2004年考研数学三真题及解析.doc

2004年考研数学（三）真题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若，则a =______，b =______.(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ¹ 0，则.(3) 设，则.(4) 二次型的秩为 .(5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则_______.(6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布,和 分别是来自总体和的简单随机样本, 则 .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x)在(-¥ , +¥)内有定义，且， ，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ ] (9) 设f (x) = |x(1 - x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [ ](10) 设有下列命题： (1) 若收敛，则收敛. (2) 若收敛，则收敛. (3) 若，则发散. (4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设在[a , b]上连续，且，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点，使得> f (a). (B) 至少存在一点，使得> f (b). (C) 至少存在一点，使得. (D) 至少存在一点，使得= 0. [ D ](12) 设阶矩阵与等价, 则必有(A) 当时, . (B) 当时, .(C) 当时, . (D) 当时, . [ ](13) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ ](14) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足, 若, 则等于(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分) 求.(16) (本题满分8分) 求，其中D是由圆和所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分) 设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足，x Î [a , b)，.证明：.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P，其中价格P Î (0 , 20)，Q为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性(> 0)； (II) 推导(其中R为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分) 设级数的和函数为S(x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.(20)(本题满分13分) 设, , , , 试讨论当为何值时, (Ⅰ) 不能由线性表示;(Ⅱ) 可由唯一地线性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) 可由线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设阶矩阵 .(Ⅰ) 求的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵.(22) (本题满分13分) 设，为两个随机事件,且, , , 令 求(Ⅰ) 二维随机变量的概率分布;(Ⅱ) 与的相关系数 ; (Ⅲ) 的概率分布. (23) (本题满分13分) 设随机变量的分布函数为 其中参数. 设为来自总体的简单随机样本,(Ⅰ) 当时, 求未知参数的矩估计量;(Ⅱ) 当时, 求未知参数的最大似然估计量; (Ⅲ) 当时, 求未知参数的最大似然估计量. 2004年考研数学（三）真题解析一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若，则a =，b =.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为，且，所以，得a = 1. 极限化为，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.【评注】一般地，已知＝ A，(1) 若g(x) ® 0，则f (x) ® 0；(2) 若f (x) ® 0，且A ¹ 0，则g(x) ® 0.(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ¹ 0，则.【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u = xg(y)，v = y，则f (u , v) =， 所以，，.(3) 设，则.【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t， ＝.【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为于是二次型的矩阵为 ,由初等变换得 ,从而 , 即二次型的秩为2. 【详解二】因为, 其中 .所以二次型的秩为2. (5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则 .【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于, 的分布函数为 故.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布,和 分别是来自总体和的简单随机样本, 则 .【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 , ,故应填 .【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x ¹ 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而，，，，，所以，函数f (x)在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界；如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界. (8) 设f (x)在(-¥ , +¥)内有定义，且， ，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ D ]【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元，可将极限转化为.【详解】因为= a(令)，又g(0) = 0，所以， 当a = 0时，，即g(x)在点x = 0处连续，当a ¹ 0时，，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设f (x) = |x(1 - x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [ C ]【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < d < 1，当x Î (-d , 0) È (0 , d)时，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的极小值点. 显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x Î (-d , 0)时，f (x) = -x(1 - x)，， 当x Î (0 , d)时，f (x) = x(1 - x)，，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. 故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题： (1) 若收敛，则收敛. (2) 若收敛，则收敛. (3) 若，则发散. (4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令，显然，分散，而收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由可得到不趋向于零(n ® ¥)，所以发散.(4)是错误的，如令，显然，，都发散，而收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. (11) 设在[a , b]上连续，且，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点，使得> f (a). (B) 至少存在一点，使得> f (b). (C) 至少存在一点，使得. (D) 至少存在一点，使得= 0. [ D ]【分析】利用介值定理与极限的。