近年考研数学三线性代数部分题目整合.pdf

1 线性代数-考研题 线性代数-考研题 第一章第一章 行列式行列式 一．选择题 1． （95）若 21321 ,,,,ββααα都是四维列向量，且四阶行列式m=|,,,| 1321 βααα，n=|,,,| 3221 αβαα， 则四阶行列式| )( ,,,| 21321 ββααα+等于（ ） （A）nm +． （B）)(nm +−． （C）mn −． （D）nm −． 二．填空题： 1． （96）五阶行列式= −− −− −− −− − = a aa aa aa aa D 11000 1100 0110 0011 0001 ． 2． （97）设n阶矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 01111 10111 11011 11101 11110 L L LLLLLL L L L A，则=|| A ． 3． （99）设随机变量)2;,, 2, 1,(≥=nnjiXijL独立同分布，2)(= ij XE，则行列式 nnnn n n XXX XXX XXX Y L LLLL L L 21 22221 11211 = 的数学期望=)(YE ． 4． （01）设行列式 2235 0070 2222 0403 − − =D，则第四行各元素余子式之和的值为 ． 5． （05）设 321 ,,ααα均为三维列向量，记三阶矩阵 ),,( 321 ααα=A，)93,42,( 321321321 ααααααααα++++++=B． 如果1||=A，那么=|| B ． 6． （06）已知 21,α α为 2 维列向量，矩阵),2( 2121 αααα−+=A，),( 21 αα=B．若行列式6||=A，则 =|| B ． 第二章第二章 矩阵矩阵 2 一．选择题： 1． （96）设n阶矩阵A非奇异)2( ≥n，*A是矩阵A的伴随矩阵，则（ ） （A）AAA n 1 ||*)*( − =． （B）AAA n 1 ||*)*( + =． （C）AAA n 2 ||*)*( − =． （D）AAA n 2 ||*)*( + =． 2． （97）设BA,为同阶可逆矩阵，则（ ） （A）BAAB =． （B）存在可逆矩阵P，使BAPP= −1 ． （C）存在可逆矩阵C，使BACC T =． （D）存在可逆矩阵P和Q，使BPAQ =． 3． （98）设)3( ≥nn阶矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 1 L LLLLL L L L aaa aaa aaa aaa A， 若矩阵A的秩为1−n，则a必为（ ） （A）1． （B） n−1 1 ． （C）1−． （D） 1 1 −n ． 4． （01） 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa A， ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 41424344 31323334 21222324 11121314 aaaa aaaa aaaa aaaa B， ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0001 0100 0010 1000 1 P， ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1000 0010 0100 0001 2 P， 其中A可逆，则 1− B等于（ ） （A） 21 1 PPA−． （B） 2 1 1 PAP − ． （C） 1 21 − APP． （D） 1 1 2 PAP − ． 5． （02）设BA,为n阶矩阵，**, BA分别为BA,对应的伴随矩阵，分块矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = BO OA C，则C的伴随 矩阵=*C（ ） （A） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ *|| *|| BBO OAA ． （B） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ *|| *|| AAO OBB ． （C） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ *|| *|| ABO OBA ． （D） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ *|| *|| BAO OAB ． 6． （03）设三阶矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = abb bab bba A，若A的伴随矩阵的秩为 1，则必有（ ） （A）ba =或02 =+ ba． （B）ba =或02 ≠+ ba． （C）ba ≠且02 =+ ba． （D）ba ≠且02 ≠+ ba． 7． （04）设n阶矩阵A与B等价，则必有（ ） （A）当)0(||≠=aaA时，aB =||． （B）当)0(||≠=aaA时，aB−=||． 3 （C）当0||≠A时，0||=B． （D）当0||=A时，0||=B． 8． （05） 设矩阵 33 )( × = ij aA满足 T AA =*， 其中*A为A的伴随矩阵， T A为A的转置矩阵， 若 131211 ,,aaa 为三个相等的正数，则 11 a为（ ） （A） 3 3 ． （B）3． （C） 3 1 ． （D）3． 9． （05） 设CBA,,均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵， 若ABEB+=，CAAC+=， 则CB −为 （ ） （A）E． （B）E−． （C）A． （D）A−． 10．（06）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1 列的−1 倍加到第 2 列得C， 记 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 100 010 011 P，则（ ） （A）APPC 1− =． （B） 1− = PAPC． （C）APPC T =． （D） T PAPC =． 11．（08）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若OA = 3 ，则（ ） （A）AE −不可逆，AE +不可逆． （B）AE −不可逆，AE +可逆． （C）AE −可逆，AE +可逆． （D）AE −可逆，AE +不可逆． 12．（09） 设BA,均为 2 阶矩阵，**,BA分别为BA,的伴随矩阵， 若3|| , 2||==BA， 则分块矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ OB AO 的伴随矩阵为（ ） （A） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ OA BO *2 *3 ． （B） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ OA BO *3 *2 ． （C） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ OB AO *2 *3 ． （D） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ OB AO *3 *2 ． 13．（09）设PA,均为 3 阶矩阵， T P为P的转置矩阵，且 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 200 010 001 APPT，若),,( 321 ααα=P， ),,( 3221 αααα+=Q，则AT为（ ） （A） ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 011 012 ． （B） ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 021 011 ． （C） ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 010 002 ． （D） ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 020 001 ． 14．（11） 设A为 3 阶矩阵， 将A的第二列加到第一列得矩阵B， 再交换B的第二行与第三行得单位矩阵， 记 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 100 011 001 1 P， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 010 100 001 2 P，则=A（ ） （A） 21P P． （B） 2 1 1 PP − ． （C） 12P P． （D） 1 12 − PP． 15．（12）设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵，且 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 1 1 1AP P，),,( 321 ααα=P， 4 ),,( 3221 αααα+=Q，则= − A 1 （ ） （A） ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 2 1 ． （B） ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 1 ． （C） ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 2 ． （D） ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 2 2 ． 二．填空题： 1． （95）设 4 阶方阵A的秩为 2，则其伴随矩阵*A的秩为 ． 2． （98）设矩阵BA,满足EBABAA82*−=，其中 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= 100 020 001 A，E为单位矩阵，*A为A的伴随 矩阵，则=B ． 3． （98）设BA,均为n阶矩阵，3||, 2||−==BA，则= − |*2| 1 BA ． 4． （99）设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 101 020 101 A，而2≥n为正整数，则=− −1 2 nn AA ． 5． （99）已知ABAB=−，其中 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = 200 012 021 B，则=A ． 6． （00）设 T ) 1, 0, 1 (−=α，矩阵 T Aαα=，n为正整数，则=−|| n AaE ． 7． （01）设矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = k k k k A 111 111 111 111 ，且3)(=A秩，则=k ． 8． （02）设矩阵 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = 32 11 A，EAAB23 2 +−=，则= −1 B ． 9． （03）设n维向量0,), 0,, 0,( m 时必有非零解． （C）当 m n 时仅有零解． （D）当 m n 时必有非零解． 10．（03）设α 1 , α 2 , …, α s均为 n 维向量，下列结论不正确的是（ ） （A）若对于任意一组不全为零的数 k1 , k2 , …, ks ，都有 k1α 1 + k2α 2 + … + ksα s ≠ θ ，则α 1 , α 2 , …, αs 线性无关． （B）若α 1 , α 2 , …, α s线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k1 , k2 , …, ks，都有 k1α 1 + k2α 2 + … + ksα s = θ ． （C）α 1 , α 2 , …, α s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s． （D）α 1 , α 2 , …, α s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 11．（04） 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A* ≠ O， 若ξ 1, ξ 2, ξ 3, ξ 4是非齐次线性方程组 Ax = b 的互不相等的解， 则对应的齐次线性方程组 Ax = θ 的基础解系（ ） （A）不存在． （B）仅含一个非零解向量． （C）含两个线性无关的解向量． （D）含三个线性无关的解向量． 12．（06）设α 1 , α 2 , …, α s均为 n 维列向量，A 是 m × n 矩阵，下列选项正确的是（ ） （A）若α 1 , α 2 , …, α s线性相关，则 Aα 1 , Aα 2 , …, Aα s线性相关． （B）若α 1 , α 2 , …, α s线性相关，则 Aα 1 , Aα 2 , …, Aα s线性无关． （C）若α 1 , α 2 , …, α s线性无关，则 Aα 1 , Aα 2 , …, Aα s线性相关． （D）若α 1 , α 2 , …, α s线性无关，则 Aα 1 , Aα 2 , …, Aα s线性无关． 13．（07）设向量组α 1 , α 2 , α 3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ） （A）α 1 − α 2 , α 2 − α 3, α 3 − α 1． （B）α 1 +。