和求它的另一个根和m的值 例例3 3：已知方程的两个实数根已知方程的两个实数根 是是且且 求求k k的值 解：由根与系数的关系得解：由根与系数的关系得 X X1 1+X+X2 2=-k=-k， X X1 1X X2 2=k+2=k+2 又又 X X1 12+ X X2 2 2 = 4 = 4 即即( (X X1 1+ X X2 2)2 -2-2X X1 1X X2 2=4 =4 K K2 2- 2(k+2- 2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 = = K K2 2-4k-8-4k-8 当当k=4k=4时，时， 0 0 当当k=-2k=-2时，时，0 0 k=-2k=-2 解得：解得：k=4 或或k=2 练习：练习： （1）已知方程）已知方程 的的 两根为两根为 、 ， 且且 ，求，求 k的值。

的值 已知关于已知关于x的方程的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的的两根的平方和比两根之积的3倍少倍少 10，求，求k的值的值. 例例4 4：方程：方程 有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求m m的取值范围的取值范围 解解:由已知由已知, = 即即 m0 m-10 0m1 总结规律：总结规律： 两根均为负的条件： X1+X2 且且X1X2 两根均为正的条件： X1+X2 且且X1X2 两根一正一负的条件： X1+X2 且且X1X2 当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac0 即： 一正根，一负根一正根，一负根 0 X1X20 两个正根两个正根 0 X1X20 X1+X20 两个负根两个负根 0 X1X20 X1+X20 练练习习：方方程程x2 (m 1)x 2m 1 0求求m满满足足什什 么么条条件件时时,方方程程的的两两根根互互为为相相反反数数？方方程程的的 两根互为倒数？方程的一根为零？两根互为倒数？方程的一根为零？ 解:(m1)24(2m1)m26m5 两根互为相反数 两根之和m10,m1,且0 m1时,方程的两根互为相反数. 两根互为倒数 m26m5, 两根之积2m11 m1且0, m1时,方程的两根互为倒数. 方程一根为0, 两根之积2m10 且0, 时,方程有一根为零. 引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根. 2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初 中代数里，当且仅当 时，才 能应用根与系数的关系. 1.一元二次方程根与系数的关系是什么? 以以 为两根的一元二次方程为两根的一元二次方程 (二次项系数为二次项系数为1)为为: 4、已知两根求作新的方程已知两根求作新的方程 请同学们在课后通过以下几道题检测请同学们在课后通过以下几道题检测 自己对本节知识的掌握情况自己对本节知识的掌握情况： P36 第第6 6题题 P38 第第1111、1212题题 本堂课结束了，望同学本堂课结束了，望同学 们勤于思考，学有所获。

们勤于思考，学有所获 Goodbye!Goodbye! See you next time!See you next time! 。