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Lecture 8风险厌恶度量度量Measure of Risk Aversion1武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件Topics to be discussed预期效用与主观概率理论，对人们在不确定环境中的行为进行了准确描述和深刻分析，论证了人们追求预期效用最大化的行为准则，为研究不确定条件下的选择问题提供了很好的理论基础本讲在此基础上展开进一步讨论，议题主要有三个：l预期效用与主观概率理论是否反映了实际现象？l在不确定的环境中，人们对待风险的态度如何？l如何测定人们的风险规避倾向的强弱？第三个问题是本讲要重点讨论的事实上，从赌博事例已经看到，随着效用函数的性能发生“凸性线性凹性”的变化，消费者对待风险的态度相应地发生“爱好中立厌恶”的变化由此可以猜想：效用函数越凹，人们越厌恶风险，风险规避倾向越强我们将证明这一猜想由此猜想可引出一种办法来测定人们的风险规避倾向的强弱——风险厌恶度量2武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议关于不确定条件下的选择问题，预期效用和主观概率似乎是完美的和合乎实际的理论，让我们完全有理由相信人们在不确定的环境(风险环境或无常环境)中是根据预期效用大小进行评判和选择的。

然而阿莱和艾斯勃格分别对预期效用和主观概率进行了实际考察，发现了理论与实际不符的两个现象：Allais Paradox 和 Ellsberg Paradox，引起了人们对这两种理论的质疑和争议有些人借此否定预期效用和主观概率理论，认为需要建立新的理论来解释不确定条件下的选择行为另一些人则认为，出现如此悖论的原因不是理论错了，而在于人们进行评判时发生了“视觉错误”比如，有时候人们无法判断距离，但这不意味着需要重新发明一种距离概念因此，预期效用和主观概率理论是正确的下面，我们介绍这两个悖论3武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件( (一一) ) Allais Paradox这是关于预期效用的悖论现有四种彩票A、B、C、D，其奖励等级、获奖概率分布以及预期收入情况见下表所示彩票彩票ABCD奖金奖金(万元万元)100110100010001100获奖概率获奖概率100%10%89%1%11%89%10%90%预期收入预期收入(万元万元)1001001111l l调查结果调查结果调查结果调查结果：通过调查发现，很多人都认为 A  B 且 D  CØ A  B 的原因：A 与 B 相比，虽然预期收入都为 100 万元，但购买 A 将稳当地得到 100 万元，购买 B 则有 1% 的可能性将一无所获，且多得10 万元的概率才仅仅不过 10%：概率小，多得额也不大。

这样，A 明显比 B 好ØD  C 的原因： C与D相比，虽然预期收入都为11万元，但 D 仅以少1%的可能性就要比 C 多得10万元，因而 D 比 C 好关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议4武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件l l计算预期效用计算预期效用计算预期效用计算预期效用Ø设消费者的预期效用函数为 u计算一下预期效用，则有： u(A) = u(100) u(B) = u(110)10% + u(100)89% + u(0)1% u(C) = u(100)11% + u(0)89% u(D) = u(110)10% + u(0)90% Ø根据调查结果 A  B，应有 u(A) > u(B)由此可知：u(100)11% > u(110)10% + u(0)1%Ø在此式两边加上 u(0)89% 可得：u(100)11% + u(0)89% > u(110)10% + u(0)90% 即 u(C ) > u(D)，这与调查结果 D  C 相矛盾：通过预期效用函数 u 得到的评价与调查出的消费者实际评价相悖。

µ这一悖论是否说明预期效用理论有些不切实际这一悖论是否说明预期效用理论有些不切实际？其实，这个悖论中消费者评价的“视觉错误”是明显存在的 (一一) ) Allais Paradox关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议5武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件A. 从袋中摸出一球，如果为红球，可得1000元B. 从袋中摸出一球，如果为蓝球，可得1000元C. 从袋中摸出一球，若不是红球，可得1000元D. 从袋中摸出一球，若不是蓝球，可得1000元©主观判断主观判断：面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率主观概率l l调查结果调查结果调查结果调查结果：通过调查发现，大多数人认为 A  B 且 C  D 其原因可能在于 A 的确定性比 B 高，C 的确定性比 D 高 P：赌博者的主观概率测度主观概率测度 u ：赌博者在主观概率测度 P 下的预期效用函数预期效用函数A. F ：摸出的是红球摸出的是红球  ：摸出的不是红球摸出的不是红球B. G：摸出的是蓝球摸出的是蓝球  ：摸出的不是蓝球摸出的不是蓝球。

(二二) ) Ellsberg Paradox 这是关于主观概率的悖论情景情景：袋中有红、蓝、绿球共300个，其中红球100个现有四种形式的赌博 A、B、C、D：关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议6武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件l l计算预期效用计算预期效用计算预期效用计算预期效用Ø从 A  B 知：( p- q) u(1000) > ( p- q) u(0)Ø从 C  D 知：( p- q) u(1000) < ( p- q) u(0)Ø这是两个矛盾的不等式！可见，按照主观概率理论，根本不可能让 A  B 和 C  D 同时成立然而，调查得到的事实却是如此因此，主观概率理论也有不切实际的地方和时候µ其实，出现这个悖论的原因依然在于评判上的错觉是调查中消费者评价错了，而不是理论错了 Ø令 p = P(F )，q = P(G )则 计算这四种赌博的效用，可得到：( (二二) ) Ellsberg Paradox关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议7武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件对待风险的态度对待风险的态度Ø赌博事例的启示赌博事例的启示：一个人对待风险的态度完全反映在他的偏好上。

对此，可用预期效用理论加以严格表述•风险环境风险环境：(, F, P)•确定性选择集合确定性选择集合： X 是凸闭子集•风险选择集合风险选择集合：X 或直接用 D•风险偏好风险偏好  ： 满足阿基米德公理和独立性公理•预期效用函数预期效用函数：u : XR 或 u : DR (必存在)R(,X)(p[0,1])R( f, g  D)(p[0,1])•结果偏好结果偏好： 在确定性选择集合 X 上的限制 •结果效用函数结果效用函数：u 在确定性选择集合 X 上的限制 •预期收益预期收益： ( f 是X 的分布函数)l通过比较通过比较  与与E ，方可判断消费者对待风险的态度方可判断消费者对待风险的态度 8武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件( (一一) ) 热衷态度热衷态度l l风险爱好者风险爱好者风险爱好者风险爱好者：对任何非退化风险行为X，都有  E对于风险行动X和确定性行动 xX ，当 E = x 时，如果消费者认为 比 x 好(  x)，就足以说明消费者热衷冒险：不冒险，就没有取得高收益的可能；为了高收益，值得去冒险。

这种热衷于冒险的消费者，叫做风险爱好者风险爱好者U = px(1 p)yE = px+(1 p)y证明证明： x, yX 及 p[0,1]，有u( y)这就说明，U(x)是严格凸函数Xu(x)xyEu(E )u( )对待风险的态度对待风险的态度n风险爱好者的结果效用函数风险爱好者的结果效用函数 U : XR 严格凸严格凸9武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件( (二二) ) 冷淡态度冷淡态度l l风险冷淡者风险冷淡者风险冷淡者风险冷淡者：对任何 X，都有  E x  y  = px(1 p)y  y  E    y这说明U(x)是凹函数，故拟凹，从而结果偏好是凸偏好XxyE = px+(1 p)y结果偏好是凸偏好结果偏好是凸偏好对于风险行动X和确定性行动 xX ，当 E = x 时，如果消费者认为 不比 x 好(  x)，则说明消费者不热衷于冒险，对风险抱冷淡态度：不愿意冒险追求高收益这种不热衷于冒险的消费者，叫做风险冷淡者风险冷淡者对待风险的态度对待风险的态度n风险冷淡者的结果效用函数是凹风险冷淡者的结果效用函数是凹函数函数，从而结果偏好是凸偏好从而结果偏好是凸偏好。

证明证明： x, yX 及 p[0,1]，有10武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件这说明U(x)严格凹，故严格拟凹，从而结果偏好严格凸对于风险行动X 和确定性行动 xX ，当 E = x 时，如果认为 比 x 差(  x)，则说明讨厌冒险，根本不会冒险追求高收益这种讨厌冒险的消费者，叫做风险厌恶者风险厌恶者或风险规避风险规避者者1. 风险厌恶者风险厌恶者l l风险厌恶者风险厌恶者风险厌恶者风险厌恶者：对任何非退化风险行为X，都有  EU = px(1 p)yE = px+(1 p)yu( y)Xu(x)xyEu(E )u( )( (二二) ) 冷淡态度冷淡态度对待风险的态度对待风险的态度n风险厌恶者的结果效用函数严风险厌恶者的结果效用函数严格凹，从而结果偏好严格凸格凹，从而结果偏好严格凸证明证明： x, yX 及 p[0,1]，有11武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件结果无差异曲线结果无差异曲线n风险中立风险中立者的结果者的结果效用函数效用函数是线性函是线性函数数，结果结果无差异曲无差异曲线为直线线为直线2. 风险中立者风险中立者l l风险风险风险风险中立中立中立中立者者者者：对任何X，都有 ~ E 。

U = px(1 p)yE = px +(1 p)yu( y)Xu(x)xyEu(E )= u( )XxyE = px +(1 p)y x ~ y  = px(1 p)y ~ y  E ~  ~ y对于风险行动X 和确定性行动 xX ，当 E = x 时，如果消费者认为   x，则说明对风险抱中立态度，既不热衷，也不讨厌这种对风险持中立态度的消费者，叫做风险中立者风险中立者 (二二) ) 冷淡态度冷淡态度对待风险的态度对待风险的态度12武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件( (三三) ) 结果效用函数的基数意义结果效用函数的基数意义Ø经济活动者要么是风险爱好者，要么是风险冷淡者Ø应该说，绝大多部分人都是风险冷淡者这样一来，在预期效用函数下，绝大多数人的结果效用函数都是凹函数，结果偏好是凸偏好，而只有少数人的结果效用函数是凸函数l无论如何，风险选择理论让我们进一步看到了确定性条件下确定性条件下对消费者偏好作出凸性假设的合理性对消费者偏好作出凸性假设的合理性，也看到了确定性偏好的必然凸性更重要的是，我们看到了每个人在确定性选择每个人在确定性选择集合上都存在着凹或凸的效用函数集合上都存在着凹或凸的效用函数。

Ø凹的效用函数说明边际效用递减，凸的则说边际效用递增Ø边际效用是基数意义下的效用只有在基数效用意义下，才能谈论效用增加多少l凹或凸的结果效用函数的存在，意味着基数意义上的效用函数存在因此，预期效用函数存在定理预期效用函数存在定理顺便回答了基数效用回答了基数效用函数的存在性问题函数的存在性问题，而且是肯定的回答对待风险的态度对待风险的态度13武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件Ø财富计量财富计量：以元为单位假定经济人当前有w元Ø经济人的财富收入效用函数经济人的财富收入效用函数 u(r)：(rR)(u (r) > 0)Ø随机事件随机事件 F：发生的概率为p通过事件F，可以设计赌博Ø赌博赌博 g(x, y)：若事件F 发生，则赢 x 元，财富变为w +x 元；若事件F 未发生，则赢 y 元，经济人的财富变为w +y 元Ø平面平面R²：每一点(x, y)R² 都代表一个赌博g(x, y)这样，R²代表通过F 设计的赌博的全体G：G = R² ，称为赌博平面赌博平面赌博显示的风险厌恶程度指标赌博显示的风险厌恶程度指标 以上对于消费者对待风险的态度的研究表明，没有风险规避倾向的风险爱好者，其结果效用函数是严格凸的；而对风险持中立态度的消费者，其结果效用函数既不严格凸，也不严格凹；一旦消费者具有了风险规避倾向，其结果效用函数就成为严格凹的。

这种现象让我们产生一种猜想：效用函数越凹效用函数越凹，风风险规避倾向越强险规避倾向越强那么，这一猜想是否正确？我们还是以为赌博为例，来对这个问题进行说明14武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件( (一一) ) 赌博平面赌博平面偏盈赌博偏盈赌博px + (1p)y > 0偏亏赌博偏亏赌博px + (1p)y < 0xyo原点原点(0,0)代表不赌不赌 赌博平面赌博平面G = R²赌博显示的风险厌恶程度指标赌博显示的风险厌恶程度指标 公平赌博：公平赌博：px + (1p)y = 0(x, y)(x, y)15武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件l消费者是否接受赌博(x, y)，取决于赌博的预期效用是否不低于不赌的效用：( (二二) ) 接受集接受集GA AxyGA = {(x, y) : Eu(x, y)  u(w)}GAGA在原点在原点(0,0)处的切线处的切线———— px+(1p)y = 0 ——公平公平赌博赌博l接受集接受集GA：是指由一切为消费者所接受的赌博(x, y)组成的集合l接受集的边接受集的边界界 GA 在原在原点点(0,0) 处处的切线正代的切线正代表公平赌博表公平赌博！赌博显示的风险厌恶程度指标赌博显示的风险厌恶程度指标 接受集边界接受集边界16武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件l风险冷淡者的接受集是凸集风险冷淡者的接受集是凸集。

证明证明：任意给定 (x, y ), (x, y)GA 及实数 t[0,1]为方便起见，令(x, y) = t (x, y ) + (1t)(x, y)此刻 u 为凹函数，我们有1. 接受集的凸性接受集的凸性故(x, y)GA这说明，风险冷淡者的接受集GA是凸集 (二二) ) 接受集接受集GA A赌博显示的风险厌恶程度指标赌博显示的风险厌恶程度指标 17武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件由此可得下述结论：l (0)正是接受集边界 GA 在原点处的切线斜率lGA 在原点(0,0)处的切线方程：p x + (1 p) y = 0lGA在原点在原点(0,0)处的切线正是公平赌博直线处的切线正是公平赌博直线！Ø接受集边界GA = {(x, y)R² : pu(w+x)+(1p)u(w+y) = u(w)}Ø边界方程 pu(w+x)+(1p)u(w+y) = u(w) 隐含着 y =  (x)Ø求导可得：p u(w+x)+(1p) u(w+y) (x) = 0Ø令 x = 0，即得到 y =  (x) 在 x = 0 处的导数：2. 接受集边界在原点处的切线接受集边界在原点处的切线( (二二) ) 接受集接受集GA A赌博显示的风险厌恶程度指标赌博显示的风险厌恶程度指标 18武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件l (0)与与u(w) u(w)成正比成正比，从而接受集边界接受集边界GA在原点在原点(0,0)处的曲率大小与处的曲率大小与 u(w) u(w) 成正比成正比！3. 接受集边界在原点处的曲率接受集边界在原点处的曲率Ø接受集边界GA在原点处的曲率大小与 (0)成正比。

Ø通过求导，可计算出 (0) ：( (二二) ) 接受集接受集GA A赌博显示的风险厌恶程度指标赌博显示的风险厌恶程度指标 19武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件( (三三) ) 原点附近赌博的意义原点附近赌博的意义l原点(0,0)附近的赌博具有特殊的意义：①原点附近的赌博都是赌金较小的赌博——小赌博②如果一个人连小赌博都不愿意接受，就表明这个人对风险的厌恶程度较大，足见他具有较强的风险规避倾向③一个人不愿意接受的小赌博越多，风险厌恶程度越大，风险规避倾向越强④曲率 (0) 越大，GA 在原点(0,0)处越弯曲，不接受的小赌博越多，从而风险厌恶程度越大，风险规避倾向越强⑤ u(w) u(w) 越大， (0) 越大n重要事实重要事实： u(w) u(w) 衡量着经济人对风险的厌恶程衡量着经济人对风险的厌恶程度度！nArrow & Pratt’s measure AP(w) of risk aversion： 赌博显示的风险厌恶程度指标赌博显示的风险厌恶程度指标 20武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件1. 阿罗阿罗-普拉特风险厌恶度普拉特风险厌恶度( (三三) ) 原点附近赌博的意义原点附近赌博的意义赌博显示的风险厌恶程度指标赌博显示的风险厌恶程度指标 GuA接受接受GvA拒绝拒绝小赌博小赌博GuAGvAGuAGvA21武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件2. 风险厌恶度风险厌恶度AP 与风险加价与风险加价RPU = v (r)U = u (r)( (三三) ) 原点附近赌博的意义原点附近赌博的意义赌博显示的风险厌恶程度指标赌博显示的风险厌恶程度指标 22武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度 赌博显示的风险厌恶程度指标 AP(w)，适用于在任何风险环境中去测量人们的风险规避倾向的强弱。

现在，我们来证实这一结论Ø风险环境风险环境：(, F, P)Ø确定性选择集合确定性选择集合：X = R ，即 X 为实数集合 R也就是说，经济人选择的任何结果都可以用实数加以表示Ø风险选择集合风险选择集合：X是风险环境(,F,P)中的随机变量的全体Ø经济人的经济人的VNM效用函数效用函数：u : X  R¶风险爱好者的VNM效用函数 u 是严格凸函数；¶风险厌恶者的VNM效用函数 u 是严格凹函数；¶风险中立者的VNM效用函数 u 是线性函数；¶风险冷淡者的VNM效用函数 u 是凹函数l按照绝对量变和相对量变，风险规避倾向分为绝对风险规避绝对风险规避倾向倾向(通常省略“绝对”二字)和相对风险规避倾向相对风险规避倾向 23武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件( (一一) ) 绝对风险规避倾向绝对风险规避倾向l阿罗阿罗-普拉特度量函数普拉特度量函数 AP(w)：¶AP(w)度量着经济人的绝对风险规避倾向的强弱¶AP(w)叫做绝对风险规避倾向绝对风险规避倾向或绝对风险厌恶度绝对风险厌恶度l一般来说，表达经济人风险规避倾向强弱的方式有三种：¶第一种第一种：比较不同VNM效用函数下的风险厌恶度。

风险厌恶度越大，风险规避倾向越强¶第二种第二种：比较不同VNM效用函数的凹性强度VNM效用函数越凹(指在递增凹变换下把一个效用函数变成另一个效用函数)，风险规避倾向越强¶第三种第三种：比较不同VNM效用函数下的风险加价大小风险加价越大，风险规避倾向越强 l普拉特经研究后发现，上述三种方式相互等价上述三种方式相互等价风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度 24武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件1. 普拉特定理普拉特定理n定理 设风险环境为(, F, P)，确定性选择集合 X = R，并且 uA: X R 和 uB: X R 都是二阶可微、递增、凹的VNM效用函数则下面三个条件相互等价：•w  X ，都有 ；•存在递增的凹函数 g : RR 使得 (wX )(uA(w) = g(uB(w)))；•对一切 X，都有 RPA( )  RPB( )ë注释注释：风险加价RP( )的定义为 RP( ) = E  c( )，其中 c( ) 是按照“c( )X s.t. u(c( )) = u( ) ”来确定的。

3定理的意义定理的意义：定理表明，阿罗-普拉特度量函数 AP : X R 很好地度量着经济人的风险规避倾向 (一一) ) 绝对风险规避倾向绝对风险规避倾向风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度 25武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件2. 严格形式的普拉特定理严格形式的普拉特定理n定理 设风险环境为(, F, P)，确定性选择集合 X = R，并且 uA: X R 和 uB: X R 都是二阶可微、递增、凹的VNM效用函数则下面三个条件相互等价：•w  X ，都有 ；•存在递增的严格凹函数 g 使得 (wX )(uA(w) = g(uB(w)))；•对一切非退化的风险行为X，都有 RPA( ) > RPB( ) (一一) ) 绝对风险规避倾向绝对风险规避倾向风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度 普拉特定理中的那些不等式还可以换成严格不等式，从而得到严格形式的普拉特定理26武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件( (二二) ) 相对风险规避倾向相对风险规避倾向风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度 AP(w) 测量了数量的绝对变化中，经济人对风险的厌恶程度强弱。

但实际中也常使用相对量变，即用比例来表达数量变化，这样做的好处在于消除了量纲影响，能更好地把握经济变量的变化因此，我们也需要测量相对量变中经济人对风险的厌恶程度，即相对风险厌恶度或相对风险规避倾向为此，我们给出如下定义n定义(APR) 设 u : X  R 是经济人的VNM效用函数，X = R对任何 w  X，定义 APR(w)为： 函数 APR : X  R叫做阿罗-普拉特相对风险厌恶度量函数相对风险厌恶度量函数函数值 APR(w)叫做经济人在w 处的相对风险厌恶度相对风险厌恶度或相对风相对风险规避倾向险规避倾向 27武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件1. 赌博揭示的相对风险规避倾向赌博揭示的相对风险规避倾向Øu(r)：经济人的财富收入效用函 数，(rX )(u(r) > 0)Øw：经济人当前拥有w元财富ØF：随机事件，发生概率为 pØR²：相对赌博平面相对赌博平面，即G = R² (二二) ) 相对风险规避倾向相对风险规避倾向风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度 l赌博(x, y)的预期效用预期效用：Eu(x, y) = pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)。

l赌博(x, y)的接受条件接受条件：Eu(x, y)  u(w)l公平公平赌博赌博(x, y)：p x +(1p)y = 0偏盈赌博偏盈赌博px + (1p)y > 0偏亏赌博偏亏赌博px + (1p)y < 0公平赌博：公平赌博：px + (1p)y = 0xy¾赌博赌博(x, y)R²：若F 发生，则赢 x w 元，财富变为(1+x)w 元；若事件 F 未发生，则赢 yw 元，财富变为(1+y)w 元¾原点原点 o = (0,0)R² ：代表不赌28武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件(1) (1) 相对接受集相对接受集相对接受集相对接受集G GA A风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度 ( (二二) ) 相对风险规避倾向相对风险规避倾向1. 赌博揭示的相对风险规避倾向赌博揭示的相对风险规避倾向ØGA = {(x, y)R² : Eu(x, y)  u(w)}ØGA 由方程 Eu(x, y) = u(w) 来确定：y =  (x) 类似地可以证明：l风险冷淡者的相对接受集风险冷淡者的相对接受集 GA 是凸集是凸集lGA的原点斜率的原点斜率：lGA的原点切线的原点切线：lGA的原点曲率的原点曲率：切线切线——公平赌博公平赌博——px + (1p)y = 0GA GA29武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件Ø原点附近的赌博都是赌金相对较小的赌博——相对小赌博。

1.如果一个人连相对较小的赌博都不愿意接受，就表明这个人对风险的厌恶程度较大，足见他具有较强的风险规避倾向2.一个人不愿意接受的相对小赌博越多，他对风险的厌恶程度越大，风险规避倾向越强3.曲率 (0) 越大，GA 在原点(0,0)处越弯曲，不接受的相对小赌博越多，从而风险厌恶程度越大，风险规避倾向越强4.GA 在原点的曲率 (0) 与 APR(w) =  u(w)w u(w) 成正比n结论：阿罗阿罗-普拉特相对风险厌恶度量函数普拉特相对风险厌恶度量函数 的确度量的确度量着经济人对风险的厌恶程度强弱着经济人对风险的厌恶程度强弱！(2) (2) 原点附近赌博的意义原点附近赌博的意义原点附近赌博的意义原点附近赌博的意义1. 赌博揭示的相对风险规避倾向赌博揭示的相对风险规避倾向( (二二) ) 相对风险规避倾向相对风险规避倾向风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度 30武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件2. 阿罗阿罗-普拉特相对风险厌恶度普拉特相对风险厌恶度GuA接受接受GvA拒绝拒绝相对相对小赌博小赌博GuAGvAGuAGvA风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度 ( (二二) ) 相对风险规避倾向相对风险规避倾向31武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件风险规避倾向的变化规律风险规避倾向的变化规律²经济人的风险规避倾向如何随财富数量的变化而变化经济人的风险规避倾向如何随财富数量的变化而变化？²什么情况下适合使用绝对风险厌恶度来测定经济人的风险规什么情况下适合使用绝对风险厌恶度来测定经济人的风险规避倾向避倾向，又在什么情况下适合使用相对风险厌恶度来测定又在什么情况下适合使用相对风险厌恶度来测定？对于这些问题，下述回答似乎是合理的。

l第一，绝对风险厌恶度绝对风险厌恶度AP(w)随财富随财富w的增加而递减的增加而递减 l第二，相对风险厌恶度相对风险厌恶度APR(w)不随财富不随财富w的变化而变化的变化而变化下面就来给以说明 32武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件( (一一) ) 绝对风险厌恶度的变化规律绝对风险厌恶度的变化规律Ø对于一个用绝对数量表示的较小赌博来说，当经济人的财富较少时，这个赌博可能不被接受；但当财富较多时，接受这个赌博的可能性就大大增加了：赌一下也没什么大不了l这一现象表明，随着经济人拥有的财富的增多，一个较小赌博被接受的可能性是上升的，从而绝对风险厌恶度下降，绝对风险规避倾向变弱l另外，如果考虑的是短期行为，那么经济人是否能够接受一个赌博，恐怕主要还是要看财富数量的绝对变化因此可以说，当进行短期分析的时期，适合使用绝对风险厌恶度来测定经济人的风险规避倾向风险规避倾向的变化规律风险规避倾向的变化规律33武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件( (二二) ) 相相对风险厌恶度的变化规律对风险厌恶度的变化规律风险规避倾向的变化规律风险规避倾向的变化规律Ø对于相对赌博来说，由于赌金与财富成比例，因此低额赌注的赌博实际上是高额赌注的赌博的缩影。

Ø缩影是对原型的模仿，这样一来，原型与缩影中的相对风险规避倾向似乎应该一致l根据以上说明，假定相对风险厌恶度为常数，恐怕就是一个不错的假设Ø另外，如果是在进行长期分析，那么面对遥远的未来，就不宜采用绝对数量，而采用相对数量变化恐怕会更好些，可能会更能令人信服这就说明：l长期分析中适合使用相对风险厌恶度来测定人们的风险规避倾向尤其是遥远未来的不确定性太大，人们保持不变的相对风险规避倾向便合情合理，即“以不变应万变” 34武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件( (三三) ) 风险规避倾向与效用函数形式风险规避倾向与效用函数形式风险规避倾向的变化规律风险规避倾向的变化规律n定理(武) 设 X = {xR : x > 0}，u : X  R 为VNM效用函数，并且对一切 xX ，都有 u(x) > 0则有下述结论：①经济人具有不变的相对风险规避倾向  1当且仅当当且仅当存在常数 a , b (a > 0) 使得 对一切 wX 成立②经济人具有始终为 1 的相对风险规避倾向当且仅当当且仅当存在常数 a > 0和常数 b 使得 u(w) = a lnw + b 对一切 wX 成立。

•经济人具有不变的绝对风险规避倾向 > 0当且仅当当且仅当存在常数 a , b (b > 0) 使得 对一切 wX 成立nVNM效用函数形式n当经济人具有不变的相对风险规避倾向 时，VNM效用函数可取作这样的形式： n当经济人具有不变的绝对风险规避倾向 > 0 时，VNM效用函数可取作这样的形式： 35武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件1. 定理的证明定理的证明风险规避倾向的变化规律风险规避倾向的变化规律( (三三) ) 风险规避倾向与效用函数形式风险规避倾向与效用函数形式只证明结论其必要性通过计算可证，只需证充分性Ø已知  u(w)w u(w) =   1，即 du(w) u(w) =  dw/w，也即 d ln u(w) =  d ln w故存在常数 C 使得 ln u(w) =  ln w + C因此，我们有 。

Ø再次求解微分方程，即可知：存在常数 b 使得Ø令 a = A/(1 )则 a > 0 为常数且 对一切 wX 成立充分性得证充分性得证Ø由于VNM效用函数在仿射变换下唯一，故可取 a = 1/(1 ) 和b = 1/(1 )结果， VNM效用函数可取作如下形式：36武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件2. 均值均值-方差效用方差效用风险规避倾向的变化规律风险规避倾向的变化规律( (三三) ) 风险规避倾向与效用函数形式风险规避倾向与效用函数形式 一个有趣的事实是，当经济人具有不变的绝对风险规避倾向  > 0且风险选择行为 服从正态分布 N( ,  ²) 时，我们有： l在绝对风险规避倾向不变的情况下在绝对风险规避倾向不变的情况下，正态风险行为正态风险行为  的预期的预期效用效用Eu( ) 仅仅是仅仅是  的均值的均值  和方差和方差  ² 的函数的函数 这样的预期效用，就叫做均值均值-方差效用方差效用37武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件第第8 8次作业次作业( (11月月23日前，通过日前，通过e-mail交给助教交给助教胡谍胡谍) )1.证明：风险爱好者的拒绝集 GR 是凸集。

其中GR的定义如下： GR = {(x, y)R² : Eu(x, y) < u(w)}， Eu(x, y) = pu(w+x)+(1p)u(w+y)， p 为随机事件 F 发生的概率， u 为风险爱好者的VNM效用函数， w 为风险爱好者当前持有的财富2.证明：相对接受集 GA 在原点的曲率 3.试论预期效用函数的基数意义38武康平高级微观经济学08风险厌恶度量课件。