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第二讲 单期代表性行为人模型 第二讲 单期代表性行为人模型 在本讲中，我们将介绍一个最简单的宏观经济模型在这个简单的模型里， 我们把所有经济行为人之间的异质性问题和分配问题均抽象掉了 我们假定经济就是由一个代表性的企业和一个代表性的消费者所组成这看起来似乎实在是太离谱了，但在一般情况下，这与一个假设有许多本质相同的企业和许多本质相同的消费者所组成的经济是相同的我们的模型虽简单，但其所使用的分析方法与我们在后面几讲将要介绍的更为复杂的模型却是一样的， 都是关注经济行为人的最优化问题， 也即考察行为人在面临一些约束的情况下如何去最大化自己的目标函数一般地说，在处理这样一种最大化问题时，我们需要知道消费者的偏好， 企业的生产技术以及消费者与企业所能获得的资源禀赋 第一节 一个简单的静态模型 第一节 一个简单的静态模型 1.1.1 偏好、禀赋与技术偏好、禀赋与技术 假设经济活动只进行一期，经济中只有一个代表性消费者，他（她）有如下的效用函数：),(lcu，其中，c 是消费，l是闲暇这里，效用函数是一个严格凹的、二次可微的、对每个变量是严格递增的函数我们也假设效用函数有如下特征：0,),(lim10>∞= →llcu c以及0,),(lim20>∞= →clcu l。

这里，),(lcui是效用函数),(lcu对第i个变量的导数假设每个消费者拥有 h 单位的时间禀赋， 它们既可以用于劳动也可以用于闲暇；同时，拥有0k单位的资本，这些资本可以租给企业，但不能用于消费 经济中也有一个企业 企业根据如下的生产函数进行消费品的生产：),(nkzfy =其中，y 是产出，k 是资本投入，n 是劳动投入，z是全要素生产率参数这里，生产函数是一个严格准凹、二次可微、一次齐次、对每一个变量都是严格递增的函数这意味着生产函数是规模报酬不变的，因此下式对任意的0fλ均成立： ),(nkzfyλλλ= (1.1) 我们也假设生产函数有如下特征：∞=→),(lim10nkf k，0),(lim1= ∞→nkf k以及∞=→),(lim20nkf n，0),(lim2= ∞→nkf n 1.1.2 最优化最优化 在一个没有货币的经济中，所有价格都是相对价格，因此，我们可以任意地选出某一种商品，把它的价格标准化为 1，这并不会对分析结果产生任何影响 我们把这一价格被标准化为 1 的商品称为记价品出于习惯，经济学家一般更愿意用消费品作为记价物，在这里，我们也秉承这一传统。

市场上共有三种可交易的对象：消费、闲暇和资本租赁服务闲暇的价格用消费品衡量记为w，资本的租金用消费品衡量记为r 消费者的最优化问题 消费者的最优化问题 消费者把w和r视为给定， 在预算约束下寻求自己的效用最大化也就是说，每个消费者都在求解如下这样一个最优化问题： ),(max ,,lcusklc. .ts srklhwc+−≤)( (1.2) 00kks≤≤ (1.3) hl≤≤0 (1.4) 0≥c (1.5) 这里，sk是消费者租给企业的资本数量 (1.2)式是预算约束方程； (1.3)式说明消费者租给企业的资本数量必须是正的， 并且不能超过自己初始拥有的数量；(1.4)式闲暇的约束条件；(1.5)式是对消费所强加的一个非负约束 因为效用会随消费的增加而增加， 因此， 必然有0kks=， 也即(1.2)式将取等号事实上，我们对效用函数的限制本身就可以确保我们对消费和闲暇所作的限制，在均衡时，闲暇永远不会取hl=，因为那样的话，将没有什么被生产出来因此，我们可以忽略(1.4)和(1.5)两个约束条件。

现在，消费者的最优化问题会变得简单起来，我们可以把消费者的最优化问题用如下一个拉格朗日方程来表述： )(),(0cwlrkwhlcu−−++=λl 这里，λ是拉格朗日乘子我们已经对效用函数作了一系列限定，这可以确保产生一个唯一的最优解， 这个最优解可以通过如下的一阶条件得到描述： 01=−=∂∂λucl02=−=∂∂wulλl00=−−+=∂∂cwlrkwhλl利用这三个一阶条件我们可以消掉λ和 c，从而获得： ()[]()[]0,,0201=−+−−+lwlrkwhulwlrkwhwu (1.6) 求解消费者对闲暇的需求数量， 把闲暇l写成是0,,krw的函数，则方程(1.6)式可以重新写为： wuu=12也就是说，闲暇与消费的边际替代率等于工资率我们可以借助图1.1 来更直观地看这一结果 图 1.1 一旦得到消费者的闲暇需求函数， 我们就可以得到消费者的劳动供给函数劳动供给函数定义),,(0krwl为闲暇需求函数然后，劳动供给函数可以c l AB·· E预算线斜率 ＝－w 无差异曲线在E点斜率＝－12 uu由下式给出： ),,(),,(00krwlhkrwns−= 企业的最优化问题 企业的最优化问题 每个企业在把w和r视为既定的情况下，通过选择一个恰当的劳动和资本的投入数量来最大化利润。

也就是说，企业在求解如下这样的一个最优化问题： []ddddnkwnrknkzfdd−−),(max ,其中，dk和dn分别代表企业的资本需求和劳动需求， 最优解的一阶条件就是两个边际产出条件： rzf =1(1.7) wzf =2(1.8) 这里，if表示的是生产函数对第 i 个变量的偏导数 对应于每一个实际工资 w，企业都会根据wzf =2的原则选择一个相应的劳动力数量dn 这意味着， 企业的劳动边际产出曲线也就是企业的劳动需求曲线劳动需求曲线同样，对应于每一个实际工资 r，企业都会根据rzf =1的原则选择一个相应的资本使用数量dk这意味着，企业的资本边际产出曲线也就是企业的资本需求曲线资本需求曲线 因为生产函数是一次齐次的，因此，欧拉定律将成立因为通过让(1.1)式对λ求偏导数，并令λ＝1，我们可以得到： nzfkzfnkzf21),(+= (1.9) 这样，方程(1.7)、(1.8)和(1.9)就意味着最大化的利润等于零这引出了两个重要的结论：第一，我们不需要关注企业的利润分配问题（例如，通过消费者拥有的股权进行分配；第二，假设∗k和∗n是企业对要素投入的最优选择，那么，一定有下式成立： 0),(=−−wnrknkzf (1.10) 其中，∗= kk，∗= nn。

而且，由于有规模报酬不变的假设， (1.10)式对于任何∗=kkλ和∗=nnλ（)0fλ也成立， 因而企业的最优规模是不确定的这一特性使我们可以不考虑企业的数目，因为企业的数目与竞争均衡解无关 1.1.3 竞争均衡竞争均衡 一个竞争均衡是指满足如下特征的数量解),,,(knlc和价格解),(rw： 1.代表性消费者在视w和r为给定的情况下选择最优的c和l 2. 代表性企业在视w和r为给定的情况下选择最优的dn和dk 3.市场出清 在我们的模型里，有三个市场：劳动市场、消费品市场和资本租赁市场在一个竞争均衡中，下述条件将成立： dnlh=− (1.11) cy = (1.12) dskkk==0(1.13) 也就是说，每个市场的供给都等于需求现在，整个市场的超额需求为： )()]([0kkrlhnwycdd−+−−+− 根据消费者的预算约束条件以及利润最大化时企业将获得零利润的事实，我们有： 0)()]([0=−+−−+−kkrlhnwycdd（1.14） 注意，即使利润不为零， （1.14）也将成立，因为利润最终是归消费者所有的。

但现在，只要（1.11） 、(1.12)和(1.13)式中有任何的两个得到满足，那么， （1.14）就意味着第三个市场出清条件将自动成立方程（1.14）就是该模型里的一个简单的瓦尔拉斯定理简单说，瓦尔拉斯定理阐述的就是：整个市场的超额需求总是为零的，而这又意味着，如果有 M 个市场，那么，只要 M－1 个市场出清了，那么，剩下的一个市场也会自动出清因此，当我们在求解竞争均衡的价格和数量时，我们可以省略一个市场出清条件在这里，我们就省略（1.12）式吧！ 现在非常清楚，我们要求解的均衡解实际上就是由等式（1.6） 、（1.7） 、 （1.8） 、 （1.11）和（1.13）所组成的方程组的解我们有五个方程，对应的是五个未知数：rwknl,,,,根据消费者的预算约束条件，我们也可以求得c的解我们能把其他几个方程代入方程（1.6） ，从而获得一个仅含有一个未知数l的方程，从而我们能求得l的均衡解： ()()[]()[]0,)( ,,)( ,)( ,020102=−−−−llhkzfullhkzfulhkzf （1.15） 一旦求得l的解，我们能把它代入下列方程，从而分别r，w，n，k和c的解。

()rlhkzf=−)( ,01（1.16） ()wlhkzf=−)( ,02（1.17） lhn−= 0kk = ())( ,0lhkzfc−= （1.18） 当然，我们现在还不能断定竞争均衡解一定会存在并且是唯一的，不过，在后面我们将证明这一点 1.1.4 帕雷托最优帕雷托最优 所谓帕雷托最优，我们一般是这样来定义的：分配已经进行到这样的程度，以至于在不损害某一个人的福利时，我们已经无法再提高其他人的福利了！在我们的这个简单的仅有一个代表性消费者的模型里，显然，我们不用当心商品在行为人之间的分配问题但是，考虑一下帕雷托最优问题还是有意义的， 它可以帮助我们分析有多个行为人的情况想象一下，现在有一个万能的计划者，它能指导代表性企业使用最合适数量的资本进行生产， 也能指导消费者供给最合适的劳动数量，他所做的这一切的最终目的只有一个，即使消费者能获得最大的福利 这个计划者实际上就是通过求解如下一个问题来实现帕雷托最优 ),(max ,lcu lc. .ts ())( ,0lhkzfc−= （1.19） 我们能把约束条件代入目标函数，通过对l求一阶导数，并令其为零，从而获得如下的一个最优条件 ()()[]()[]0,)( ,,)( ,)( ,020102=−−−−llhkzfullhkzfulhkzf （1.20） 注意， （1.15）式和（1.20）式是完全相同的，因而，我们通过社会计划者而得到的c的解（先解出（1.20）式中的l，再代入预算约束条件中，就可以得到）与通过市场的方式，也即由（1.18）式产生的解肯定是相同的。

也就是说，在我们的这个简单的模型里，竞争均衡解与帕雷托最优解是完全相同的进一步，因为效用函数是严格凹的，而生产函数是严格准凹的，因而存在唯一的帕雷托最优解，因此，竞争均衡解也是唯一的 注意，我们也能把（1.20）式重新表述为： 12 2uuzf = 这里，方程的左边是边际转换率，而右边则是消费和闲暇之间的边际替代率在图 1.2 中，AB 是方程（1.19） ，帕雷托最优点是 D 点，在这一点，最高的无差异曲线与生产可能性曲线正好相切在竞争均衡中，代表性消费者面对预算约束 FG，最大化的点也在 D 点，这里，预算线的斜率为w−，等于12 uu− 注：边际转换率＝20),(zfdllhkdzf dldc−=−= 图 1.2 在更一般的情形下，只要满足一些限制条件，下述说法都是成立的： 1.一个竞争均衡是一个帕雷托最优（第一福利定理第一福利定理） 2.一个帕雷托最优是一个竞争均衡（第二福利定理第二福利定理） 保证上述两个定理成立的条件包括：不存在外部性，完全竞争，不存在扭曲税（例如收入税或者销售税） 第一福利定理是十分强有力的，它的基本思想可以回溯到亚当·斯密的《国富论》。