人教版八年级数学上册第十二章全等三角形教学ppt课件全套.pptx
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12.2三角形全等的判定第十二章 全等三角形 第1课时 “边边边” 情境引入学习目标 1.探索三角形全等条件.（重点） 2.“边边边”判定方法和应用.（难点） 3.会用尺规作一个角等于已知角，了解图形的作法． 导入新课导入新课 为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据了，能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？情境引入 ABCDEF1. 什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫 全等三角形.3.已知△△ABC ≌≌△△DEF，找出其中相等的边与角.①①AB=DE③③ CA=FD②② BC=EF④④ ∠∠A= ∠∠D⑤⑤ ∠∠B=∠∠E⑥⑥ ∠∠C= ∠∠F2. 全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等.知识回顾 如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△△ABC≌≌△△DEF吗?想一想：即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等． 探究活动探究活动1 1：一个条件可以吗？：一个条件可以吗？（1）有一条边相等的两个三角形不一定全等（2）有一个角相等的两个三角形不一定全等结论：有一个条件相等不能保证两个三角形全等.三角形全等的判定（“边边边”定理）一 6cm300有两个条件对应相等不能保证三角形全等.60o300不一定全等探究活动探究活动2 2：两个条件可以吗？：两个条件可以吗？3cm4cm不一定全等30060o3cm4cm不一定全等30o 6cm结论：（1）有两个角对应相等的两个三角形（2）有两条边对应相等的两个三角形（3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形 结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等.（1）有三个角对应相等的两个三角形60o30030060o90o90o探究活动探究活动3 3：三个条件可以吗？：三个条件可以吗？ 3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm（2）三边对应相等的两个三角形会全等吗？ 先 任 意 画 出 一 个 △△ABC， 再 画 出 一 个△△A′B′C′ ,使A′B′= AB ,B′C′ =BC, A′ C′ =AC.把画好的△△A′B′C′剪下，放到△△ABC上，他们全等吗？ABCA ′B′C′想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？作法：（1）画B′C′=BC；；（2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A'；（3）连接线段A'B',A 'C '. u文字语言：三边对应相等的两个三角形全等. （简写为“边边边”或“SSS”）知识要点 “边边边”判定方法ABCDEF在△ABC和△ DEF中，∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）. AB=DE，， BC=EF，， CA=FD，，u几何语言： 例1 如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架．求证：（1）△△ABD ≌≌△△ACD ．CBDA典例精析解题思路：先找隐含条件 公共边AD再找现有条件 AB=AC最后找准备条件BD=CDD是BC的中点 证明：∵ D 是BC中点， ∴ BD =DC． 在△ABD 与△ACD 中，∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．CBDAAB =AC (已知）BD =CD （已证）AD =AD （公共边）准备条件指明范围摆齐根据写出结论(2)∠BAD = ∠CAD.由（1）得△ABD≌△ACD ， ∴ ∠BAD= ∠CAD. （全等三角形对应角相等） ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.u证明的书写步骤： 如图, C是BF的中点，AB =DC,AC=DF.求证:△ABC ≌ △DCF.在△ABC 和△DCF中，AB = DC，∴ △ABC ≌ △DCF(已知)(已证)AC = DF，BC = CF，证明：∵C是BF中点，∴BC=CF.(已知)(SSS). 已知: 如图,点B、E、C、F在同一直线上 , AB = DE , AC = DF ,BE = CF .求证: （1）△ABC ≌ △DEF； （2）∠A=∠D.证明:∴ △ABC ≌ △DEF ( SSS ).在△ABC 和△DEF中，AB = DE，AC = DF，BC = EF，(已知已知)(已知已知)(已证已证)∵ BE = CF，∴ BC = EF.∴ BE+EC = CF+CE，（1）（（2）∵ △ABC ≌ △DEF（已证）， ∴ ∠A=∠D（全等三角形对应角相等）.E E 已知：∠∠AOB．．求作： ∠∠A′O′B′=∠∠AOB．．例2 用尺规作一个角等于已知角．ODBCA O′C′A′B′D ′用尺规作一个角等于已知角二 作图总结 作法： （1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA， OB 于点C、D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半 径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中 所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．已知：∠∠AOB．．求作：∠∠A′O′B′=∠∠AOB．．用尺规作一个角等于已知角依据是什么？ 1.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE， 要使△ABF≌△ECD ，还需要条件 ___ (填一个条件即可）. BF=CDAE==××BDFC当堂练习当堂练习2.如图，AB＝CD，AD＝BC, 则下列结论： ①△ABC≌△CDB；②△ABC≌△CDA；③△ABD ≌△CDB；④BA∥DC. 正确的个数是 ( ) A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个OABCDC==×× 3.已知：如图 ，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌△AED.证明：∵BD=CE, ∴BD－CD=CE－CD . ∴BC=ED .××==在△ABC和△ADE中，AC=AD（已知），AB=AE（已知），BC=ED（已证），∴△ABC≌△AED（SSS）. 4.已知：如图 ，AC=FE，AD=FB,BC=DE.求证：(1)△ABC≌△FDE; (2) ∠C= ∠E.证明：(1)∵ AD=FB， ∴AB=FD（等式性质）. 在△ABC和△FDE 中，AC=FE（已知），BC=DE（已知），AB=FD（已证），∴△ABC≌△FDE（SSS）；ACEDBF==??。
2）∵ △ABC≌△FDE（已证）.∴ ∠C=∠E（全等三角形的对应角相等）. 5.如图,AD＝BC,AC＝BD.求证:∠C＝∠D .(提示: 连结AB)证明：连结AB两点,∴△ABD≌△BAC(SSS)AD=BC，BD=AC，AB=BA，在△ABD和△BAC中，∴∠D=∠C. 思维拓展 6.如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA△ABD≌△ACD(SSS)AB=AC，BD=CD，AD=AD，△ABH≌△ACH(SSS)AB=AC，BH=CH，AH=AH，△BDH≌△CDH(SSS)BH=CH，BD=CD，DH=DH， 课堂小结课堂小结 边边边内 容有三边对应相等的两个三角形全等（简写成 “SSS”)应用思路分析书写步骤结合图形找隐含条件和现有条件，证准备条件注 意四步骤1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 12.2三角形全等的判定第十二章 全等三角形 第第2 2课时课时 “ “边边角角边边”” 情境引入学习目标 1．．探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”.（重点） 2．．会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．（重点） 3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．（难点） 1.回顾三角形全等的判定方法1 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为 “边边边”或“SSS”）.在△ABC和△ DEF中∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD2.符号语言表达：ABCDEF 当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:三角×三边√两边一角？？两角一边 除了SSS外,还有其他情况吗？ 讲授新课讲授新课三角形全等的判定（“边角边”定理）一问题：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC“两边及夹角”“两边和其中一边的对角”它们能判定两个三角形全等吗？ 尺规作图画出一个△△A′B′C′，使A′B′＝＝AB，，A′C′＝＝AC，，∠∠A′＝＝∠∠A （即使两边和它们的夹角对应相等）. 把画好的△△A′B′C′剪下，放到△△ABC上，它们全等吗？A B C 探究活动探究活动1 1：：SASSAS能否判定能否判定的两个三角形全等的两个三角形全等 A B C A′ D E B′ C′ 作法：（1）画∠DA'E=∠∠A；；（2）在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；（3）连接B'C '.思考： ①① △ △A′ B′ C′ 与 △ △ABC 全等吗？如何验证？②这两个三角形全等是满足哪三个条件？ 在△△ABC 和△△ DEF中，∴ △△ABC ≌≌△△ DEF（（SAS）．）． u 文字语言：文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 （简写成“边角边”或“SAS ”）．知识要点 “边角边”判定方法u几何语言：AB = DE，，∠∠A =∠∠D，，AC =AF ，，A B C D E F 必须是两边“夹角” 例1 ：如果AB=CB ，，∠∠ ABD= ∠∠ CBD，，那么 △△ ABD 和△△ CBD 全等吗？分析:△△ ABD ≌≌△△ CBD.边:角:边: :AB=CB(已知)，∠ABD= ∠CBD(已知)，？？ABCD(SAS)BD=BD(公共边).典例精析证明： 在△ABD 和△ CBD中，AB=CB(已知)，∠ABD= ∠CBD(已知)， ∴ △ ABD≌△CBD ( SAS).BD=BD(公共边)，， 变式1:已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2. 求证:(1) AD=CD； (2) DB 平分∠ ADC.ADBC1243在△ABD与△CBD中，证明:∴△ABD≌△CBD（SAS），AB=CB (已知），∠1=∠2 （已知），BD=BD （公共边），∴AD=CD，∠3=∠4，∴DB 平分∠ ADC. ABCD变式2:已知:AD=CD，DB平分∠ADC ，求证:∠A=∠C.12在△ABD与△CBD中，证明:∴△ABD≌△CBD（SAS），AD=CD (已知），∠1=∠2 （已证），BD=BD （公共边），∴∠A=∠C.∵DB 平分∠ ADC，∴∠1=∠2. 例2：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?C·AEDB证明：在△ABC 和△DEC 中，∴∴△△ABC ≌≌△△DEC（（SAS），），∴∴AB =DE ，，（（全等三角形的对应边相等））.AC = DC（（已知），），∠∠ACB =∠∠DCE （（对顶角相等），），CB=EC（（已知）） ，， 证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.归纳 已知:如图, AB=DB,CB=EB,∠∠1＝＝∠∠2，，求证:∠∠A=∠∠D.证明:∵ ∠1＝∠2(已知)， ∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC(等式的性质)， 即∠ABC＝∠DBE. 在△ABC和△DBE中, AB＝DB(已知)， ∠ABC＝∠DBE(已证)， CB＝EB(已知)， ∴△ABC≌△DBE(SAS). ∴ ∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).1A2CBDE 想一想： 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△△ABD.这个实验说明了什么？B A CD△ABC和△ABD满足AB=AB ,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.探究活动探究活动2 2：：SSA能否判定两个三角形全等 画一画：画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE=5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？ ABMCDABCABD 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.结论 例3 下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( )典例精析A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.C方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的． 当堂练习当堂练习1.在下列图中找出全等三角形进行连线.Ⅰﺭ30º8 cm9 cmⅥﺭ30º8 cm8 cmⅣⅣ8 cm5 cmⅡ30ºﺭ8 cm5 cmⅤ30º8 cmﺭ5 cmⅧ8 cm5 cmﺭ30º8 cm9 cmⅦⅢﺭ30º8 cm8 cmⅢ 2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是 ( ) A.∠A＝∠D B.∠E＝∠C C.∠A=∠C D.∠ABD＝∠EBC D 3.如图，点E、、F在AC上，AD//BC，，AD=CB，，AE=CF. 求证：△△AFD≌≌△△CEB. FABDCE证明：：∵∵AD//BC，，∴∴ ∠∠A=∠∠C，，∵∵AE=CF，，在△△AFD和和△△CEB中，，AD=CB∠∠A=∠∠CAF=CE ∴∴△△AFD≌≌△△CEB（（SAS））.∴∴AE+EF=CF+EF，， 即 AF=CE. (已知），），(已证），），(已证），）， 4.已知：如图，AB=AC,AD是△ABC的角平分线， 求证：BD=CD.证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴ ∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD ∴△ABD≌△ACD（SAS）.(已知），(已证），(已证），∴ BD=CD. 已知：如图，，AB=AC, BD=CD，求证： ∠ BAD= ∠ CAD.变式变式1证明：∴ ∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）.AB=ACBD=CDAD=AD (已知），(公共边），(已知）， 已知：如图，，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点，，求证： BE=CE.变式变式2证明：∴ ∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=ACBD=CDAD=AD (已知），(公共边），(已知），∴ BE=CE.在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAD AE=AE (已知），(公共边），(已证），∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴△ABE≌△ACE（SAS）. 5.如图，已知CA=CB,AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.在△ABD与△CBD中证明:CA=CB (已知）AD=BD （已知）CD=CD （公共边）∴△ACD≌△BCD（SSS）能力提升连接CD，如图所示；∴∠A=∠B又∵M，N分别是CA，CB的中点，∴AM=BN 在△AMD与△BND中AM=BN (已证）∠A=∠B （已证）AD=BD （已知）∴△AMD≌△BND（SAS）∴DM=DN. 课堂小结课堂小结 边角边内容有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意1.已知两边，必须找“夹角”2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边 12.2三角形全等的判定第十二章 全等三角形第第3课时课时 “角边角角边角”、、“角角边角角边” 情境引入学习目标1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．2．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等． 导入新课导入新课 如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?情境引入321 讲授新课讲授新课三角形全等的判定（“角边角”定理）一问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ABCABC图一图一图二图二“两角及夹边”“两角和其中一角的对边”它们能判定两个三角形全等吗？ 作图探究 先任意画出一个△ABC，再画一个△△A ′ B ′ C ′ ， 使A ′ B ′ =AB，， ∠∠A ′ =∠∠A，， ∠∠B ′ =∠∠B (即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△△A ′ B ′ C ′剪下，放到△△ABC上，它们全等吗？ACB ACBA′B′C′ED作法：（1）画A'B'=AB;（2）在A'B'的同旁画∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，A'D，B'E相交于点C'.想一想：从中你能发现什么规律？ 知识要点 “角边角”判定方法u文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.u几何语言：∠∠A=∠∠A′ （（已知），）， AB=A′ B′ （（已知），），∠∠B=∠∠B′ （（已知），），在△△ABC和和△△A′ B′ C′中，∴∴ △△ABC≌≌△△ A′ B′ C′ （（ASA））.AB CA ′B ′C ′ 例1 已知：∠∠ABC＝＝∠∠DCB，，∠∠ACB＝＝ ∠∠DBC，，求证：△△ABC≌≌△△DCB．．∠∠ABC＝＝∠∠DCB(已知）， BC＝＝CB（公共边）， ∠∠ACB＝＝∠∠DBC（已知），证明： 在△△ABC和△△DCB中，，∴△∴△ABC≌≌△△DCB（（ASA ））.典例精析BCAD 判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等． 例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, ∠∠B=∠∠C,求证：AD=AE.ABCDE分析：证明△△ACD≌≌△△ABE,就可以得出AD=AE.证明：在△△ACD和△△ABE中，∠∠A=∠∠A（（公共角 ），）， AC=AB（（已知），），∠∠C=∠∠B （（已知 ），），∴∴ △△ACD≌≌△△ABE（（ASA)，，∴∴AD=AE. 问题：若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?60°45°用“角角边”判定三角形全等二合作探究 60°45°思考： 这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？75° 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.归纳总结∠∠A=∠∠A′（（已知），）， ∠∠B=∠∠B′ （（已知），），AC=A′C ′（（已知），），在△△ABC和和△△A′B′C′中， ∴∴ △△ABC≌≌△△ A′ B′ C′ （（AAS））.AB CA ′B ′C ′ 例3：在△△ABC和△△DEF中，∠∠A＝＝∠∠D，，∠∠B＝＝ ∠∠E，，BC=EF.求证：△△ABC≌≌△△DEF．．∠∠B＝＝∠∠E， BC＝＝EF， ∠∠C＝＝∠∠F.证明： 在△△ABC中，，∠∠A+∠∠B+∠∠C＝＝180°.∴△∴△ABC≌≌△△DEF（（ASA ））.∴∴ ∠∠C＝＝180°－－∠∠A－－∠∠B.同理同理 ∠∠F＝＝180°－－∠∠D－－∠∠E.又又 ∠∠A＝＝∠∠D，，∠∠B＝＝ ∠∠E,∴∴ ∠∠C＝＝∠∠F.在△△ABC和△△DEF中，， 例4 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∠ADB=∠CEA=90°， ∠ABD＝∠CAE,AB＝AC，∴△BDA≌△AEC(AAS). (2)DE＝BD＋CE.∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.证明：∵△BDA≌△AEC,方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 1. △ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ）A．AC＝DF B．BC＝EF C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F 2. 在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（ ）A．一定不全等 B．一定全等 C．不一定全等 D．以上都不对 当堂练习当堂练习AB 3. 如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由. 不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.ABCD ABCDEF4.如图∠∠ACB=∠∠DFE，，BC=EF，那么应补充一个条件 ，才能使△△ABC≌≌△△DEF （写出一个即可）.∠∠B=∠∠E或∠∠A=∠∠D或 AC=DF（（ASA））（（AAS））（（SAS））AB=DE可以吗？可以吗？×AB∥∥DE 5.已知：如图，， AB⊥⊥BC，，AD⊥⊥DC，，∠∠1=∠∠2, 求证：AB=AD.ACDB1 2证明： ∵ AB⊥⊥BC，，AD⊥⊥DC，， ∴∴ ∠∠ B=∠∠D=90 °. 在△△ABC和△△ADC中，∠∠1=∠∠2 （（已知），）， ∠∠ B=∠∠D（（已证），），AC=AC （（公共边），），∴∴ △△ABC≌≌△△ADC（（AAS)，，∴∴AB=AD. 学以致用：如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?321答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等. 能力提升：已知：如图，△△ABC ≌≌△△A′B′C′ ，，AD、、A′ D′ 分别是△△ABC 和△△A′B′C′的高.试说明AD＝＝ A′D′ ，并用一句话说出你的发现.ABCDA ′B ′C ′D ′ 解：因为△△ABC ≌≌△△A′B′C′ ，，所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.在△ABD和△A'B'D'中，∠ADB=∠A'D'B'（已证），∠ABD=∠A'B'D'（已证），AB=AB（已证），所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.ABCDA ′B ′C ′D ′全等三角形对应边上的高也相等. 课堂小结课堂小结 边角边角 角 边内 容有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成 “ASA”)应 用为证明线段和角相等提供了新的证法注 意注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别 12.2 三角全等形的判定第十二章 全等三角形 第第4课时课时 “斜边、直角边斜边、直角边” 情境引入学习目标1．．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（难点）2．．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点） SSSSSSSASSASASAASAAASAAS旧知回顾旧知回顾: :我们学过的判定三角形全等的方法导入新课导入新课 如图如图，，，，Rt△Rt△Rt△Rt△ABCABC中中，，，，∠∠∠∠C =90°C =90°C =90°C =90°，，，，直角边是直角边是____________________、、、、____________________，，，，斜边是斜边是______.______.______.______.CBAACBCAB思考：前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？ ABCA′B′C′1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？口答：： 动脑想一想如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF 问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ABCDEF直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）一讲授新课讲授新课 任意画出一个Rt△△ABC,使∠∠C=90°.再画一个Rt△△A ′B ′C ′，，使∠∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把画好的Rt△△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△△ABC上，它们能重合吗？ABC作图探究画图方法视频 画图思路（（1）先画）先画∠∠M C′ N=90°ABCM C′N 画图思路（（2）在射线）在射线C′M上截取上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC′ 画图思路（（3）以点）以点B′为圆心，为圆心，AB为半径画弧，交射线为半径画弧，交射线C′N于于A′MC′ABCNB′A′ 画图思路（（4）连接）连接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 知识要点“斜边、直角边”判定方法u文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.u几何语言： ABCA ′B′C ′在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′, 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等． （ ）HL×SASAASAAS判一判 典例精析 例1 如图，AC⊥⊥BC，， BD⊥⊥AD，， AC﹦BD，，求证：BC﹦AD.证明： ∵∵ AC⊥⊥BC，， BD⊥⊥AD，， ∴∠∴∠C与与∠∠D都是直角. AB=BA, AC=BD .在 Rt△△ABC 和Rt△△BAD 中，∴∴ Rt△△ABC≌≌Rt△△BAD (HL).∴∴ BC﹦AD. .ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路. 变式1： 如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ）ABDCAD=BC∠ DAB= ∠ CBABD=AC∠ DBA= ∠ CABHL HLAASAAS 如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.变式2HLAC=BDRt△△ABD≌≌Rt△△BAC 如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.变式3HL∠ADB=∠CBDRt△△ABD≌≌Rt△△CDBAD∥BC 例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE. 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF .∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵ ∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°. DA当堂练习当堂练习1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4， 则 CH的长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.ABCED证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °.在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， CE=BD, BC=CB .∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）.全等HL AFCEDB5.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.证明: ∵∵ BF⊥⊥AC,DE⊥⊥AC, ∴∠∴∠BFA=∠∠DEC=90 °.∵∵AE=CF，， ∴∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△△ABF和Rt△△CDE中，， AB=CD, AF=CE.∴∴ Rt△△ABF≌≌Rt△△CDE(HL).∴∴BF=DE. 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF.AFCEDBG G变式训练1 AB=CD, AF=CE.Rt△△ABF≌≌Rt△△CDE(HL).BF=DERt△△GBF≌≌Rt△△GDE(AAS).∠∠BFG=∠∠DEG∠∠BGF=∠∠DGEFG=EGBD平分EF 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?变式训练2C AB=CD, AF=CE.Rt△△ABF≌≌Rt△△CDE(HL).BF=DERt△△GBF≌≌Rt△△GDE(AAS).∠∠BFG=∠∠DEG∠∠BGF=∠∠DGEFG=EGBD平分EF 6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；能力拓展 (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 课堂小结课堂小结“斜边、直角边”内 容斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.前提条件在直角三角形中使 用 方法只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 12.3 角的平分线的性质第十二章 全等三角形第1课时 角平分线的性质 学习目标1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点） 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 导入新课导入新课用量角器度量，也可用折纸的方法． 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?ABC(E)D其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等. 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ABO尺规作角平分线一做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.提示：提示：(1)(1)已知什么？求作什么？已知什么？求作什么？(2)(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢样在作图中体现这个过程呢? ?(3)(3)在平分角的仪器中，在平分角的仪器中，BC=DCBC=DC，怎样在作图，怎样在作图中体现这个过程呢？中体现这个过程呢？(4)(4)你能说明为什么你能说明为什么OCOC是是∠AOB∠AOB的平分线吗？的平分线吗？ ABMN NCO已知:∠∠AOB.求作：∠∠AOB的平分线.仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求. 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线.结论：结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOC 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________ PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 COBAPD=PEpDE实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质二 验证猜想已知：如图， ∠∠AOC= ∠∠BOC,点P在OC上，PD⊥⊥OA,PE⊥⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明： ∵∵ PD⊥⊥OA,PE⊥⊥OB，，∴∴ ∠∠PDO= ∠∠PEO=90 °.在△△PDO和和△△PEO中，∠∠PDO= ∠∠PEO，，∠∠AOC= ∠∠BOC，，OP= OP，，∴∴ △△PDO ≌≌△△PEO(AAS).∴∴PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.方法归纳 u 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（（1））角的平分线；（（2））点在该平分线上；（（3））垂直距离.定理的作用： 证明线段相等.u应用格式：∵∵OP 是∠∠AOB的平分线，∴∴PD = PE推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.知识要点PD⊥⊥OA,PE⊥⊥OB，，BADOPEC 判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD××BADC(2)∵∵ 如上右图，， DC⊥⊥AC，，DB⊥⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD××BADC 例1：已知：如图，在△△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥⊥AB, DF⊥⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明： ∵AD是∠∠BAC的角平分线， DE⊥⊥AB, DF⊥⊥AC，，∴∴ DE=DF, ∠∠DEB=∠∠DFC=90 °.在Rt△△BDE 和 Rt△△CDF中，DE=DF，，BD=CD，，∴∴ Rt△△BDE ≌≌ Rt△△CDF(HL).∴∴ EB=FC.典例精析 例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.BACPMDE4温馨提示：温馨提示：存在两条垂线段存在两条垂线段——————直接应用直接应用典例精析 A AB BC CP P变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.D D4温馨提示：温馨提示：存在一条垂线段存在一条垂线段——————构造应用构造应用 ABCP变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面积.D（3）求∆PDB的周长.·AB·PD=28.由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，= 1.应用角平分线性质：存在存在角平分线角平分线涉及涉及距离问题距离问题2.联系角平分线性质：面积面积周长周长条件条件知识与方法知识与方法利用角平分线的性利用角平分线的性质所得到的等量关质所得到的等量关系进行转化求解系进行转化求解 当堂练习当堂练习2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .ABCD3E1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .60BFEBDFACG 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等ABMN NCOA 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )A．6 B．5 C．4 D．3DBCEAD解析：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， ∴DF＝DE＝2， 解得AC＝3.F方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． E ED DC CB BA A68105.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：(1)哪条线段与DE相等？为什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中， DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB-BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8. 6.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.∵ AD∥BC，∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，∴ PM= PE.同理， PN= PE.∴ PM= PN= PE=3.∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6. 7.如 图 所 示 ， D是 ∠ACG的 平 分 线 上 的 一 点 ．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF. 课堂小结课堂小结角平分线尺 规作 图属于基本作图，必须熟练掌握性 质定 理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅 助 线添加过角平分线上一点向两边作垂线段 12.3 角的平分线的性质第十二章 全等三角形第2课时 角平分线的判定 学习目标1.理解角平分线判定定理.(难点）2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.（重点）3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 导入新课导入新课复习回顾ODPP到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点几何语言描述：∵ OC平分∠∠AOB， 且PD⊥⊥OA，， PE⊥⊥OB.∴∴ PD= PE.ACB角的平分线上的点到角的两边的距离相等.1.叙述角平分线的性质定理不必再证全等E 2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 讲授新课讲授新课角平分线的判定一PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵∵ OC平分平分∠∠AOB，， 且且PD⊥⊥OA，， PE⊥⊥OB ∴∴ PD= PE几何语言：几何语言：猜想猜想:思考：这个结论正确吗？ 已知：如图，PD⊥⊥OA，，PE⊥⊥OB，，垂足分别是D、、E，，PD=PE.求证：点P在∠∠AOB的角平分线上.证明：作射线OP，， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中，（全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边），PD= PE（已知 ），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.∴∠AOP=∠BOP证明猜想 u判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（（1））位置关系：点在角的内部；（（2））数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.u应用格式：∵∵ PD⊥⊥OA,PE⊥⊥OB，，PD=PE.∴∴点点P 在∠∠AOB的平分线上.知识总结 典例精析 例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰︰20000）？DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求.O方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三角形的内角平分线二发现：三角形的三条角平分线相交于一点 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等你能证明这个结论吗？ 已知：如图，△△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，，BC，，CA的距离相等.证明结论证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，，BC，，CA，垂足分别为D，，E，，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，，BC，，CA的距离相等.D E F A B C P N M 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在∠A的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D E F A B C P N M MENABCPOD变式1：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,(1)求点O到△ABC三边的距离和.温馨提示：温馨提示：不存在垂线段不存在垂线段——————构造应用构造应用12 解：连接OCMENABCPOD变式1：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4.(2)若△ABC的面积为32，求△ABC的周长. 解：连接OCMENABCPOD变式1：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4.(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 1.应用角平分线性质：存在存在角平分线角平分线涉及涉及距离问题距离问题2.联系角平分线性质：距离距离面积面积周长周长条件条件知识与方法知识与方法 例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )A．110° B．120° C．130° D．140°A解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°. 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．方法总结 归纳总结角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定 当堂练习当堂练习1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、、OA、、OB，，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.小区CPAOBMN 2. 如图所示，已知△△ABC中，PE∥∥AB交BC于点E，PF∥∥AC交BC于点F，，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠∠BAC．．理由如下：∵∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠∠EPF的平分线上．∴∠∴∠1＝＝∠∠2．．又∵∵PE∥∥AB，，∴∠∴∠1＝＝∠∠3．．同理，∠∠2＝＝∠∠4．．∴∠∴∠3＝＝∠∠4，，∴∴AD平分∠∠BAC．．ABCEFD((((3412P 3.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.证明：∵OD平分线∠POQ，∴∠AOD=∠BOD.在△AOD与△BOD中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，∴△AOD≌△BOD.∴∠ADO=∠BDO.∵CM⊥AD，CN⊥BD，∴CM=CN. 4.如图，已知∠CBD和∠∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥⊥AE于G，，FH⊥⊥AD于H，FM⊥⊥BC于M.∵点F在∠∠BCE的平分线上， FG⊥⊥AE，， FM⊥⊥BC.∴∴FG＝＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥⊥AD，， FM⊥⊥BC，，∴∴FM＝＝FH，， ∴∴FG＝＝FH.∴点F在∠∠DAE的平分线上. GHMABCFED 拓展思维5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. P1P2P3P4l1l2l3 课堂小结课堂小结角平分线的判定定理内 容角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上作 用判断一个点是否在角的平分线上结 论三角形的角平分线相交于内部一点 。
