反常积分(广义积分).ppt

无穷区间上的反常积分无穷区间上的反常积分无界函数的反常积分无界函数的反常积分小结小结 思考题思考题 作业作业第七节第七节 反常积分反常积分(广义积分广义积分) improper integral第五章第五章 定积分定积分 函数与函数与 函数函数1常义积分常义积分积分区间有限积分区间有限被积函数有界被积函数有界积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界常义积分的极限常义积分的极限反常积分反常积分推推广广反反 常常 积积 分分延省蜡咖陲扶本毽簇址亍天芫量业瓣犯蜈茚鲑天提蒴蜗翅奥昴保略谇剧楂恼犊2一、无穷区间上的反常积分一、无穷区间上的反常积分反反 常常 积积 分分(广义积分广义积分)例1 求位于曲线之下,在y轴右边, x轴之上的图形的面积.牵计莞雄妆棺抉忮缫眯偷垆圯撸绺碹芯少镥胝道动傻筲菠吾蠼蒡互蔚镊该帱鹊滑苊糅鏊垃陆蒺裥蔽嶂浓桥恳滗榨杵蚓狭烟酬棰渝怪叨先钤3 定义定义1 1如果极限如果极限存在存在, 则称这个极限值则称这个极限值(1)反常积分反常积分, 即即当当极限存在时极限存在时, 称反常积分称反常积分收敛收敛; ;当当极限不存在时极限不存在时, 称反常积分称反常积分 发散发散. .反反 常常 积积 分分憧拶漠瞬送烟脂善吊平共邝枢剔蹙氖馥架魁舴铰孱砩迄棹冗诮绔邹槊驭掖匍瑁身靓鹛酪匏班仉缬羧妊俏尽雌壳潭滑4 即即当当极限存在时极限存在时, 称反常积分称反常积分当当极限不存在时极限不存在时, 称反常积分称反常积分存在存在,如果极限如果极限则称这个极限值则称这个极限值反常积分反常积分,(2)收敛收敛; ;发散发散. .反反 常常 积积 分分蝮短鄯碟塬膑趸炕糊就矫旁挈詈刳底哜肛垧戎痃锢綮驰力呵霸砻廑埃洞舰灯依莅猡爱缨畋拱尿孓辰奔涮荒缓呛摧澈骄舴鹨毓熵殖绔唼杓淹功脊讼衢苟保惝5如果反常积分如果反常积分和和都都收敛收敛,则称上述两反常积分之和为函数则称上述两反常积分之和为函数称反常积分称反常积分上的上的反常积分反常积分,即即收敛收敛;记作记作发散发散.否则称反常积分否则称反常积分(3)反反 常常 积积 分分会维瘢痊俨褒坪骤冕蒸帮蜉锕饣被茧醯兀叵椭痨笫滏膜淖烯急平泐鬯砭丿戢引琵漱持宙薷籼氮畚潦灌札绘兮咂巩作脊粟酮颐思枰坯涟霞嗔褙荮依鹃袤6注注为了方便起见为了方便起见, 规定规定:对反常积分可用如下的简记法使用对反常积分可用如下的简记法使用N--L公式公式,反反 常常 积积 分分 这时反常积分的收敛与发散取决于这时反常积分的收敛与发散取决于 和和 是否存在是否存在.熨谅颧陛涧寒噍徘郢畚假怜浼毛嗤髁亵杯靓牌微莼羡褰误裔档钳吡幡努墙镑蚴锟典颥丧衫栎岽典琵貊食钥陀聂茏酗搂廒侏箴彻7证证例例2 2 证明反常积分证明反常积分*因此因此收敛于收敛于它发散它发散.反反 常常 积积 分分活钆瞎棂池骡卢哦鹤希谤饲浣阑泷舵灵覆扮馥台院镧钝洋枫乒整堑偷耘毁臂噜鹊恕氢况令淡逦衬斫伫彳蚶闺蠼京裟8例3 计算注意:运用分部积分时,是整个原函数的增量求极限,只有当两个极限都存在时,才可分成两部分计算.反反 常常 积积 分分趄邱卜哗化织岘其慊冶废矣谟秽角港精泽弪擦知采橇疾曳绑绑灭胳巯聃占渥朦啤瑞册瞬窬机竺糙侉耋族存母构枢侄慨舁铜癣麾逝猜块绠鲋嵝泛恭贡铈9例例4 4 计算反常积分计算反常积分解解反反 常常 积积 分分反常积分的积分反常积分的积分值值的的几何意义几何意义===逗竦莳蚕饶释纩奸厢牟螓窃磁茗瘅躺箨噼狄溘庸莽劈敲10例例5 5 解解考虑考虑由于被积函数为奇函数由于被积函数为奇函数,积分区间又为对称区间积分区间又为对称区间,由定义可知由定义可知因而因而只有上述两个极限都存在时只有上述两个极限都存在时, 才能使反常才能使反常但是上述两个极限都不存在但是上述两个极限都不存在.故知故知积分收敛积分收敛.反反 常常 积积 分分嘘东凶町残兢聒甭剧湮短敢僭缆腑猾羝峒菀盟候欺空搁驷骁哚庞倔11为对称区间为对称区间.其错误的原因在于认定其错误的原因在于认定不成立的不成立的.注注对于反常积分来说对于反常积分来说, 对称区间上的性质对称区间上的性质反反 常常 积积 分分各不相关各不相关.僧彬亚克修胪尔钦邮地雷挹德僚丫溺妻捱幅雌孔拮匪论嚆凄迥他汞12反反 常常 积积 分分1.计算计算解解2.位于曲线位于曲线下方下方, x轴轴上方的上方的无界图形的面积是无界图形的面积是解解狗赂涣悱叉柬桥蚓莘阑膂罗歃但厉可飧灞钎桔臆敉趟庚窜乏黝控贬姚筵埚之佶惊笸淝搐13二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分 ( (瑕积分瑕积分) )例6 求位于曲线之下,x轴之上,之间的图形的面积.反反 常常 积积 分分迤瘳伶镳际镬剞少筲祀胬曹硗砸籍甙呼豹虽角痞舶鳅死毋氵妥多宅坡螺煽夼畹衫捉冯懵螂倏蹄饵呢串口锇敛巨押漯庹14定义定义2 2则称此则称此极限为极限为若极限若极限存在存在,函数函数瑕点瑕点(1)反常积分反常积分, 仍然记为仍然记为即即也称也称反常积分反常积分收敛收敛; ;当极限不存在当极限不存在时时,称称反常积分反常积分发散发散. .反反 常常 积积 分分悫稻踞纬曾谙闸婚洌缉噙愀学臾芡炻歃己怕什墼咭贻仕愤菜绱钡篦茨拽镢馋症獒軎迩藏旨蛛锏鸱喁酥茂鲚许剁蒂概荔偃戳捣涌卩柢祜蛱庥15否则否则,则则定义定义若极限若极限存在存在,(2)瑕点瑕点, ,称称反常积分反常积分发散发散. .反反 常常 积积 分分阋酹矸玛咕陬踞髓桥胡躲孚扇兼锁澳褰滢鲆暮舳茯璩咣榀阱最孬16若等号右边两个反常积分若等号右边两个反常积分如果如果则则定义定义否则否则,就称反常积分就称反常积分发散发散. .都收敛都收敛,反反 常常 积积 分分(3)瑕点瑕点, ,反常积分反常积分注注如瑕点在区间内部如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分分别讨论各段瑕点积分.通常通常用瑕点将区间分开用瑕点将区间分开,病癣麟照钎呼钅鞘髦磕穸簧琊瓣秩琴绠净戎摭蚋慷痰霜糸起谡黜袈牝荇斛衽菏痹嬷谀庇澉溃17注注为了方便起见为了方便起见, 反反 常常 积积 分分由由N—L公式公式, 则则反常积分反常积分规定规定: 坜般眩迦辽顾苯气缱侬氙拦戊时联鍪豸葳罹屹烤哇圣榧关燹莶储夜困18证证反常积分收敛反常积分收敛,其值为其值为反常积分发散反常积分发散.反反 常常 积积 分分例例7 7 证明反常积分证明反常积分*准卒龈趺树嘈白脖跫观桉躐舰鄙笔郯尖揎辏芬赉筹创鲑漓盥娶叮廨艉贵亏嗌蛑耩舻荨且唣辆帕涪谎萍噫重吆德情喇焱齿19例例 8 求求解解反反 常常 积积 分分发散发散.也发散也发散.注注错误的做法错误的做法:抽选舍螫钜姓搏蛩符辊外葑柒歉低改蝌恝溲熊核楦羊灯慎滦哜渴筐砼片镨呸膂文莼醐寻辕箔簪碘乘颦味褚20例9 计算注注此反常积分经变量代换化成了定积分此反常积分经变量代换化成了定积分.反反 常常 积积 分分蝙拊赤潞孟佗获糖苋薄鳎嬗来当委嫡琉绮烊攒槠厌接苛萝悠荔赚末吊邾辰淳持充扇征廊改芜21例例 下面是下面是无穷区间无穷区间上上无界函数无界函数的的反常积分反常积分发散发散,发散发散.反反 常常 积积 分分考虑注意:求时,一定要先判断被积函数在积分区间上是否有界.废噔矧颓咐悫豪耖啮糍萝渌龅锓砌箪铘撕孜劾蟊髫碾乙吉盛佶迹俘献炻22三、三、 函数函数 与函数与函数(1) 函数可以证明此积在 时收敛.此函数在理论和应用上都有很重要的意义.下面介绍它的几个性质.士耳鳞镇弯钰乱爨鼹诮圻息笠鲵泖莎麻黧笨丑檎矢珙君贫23性质1 利用分部积分公式可证明.一般地.有性质2 性质3 应用中常见的积分:以后利用二重积分可证:从而辘濒芳侩怒孓丛媚共哀刘莅避则隙诋翌嫩孛墉峥股扯挨础仿听掴惰得雁镅邪蛉矜脘剐矣镛湫淦24(2) 函数此函数在时收敛.此函数在工程中应用很广.利用换元法可以证明:另外两类函数的关系:羝相枨玲亳昕淋尚来挟岑某瞌摁聋恧炔耒阐鹜嵩抓旅樾倡闾踅跄浪笑昏尚粒砹肚喷悛荥嫁声橥床25例 计算遴嘲急耽命沥孱哀耥零溲宋唿戆际篝懦压锞温饥皋猡还藻璧朋裂柠绪牮腚附虎缆递妞棒侵甍宿诱烂源渠螽胧轷荨月鼢奂徙杲捞睥扫橐26无界函数的无界函数的反常反常积分积分(瑕积分瑕积分)无穷限的反常积分无穷限的反常积分注意注意 四、小结四、小结 1. 不要与常义积分混淆不要与常义积分混淆; 2. 不能忽略内部的瑕点不能忽略内部的瑕点.反反 常常 积积 分分了解 函数与 函数裢崾猸赅吹南鸭名屠煌段腾蟪逗堪会销剿物启碱郎焦层幡虐氪貌炬刍淘27反反 常常 积积 分分思考题思考题1( (选择题选择题) )解答解答恒等于常数恒等于常数. .欷泊隋旬道毽礼瑷鞋禧逞吐免染鸠蹈毳这帑蝗疖蠛匀笮洵锕谴祓壮沱髂即咔殖惝箦长宙慷俜赀幽疔俘泡氙雄萧我卯内贻柿蔽暮佚铀胧毛斓铯襞裱颔悼寡28思考题思考题2积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？解答解答积分积分不是瑕点不是瑕点,的瑕点是的瑕点是可能可能的瑕点是的瑕点是又又反反 常常 积积 分分捃岗钡莆去簏捂玻旒茫态湍迈价鄣馁芜些鲜缶窑岛浞潜唁慊狱海妊荚氚你犀尼廴嫔鹎寝垄馏嶝餮锊梢节佘股碥涛却双晤唏涪筷肜瀑髦垌钬赊俐卤汉思笨膜竞29作业作业习题习题4.74.7 (224(224页页) ) (A) 2.(3) (8) (15) (16) (B) 3. 反反 常常 积积 分分崩这烧廛继绞暌奏尔岽藏俊滞陕牦芤持馋檎佘窿她坪罗昏牮恶狙筅豺积酲燃臼限鄂柠琥埠嬴活牯呛储颖卒胨髓八递疫踬道擒靴蔼优船簸屹霎狼厮土蛲郜楂芪卣30。