抛物线知识点归纳.docx

抛物线方程及其性质1. 抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.2. 抛物线四种标准方程的几何性质：图形金参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，？越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程y 2 = 2 px ( p > 0)y2 = -2px( p > 0)x2 = 2 py ( p > 0)x 2 = -2 py (p > 0)焦点位置X正X负Y正Y负焦点坐标(p ,0)(-p,0)(0,|)(0,-^)准线方程_ px 一2px =—2p y = -—2p y =—2范围x > 0, y e Rx < 0, y e Ry > 0, x e Ry < 0, x e R对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐标(0,0)离心率e = 1通径2p焦半径A( x1, y1)AF = xi + %AF = - x1 + pAF=，1+pAF = - y1 + p焦点弦长AB(x + x ) + p-(x + x ) + p(y1 + y2) + p-(y1 + y2) + p焦点弦长AB的补充A( x1, y1)B (x2, y2)以AB为直径的圆必与准线l相切若AB的倾斜角为a，〔A* = _2p_ sin 2a若AB的倾斜角为a，则AB=2 pC0S2 ap 2xx = y y = p21 2 4 1 21 1 AF + BF AB 2 + = = =— AF BF AF • BF AF • BF p3.抛物线y 2 = 2px(p > 0)的几何性质：⑴范围：因为p>0，由方程可知xN0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，| y|也增大，说 明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2) 对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向.(3) 顶点(0，0)，离心率：e = 1，焦点F(§,0)，准线x = —§，焦准距p.(4) 焦点弦：抛物线 y2 = 2px(p > 0)的焦点弦 AB，A(x , y ), B(x , y )，则 I AB 1= x + x + p .1 1 2 2 1 2弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。

4.焦点弦的相关性质：焦点弦AB，A(x , y ), B(x , y )，焦点F(P ,0) 1 1 2 2 2⑴ 若AB是抛物线y2 =2px(p > 0)的焦点弦(过焦点的弦)，且A( x, y)，B( x , y )，则：xx =p， 1 1 2 2 1 2 4yy =_p1 2⑵ 若AB是抛物线y2 = 2px p > 0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为a，则|AB |= 2尸(a/0)sin 2 ac / ~ 1 1 AF + BF AB 2⑶ 已知直线AB是过抛物线y2 = 2 px (p > 0)焦点F , +—= = =-AF BF AF • BF AF • BF p(4) 焦点弦中通径最短长为2p通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.(5) 两个相切：Q以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.⑥过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线， 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切5、焦半径公式AF =—p—1 — cos aBF =—p—1 + cos aAF =—p—1 + cos aBF =—p―1-cosa三角形OAB的面积7. 弦长公式：A(x , y ), B(x , y )是抛物线上两点，则1 1 2 2 … 匚 :~~: — r―[__T, ,AB = . (x - x )2 + (y - y )2 = J1 + k 2 | x 一 x 1= , i1 + ——I y 一 y I w 1 2 1 2 12 \i k 2 1 28. 直线与抛物线的位置关系直线顷二及世，抛物线口尸萼朋，y二衣十由-/二次，消y得：『I做-加+E0（1） 当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2） 当k尹0时，△ >0,直线l与抛物线相交，两个不同交点；△ 二0，直线l与抛物线相切，一个切点；△ V0,直线l与抛物线相离，无公共点。

3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗？（不一定）9、过抛物线内一点作直线只与抛物线有一个交点点在抛物线内 直线有1条（1交）点在抛物线上 直线有2条（1交1切）点在抛物线外 直线有3条 （1交2切）10、关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l: y = kx + b 抛物线^3 = 2朋，（p 0）①联立方程法：y = kx + bn k 2x2 + 2(kb 一 p)x + b2 = 0y 2 = 2 px设交点坐标为A( x , y ) , B (x , y ),则有A 0 ,以及x + x , x x ,还可进一步求出1 1 2 2 1 2 12y + y = kx + b + kx + b = k(x + x ) + 2b， yy = (kx + b)(kx + b) = k2x x + kb(x + x ) + b21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长|AB| = J1 + k2 x - x I =寸1 + k2 J(x + x )2 -4x x = J1 + k2 二1 2 '12 1 2 \a^AB = q：1+那 y1-y2〔 = ?+X.(y + y )2 - 4y y 1 2 1 2=%； 1 + k 2b.中点 M(x , y ), x = =， y =也±七 00 0 2 0 2②点差法：设交点坐标为A(x, y )，B(x , y )，代入抛物线方程，得11 22y 2 = 2 px y 2 = 2 px1 1 2 2将两式相减，可得(y — y )(y + y ) = 2p(x — x ) 12 12 1 2y】-y2 = 2 px — x y + y1 2 1 2a.在涉及斜率问题时，k =上』AB y1 + y2y — y 2 p 2 p pb.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，—1 2 = = =——x — x y + y 2 y y12 12 0 0即kABp ，y0同理，对于抛物线x2 = 2py(p。

0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x°, y°)是弦AB的中点，则有kAB(注意能用这个公式的条件：1)直线与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜率存在， 且不等于零)。