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精品文档第六章 定积分的应用学习指导一、基本内容（一）微元法根据问题的具体情况选取积分变量x 及变化区间， 再小区间 x, xdx 求出b部分量的近似值的积分元素dufx dx ，从而求出所求量uf x dxa二）平面图形的面积1．由平面曲线 yfx ，直线 xa ， xb 和 y 0 所围图形的面积：Abxdxfa2．由平面曲线 yf1x ， yf 2x 和直线 x a ， xb 所转图形的面积：Abxf 2xdxf1a3．由极坐标曲线，、转的图形的面积：A12d24 ． 由 参 数 方 程 xx t ， yy t 给 出的 曲线 和 直线 x a x，x b x， y0 所围图形的面积：SAby tx t dty dxa三）体积1．由曲线 yf x 和直线 xa ， x b ， y0 所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积：bVx f 2 x dxa 2．由曲线 x x y 和直线 y c ， y d ， x 0 所围图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体积：d2 y dyVyxc3．垂直于 x 轴的平行截面面积为 x 的函数 A x 的立体的体积：精品文档精品文档VbA x dxa 。

四）平面曲线的弧长1．直角坐标曲线 yfx0xb ：b1fx 2 dxLa2．参数方程曲线 xx t， yy t，t：Lxt2yx2 dt3．极坐标曲线，：Lr 22 d五）定积分在物理上的应用对实际问题先取积分变量， 积分区间，求出所求量的微元， 利用微元法求解二、基本要求1．掌握利用定积分求解问题的基本方法——微元法2．会用定积分计算一些平图形的面积，旋转体的体积和曲线的弧长3．能利用定积分解决有关数学和物理上的一些问题三、重点和难点重点：用定积分求解的方法——微元法， 计算平面图形的面积， 旋转体的体积和曲线的弧长难点：用微元法解决有关问题四、注意的问题本章的学习应注意在掌握微元法上下功夫， 掌握了微元法，有关公式的掌握和证明就轻而易举了五、典型例下题例 1：计算抛物组 y 22x 与直线 yx 4 所围图形的面积精品文档精品文档yy x4解：作出图形，求交点坐标：B 8,4y 22xOA2, 2y解方程组：yx4 ，y 22x得交点坐标A 2,2，B8,4x1 y 24 及此图形可看成由2 ，x yy 2 和 y 4 围成，选择 y 为积分变量较为方便（原则系分区间积分）应用公式的所求面积为：Ay 41 y 2 dy1 y 24 y1 y4418422262。

x 2y21例 2：求椭圆 a 2b2所围成的图形面积解：椭圆关于两坐标轴均对称，故面积为 A 4A1 ，其中 A1 为该椭圆在第一象限部分与坐标辆所围图形的面积利用参数方程 xa cost ， y0tbsin t ，在第一象限2 ，于是所求面积为：A 4A1a0ydx4 b sin t a sin t dt024ab2 sin 2 tdt4ab 2 1 1 cos2t dt0024ab 1 t 1 sin 2t2 4y2ab0当 a b 时，得圆的面积 a 2 例 3 ：求曲线 y 2 x 2 及直线 y x ，A 1,1x 0( x 01 )所围图形绕 x 轴、 y 轴旋转一周所Ox得旋转体的体积解：作出图形，求解交点：精品文档精品文档y 2 x 2解方程组： y x得交点坐标 A 1,1 从而可求的绕 x 辆和绕 y 轴旋转所得的旋转体体系 Vx 和 Vy12 dx12 dx1x 2 dyVx2 x 2x4 5x2000511384xx 3x535015Vy1y2 dy22y dy0113 112115y2 yy23023261。

注：求体积进常需进行适当的公解或组合xa tsin t例 4：求摆线 ya 1cost0 t2 a0 的弧长2222解：∵ x ty ta 1costa sin ta 222 cost2a22 sin 2 t4a 2 sin 2 t22于是所求弧长2x t 2y t 22Ldt00R2a sin t dt22t4a cos 8a2 0例 5：一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底面成角，计算这平面OCyAB截圆柱体所得立体的体积Rx解：建立坐标如图xR, R 上过 x 轴上坐标为x 的点且与 x 轴垂直的平面截立体得截面ABC 易知面积精品文档精品文档S x1AB BC1 y ytg1 tgR2x 2222从而所求体积：R 111RV2223tgRxdxtg R x3xR 22R2 R3 tg3 例 6：一倒圆锥形容器，高为 h ，底半径 R ，容器内盛满水，试问要把桶内的水全部吸出需作功多少？解：作轴截面图如图，取积分变量 x 积分区间为 0, h x 0, h ，取小区间 x, x dx 相应于此小区间这一薄层水的高度为 dx水的比重为 9.8kN / m 3 ，因此 x 的单位为米。

这薄层水的重量为R yx22dx9.8 R229.8 x9.8dx2hx dxhh（这里 r 是三角形的所此求Or的）xr故这薄层水吸容器外需作为微功为：dx9.8 R29.8 R2dW2dxx h2xhxh 2x dxh2h于是所求的功为：xhh9.8 R 2WdW2x2hx2x3dx00h2h9.8 R 2 1 h2 x22 hx 31 x4h49 R2 h2h2234060(KJ)第七章 空间解析几何与向量代数在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线， 在此基础上， 介绍一些常用的空间曲线与曲面 通过这一章的学习， 培养空间想象能力， 娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力也为学习多元微积分做准备重点：曲面方程，曲线方程精品文档精品文档难点：较深刻地理解曲面（平面） 、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。