静水压强分布图实例.ppt

§§2-1 静水压强及其特性§§2-2重力作用下静水压强的分布规律§§2-3压强的计算基准和量度单位§§2-4测量压强的仪器§§2-5静水压强分布图§§2-6 作用在平面上的静水总压力§§2-7 作用在曲面上的静水总压力§§2-8液体平衡微分方程§§2-9重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡水静力学的主要内容教学基本要求教学基本要求§1、正确理解静水压强的两个重要的特性和等压面的性质§2、掌握静水压强基本公式和物理意义，会用基本公式进行静水压强计算§3、掌握静水压强的单位和三种表示方法：绝对压强、相对压强和真空度；理解位置水头、压强水头和测管水头的物理意义和几何意义§4、掌握静水压强的测量方法和计算§5、会画静水压强分布图，并熟练应用图解法和解析法计算作用在平面上的静水总压力§6、会正确绘制压力体剖面图，掌握曲面上静水总压力的计算§7 、会计算液体的相对平衡学习重点学习重点§1、静水压强的两个特性及有关基本概念§2、重力作用下静水压强基本公式和物理意 义§3、静水压强的表示和计算§4、静水压强分布图和平面上的流体总压力的计算§5、压力体的构成和绘制以及曲面上静水总压力的计算。

§6、处于相对平衡状态的液体中压强的计算§§2-1 2-1 静水压强及其特性静水压强及其特性一、静水压强一、静水压强§静水压力：是指液体内部相邻两部分之间相互作用的力或指液体对固体壁面的作用力（或静止液体对其接触面上所作用的压力）其一般用符号p 表示，单位是kN或Ｎ 1. 平均静水压强§如图2-１所示§它反映了受压面ΔA上 静水压强的平均值§２．点压强图2-1二、静水压强的特性二、静水压强的特性§１．静水压强的方垂直指向受压面或沿受压面的内法线方向§ 这一特性可由反证法给予证明，如下图所示αpF切向应力作用力法向压强§２．静止液体中作用于同一点各个方向的静水压强都２．静止液体中作用于同一点各个方向的静水压强都相等 证明如下证明如下: :在静止流体中任取一微元四面体在静止流体中任取一微元四面体, ,对其进行对其进行受力分析受力分析. .pypxpzpn作用在ACD面上的流体静压强作用在ABC面上的流体静压强作用在BCD面上的静压强•、作用在ABD和上的静压强图 微元四面体受力分析§①表面力：（只有各面上的垂直压力即周围液体的静水压力）§②质量力：（只有重力、静止）如图所示 其质量为 ，单位质量力在各方向上的分别为X、Y、Z，则质量力在各方向上的分量为•以X方向为例：§因为 §代入上式得：§当四面体无限地缩小到0点时，上述方程中最后一项近于零，取极限得, 即§ §上式说明，在静止液体中，任一点静水压强的大小与作用面的方位无关，但液体中不同点上的静水压强可以不等，因此，静水压强是空间坐标的标量函数，即： （（2-22-2））§2-22-2重力作用下静水压强的分布规律重力作用下静水压强的分布规律压强由两部分组成：压强由两部分组成：静水静水压强的基本方程压强的基本方程液面上的气体压强液面上的气体压强p0高度为高度为h的水柱产生的压强的水柱产生的压强ρgh在质量力只有重力的情况下在质量力只有重力的情况下, ,静止液体中的压强符合如下规律静止液体中的压强符合如下规律: :静水压强的基本方程也可写成如下形式静水压强的基本方程也可写成如下形式: :式中式中c c为积分常数，由边界条件确定。

为积分常数，由边界条件确定静水压强基本方程的适用范围是静水压强基本方程的适用范围是: :重力场中连续、均重力场中连续、均质、不可压缩流体质、不可压缩流体若在静止液体中任取两点若在静止液体中任取两点l l和和2 2，点，点1 1和点和点2 2压强各为压强各为p p1 1和和p p2 2，位置坐标各为，位置坐标各为z z1 1和和z z2 2，则可把式，则可把式改写成另一表达式，即：改写成另一表达式，即： 静压强基本方程的几何意义和物理意义00 为了进一步理解静水压强基本方程式，现在来讨为了进一步理解静水压强基本方程式，现在来讨论该方程的物理意义和几何意义论该方程的物理意义和几何意义 1.1.物理意义物理意义 式中：式中： z z 的物理意义表示为单位重量流体对某一基准面的位的物理意义表示为单位重量流体对某一基准面的位置势能。

置势能 式中的式中的 表示单位重量流体的压强势能表示单位重量流体的压强势能 这可说明如下：如这可说明如下：如图图所示，容器离基准面所示，容器离基准面z z处开一个小孔，处开一个小孔，接一个顶端封闭的玻璃管接一个顶端封闭的玻璃管( (称为测压管称为测压管) )，并把其内空气抽出，，并把其内空气抽出，形成完全真空形成完全真空( (p=0p=0) )，在开孔处流体静压强，在开孔处流体静压强p p的作用下，流体的作用下，流体进入测压管，上升的高度进入测压管，上升的高度h=h=p/ρgp/ρg称为单位重量流体的压强称为单位重量流体的压强势能位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能所以静水压强基本方程表示在重力作用下静止流体中各点的所以静水压强基本方程表示在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的这就是静止液体中的能量单位重量流体的总势能是相等的这就是静止液体中的能量守恒定律守恒定律2.2.几何意义几何意义 单位重量流体所具有的能量也可以用液柱高度单位重量流体所具有的能量也可以用液柱高度来表示，并称为水头。

来表示，并称为水头 式中：式中： z z 具有长度单位，如具有长度单位，如图图所示，所示，z z 是流体质点离基准面是流体质点离基准面的高度，所以的高度，所以z z的几何意义表示为单位重量流体的位置高的几何意义表示为单位重量流体的位置高度或位置水头度或位置水头 也是长度单位，它的几何意义表示为单位重也是长度单位，它的几何意义表示为单位重量流体的压强水头位置水头和压强水头之和称为静水量流体的压强水头位置水头和压强水头之和称为静水头所以该式也表示在重力作用下静止流体中各点的静头所以该式也表示在重力作用下静止流体中各点的静水头都相等水头都相等 在实际工程中，常需计算有自由液面的静在实际工程中，常需计算有自由液面的静止液体中任意一点的静压强止液体中任意一点的静压强xzyp0AZ 如图所示，在一密闭容器中盛有密度为ρ的液体，若自由液面上的压强为p0、位置坐标为z0，则在液体中位置坐标为z的任意一点A的压强p可由该式得到，即 或 式中h=z0-z是静止流体中任意点在自由液面下的深度。

上式是重力作用下流体液体方程的又一重要形式由它可得到三个重要结论：(1)在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大 (2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：一部分是自由液面上的压强p0；另一部分是该点到自由液面的单位面积上的液柱重量 (3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静压强相等，即任一水平面都是等压面Z0p0AhxzyZp0=pa[ [例题例题] ]已知：已知：p p0 0=98kN/m=98kN/m2 2，， h=1mh=1m，，求：该点的静水压强求：该点的静水压强h解：解：ppa在容器壁面上同水深处的一点所受到的压强有多大？在容器壁面上同水深处的一点所受到的压强有多大？该点所受到的有效作用力有多大？该点所受到的有效作用力有多大？等压面等压面 在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面 1.1.等压面方程等压面方程 2. 2. 等压面特性等压面特性§① ① 等压面就是等势面。

等压面就是等势面§② ② 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面的等压面§③ ③ 等压面不能相交等压面不能相交§④ ④ 绝对静止流体的等压面是水平面绝对静止流体的等压面是水平面§⑤ ⑤ 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面结论：同一种静止相连通的流体的等压面必是水平面（只有重结论：同一种静止相连通的流体的等压面必是水平面（只有重力作用下）自由表面、不同流体的交界面都是等压面力作用下）自由表面、不同流体的交界面都是等压面  一、压强的表示一、压强的表示 1. 1. 计算基准计算基准 绝对压强：以完全真空时的绝对零压强绝对压强：以完全真空时的绝对零压强(p(p＝＝0)0)为基准来计为基准来计量的压强称为绝对压强；量的压强称为绝对压强； 相对压强：相对压强： 以当地大气压强为基准来计量的压强称为相对压强以当地大气压强为基准来计量的压强称为相对压强 绝对压强与相对压强之间的关系可在下面导出。

当绝对压强与相对压强之间的关系可在下面导出当自由液面上的压强是当地大气压强自由液面上的压强是当地大气压强p pa a时，则液体中任一点的时，则液体中任一点的压强可写成压强可写成 因为因为p p可以由压强表直接测得，所以又称计示压强可以由压强表直接测得，所以又称计示压强 §§2-3 2-3 压强的计压强的计算基准和量度单位算基准和量度单位 当流体的绝对压强低于当地大气压强时，就说该流体当流体的绝对压强低于当地大气压强时，就说该流体处于真空状态例如水泵和风机的吸入管中，凝汽器、锅炉处于真空状态例如水泵和风机的吸入管中，凝汽器、锅炉炉膛以及烟囱的底部等处的绝对压强都低于当地大气压强，炉膛以及烟囱的底部等处的绝对压强都低于当地大气压强，这些地方的计示压强都是负值，称为这些地方的计示压强都是负值，称为真空或负压强真空或负压强，用符号，用符号p pv v表示，则表示，则 为了正确区别和理解绝对压强、计示压强和真空之间为了正确区别和理解绝对压强、计示压强和真空之间的关系，可用的关系，可用图图来说明。

来说明 真空 绝对压强计示压强绝对压强图 绝对压强、计示压强和真空之间的关系 流体静压强的量度单位主要有三种流体静压强的量度单位主要有三种: :应力单位应力单位, ,大气压的大气压的倍数和液注高度为了便于换算，现将常遇到的几种压强单位倍数和液注高度为了便于换算，现将常遇到的几种压强单位及其换算系数列于表中及其换算系数列于表中表表 压强的单位及其换算表压强的单位及其换算表 当地大气压强当地大气压强 在没有特别说明情况下，一在没有特别说明情况下，一般以般以1 1个工程大气压强计故个工程大气压强计故[ [例题例题] ]封闭盛水容器中的玻璃管两端开口，如图所示，已知玻璃管封闭盛水容器中的玻璃管两端开口，如图所示，已知玻璃管伸入水面以下伸入水面以下h h=1.5m=1.5m时，既无空气通过玻璃管进入容器，又无水进时，既无空气通过玻璃管进入容器，又无水进入玻璃管试求此时容器内水面上的绝对压强入玻璃管试求此时容器内水面上的绝对压强 和相对压强和相对压强 [ [解解] ] 容器内水面上任一点和玻璃管底部上的压强间有如下关容器内水面上任一点和玻璃管底部上的压强间有如下关系系: :由由式（式（2—262—26）求得）求得h h 例题图例题图[ [例题例题] ]：如图已知，：如图已知，p p0 0=98kN/m=98kN/m2 2，，h=1mh=1m，，求：该点的绝对压强及相对压强求：该点的绝对压强及相对压强p0=pah解：解：例例2：如图已知，：如图已知， p p0 0=50kN/m=50kN/m2 2，，h=1mh=1m，，求：该点的绝对压强及相对压强求：该点的绝对压强及相对压强p0h解：解：pa相对压强为什么是负值？相对压强为什么是负值？ 什么位置处相对压强为零？什么位置处相对压强为零？§2.42.4测量测量压强的仪器压强的仪器1.1.测压管测压管2.2.U U型管测压计型管测压计3.3.差压计差压计4.4.微压计微压计如图可测水中大于大气压的相对压强1、测压管 测压管 2、 U 形管测压计 由于U形管1、2两点在同一等压面上， ，由此可得A点的相对压强 当被测流体为气体时，由于气体的密度比较小，上式最后一项 可以忽略不计。

当被测流体压强较大时，常采用图所示的U形管测压计在连续静止的汞中读出 、 则有 【例题例题】 已知密闭水箱中的液面高度h4=60mm，测压管中的液面高度h1=100cm，Ｕ形管中右端工作介质高度，如图所示试求Ｕ形管中左端工作介质高度h3为多少？ 【解解】 列1—1截面等压面方程，则 （a） 列2—2截面等压面方程，则 （b）把式（a）代入式（b）中 =0.1365(m)=136.5(mm)例题图 示 【例题例题】　用双Ｕ形管测压计测量两点的压强差，如图所示，已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200 mm，h4=300mm，h5=500mm，ρ1=1000㎏/m3，ρ2=800㎏/m3，ρ3=13598㎏/m3，试确定Ａ和Ｂ两点的压强差。

【解解】　根据等压面条件，图中1—1，2—2，3—3均为等压面可应用流体静力学基本方程式逐步推算 P1=p2+ρ1gh1 p2=p1-ρ3gh2 p3=p2+ρ2gh3 p4=p3-ρ3gh4 pB=p4-ρ1g(h5-h4) 逐个将式子代入下一个式子，则 pB=pA+ρ1gh1-ρ3gh2+ρ2gh3-ρ3gh4-ρ1g(h5-h4) 所以 pA-pB= ρ1g(h5-h4)+ρ3gh4 +ρ3gh2-ρ2gh3 -ρ1g h1=9.806×1000×（0.5-0.3） +133400×0.3-7850×0.2 +133400×0.25-9.806×1000×0.6 =67876（Pa）例题图示3、差压计 定义：定义：管道上部为倒U 形管式水柱差计，忽略空气密度，则计算公式为：测量两点压强差的仪器叫做压差计。

如图所示水管下部为U形管式汞差压计，它的计算公式为：差压计原理图4、 微压计 测量较小压强或压强差的仪器叫做微压计如图所示就是其中一种定义：定义：倾 斜 式 微 压 计原理图 因此，根据静水压强基本方程可得 倾斜式微压计是由一根倾角 可调的玻璃管（横截面面积为 ）和一个盛液体的小容器（横截面面积为 ）组成如果斜管入口压强 和容器入口压强 相等，则容器内液面与斜管中的液面齐平；当 和 不相等时，例如 ，则斜管中液面将上升 ，容器内液面下降 由于容器内液面下降的体积与斜管中液面上升的体积相等，即有 又 整理得 【例例2-1】　如图所示为双杯双液微压计，杯内和Ｕ形管内分别装有密度ρ1=lOOOkg/m3和密度ρ2 =13600kg/m3的两种不同液体，大截面杯的直径Ｄ＝100mm，Ｕ形管的直径d=10mm，测得h=30mm，计算两杯内的压强差为多少? 【解解】　列1—2截面上的等压面方程 由于两边密度为ρ1的液体容量相等，所以D2h2=d2h，代入上式得 =3709.6(pa)图2-17§2.5静水压强分布图静水压强分布图§即表示受压面上各点压强（大小和方向）分布的图形，简称静水压强图。

§绘制规则：１．按一定的比例尺，用一定长度的线段代表流体静压强的大小２．用箭头表示流体静压强的方向，并与该处作用面相垂直在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分布图，当流体的表面压强为 时 ，即p与h呈线性关系，据此绘制流体静压强图ABCPP 压强分布示意图 静水压强分布示意图静水压强分布图实例静水压强分布图实例ABpaPa+ρgh画出下列画出下列AB或或ABC面上的静水压强分布图面上的静水压强分布图相对相对压强分布图ABρghBABCABAB画出下列容器左侧壁面上的压强分布图§2.62.6作用于平面壁上的静水总压力作用于平面壁上的静水总压力图解法图解法解析法解析法——适用于任意形状平面适用于任意形状平面——适用于矩形平面适用于矩形平面图解法图解法——作用于矩形平面上的静水总压力的计算作用于矩形平面上的静水总压力的计算静水静水压强分布图压强分布图把某一受压面上压强随水深变化的函数关把某一受压面上压强随水深变化的函数关系表示成图形，称为静水压强分布图系表示成图形，称为静水压强分布图的绘制规则：的绘制规则：1.按一定比例按一定比例,用线段长度代表该点静水压强的大小用线段长度代表该点静水压强的大小2.用箭头表示静水压强的方向用箭头表示静水压强的方向,并与作用面垂直并与作用面垂直静水总静水总压力的大小压力的大小:其中其中b为矩形受压面的宽度；为矩形受压面的宽度；Ω为静水压强分布图形的面积；为静水压强分布图形的面积；静水总静水总压力的方向：垂直并指向受压面压力的方向：垂直并指向受压面静水总静水总压力的作用点（压力中心或压心）：通过压强分压力的作用点（压力中心或压心）：通过压强分布体的重心（或在矩形平面的纵对称轴上，且应通过压布体的重心（或在矩形平面的纵对称轴上，且应通过压强分布图的形心点）强分布图的形心点）举例【【例题例题】】如图所示，某挡水矩形如图所示，某挡水矩形闸门，门宽闸门，门宽b=2m，，一侧水深一侧水深h1=4m，，另一侧水深另一侧水深h2=2m，，试试用图解法求该闸门上所受到的静用图解法求该闸门上所受到的静水总压力。

水总压力h1h2解法一：解法一：首先分别求出两侧的水压力，然后求合力首先分别求出两侧的水压力，然后求合力h1/3h2/3方向向右方向向右→e依力矩定理：依力矩定理：可解可解得：得：e=1.56m答答:该闸门上所受的静水总压力大小为该闸门上所受的静水总压力大小为117.6kN，，方向向右，方向向右，作用点距门底作用点距门底1.56m处合力对任一轴的力矩等于各分力对合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和该轴力矩的代数和解析法解析法——作用于任意形状平面上的静水总压力作用于任意形状平面上的静水总压力αhcCbCLCLO（b）M（b，L）dAhdFP其中其中 为平面对为平面对Ob轴的面积矩轴的面积矩所以静水总压力的大小为所以静水总压力的大小为其中其中pc为受压面形心点的压强；为受压面形心点的压强； A为受压面的面积为受压面的面积依依力矩定理，力矩定理，FPDD其中其中 为平面对为平面对Ob轴的面积惯性矩，记为轴的面积惯性矩，记为整理可得静水总压力的压心位置：整理可得静水总压力的压心位置：其中其中Ic表示平面对于通过其形心点且与表示平面对于通过其形心点且与Ob轴平行的轴线的面积惯性矩。

轴平行的轴线的面积惯性矩举例 【【例题例题】】一垂直放置的圆形平板闸一垂直放置的圆形平板闸门如图所示，已知闸门半径门如图所示，已知闸门半径R=1m，，形心在水下的淹没深度形心在水下的淹没深度hc=8m，，试用试用解析法计算作用于闸门上的静水总压解析法计算作用于闸门上的静水总压力hchDFP解：解：LO答：该闸门上所受静水总压力的大小为答：该闸门上所受静水总压力的大小为246kN，，方向向右，方向向右，在水面下在水面下8.03m处【【例题例题】某泄洪隧洞，在进口倾斜设置一矩形平板闸门（如图），倾角α=60,门宽b=4m，门长L=6m，门顶的淹深h1=10m,若不计闸门自重时，问：①沿斜面拖动闸门所需的拉力T为多少？（已知闸门与门 之间摩擦系数f=0.25） ②门上静水总压力的作用点在哪里？§解：当不计门重时，T至少需克服闸门与门之间的摩擦力，故T=P·f为此，需求出P 用图解法求P及其作用点 如图画出其压力分布图，则 P=A·b=1/2 (γh1+γh2) ·L·b =2964KN§ 作用点距闸门底部的斜距 （ h1=10，h2=10+6sinα） P距平面的斜距　　　（也可用解析法求解） 例题 图示 【例题例题】 下图表示一个两边都承受水压的矩形水闸，如果两边的水深分别为h1=2m，h2=4m，试求每米宽度水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。

【解解】 淹没在自由液面下h1深的矩形水闸的形心yc=hc=h1/2 每米宽水闸左边的总压力为 由压力中心公式确定的作用点F1位置 例题图 示 其中通过形心轴的惯性矩IC=bh31/12，所以即即F1的作用点位置在离底1/3h=2/3m处 淹没在自由液面下h2深的矩形水闸的形心yc=hc=h2/2 每米宽水闸右边的总压力为 （Ｎ） 同理F2作用点的位置在离底1/3h2=2/3m处 每米宽水闸上所承受的净总压力为 F=F2-F1=78448-19612=58836（Ｎ） 假设净总压力的作用点离底的距离为h，可按力矩方程求得其值围绕水闸底O处的力矩应该平衡，即 （m) §§2-7 2-7 作用在曲面上的静水总压力作用在曲面上的静水总压力 实际工程中有许多承受液体总压力的曲面，实际工程中有许多承受液体总压力的曲面，主要是圆柱体曲面，如锅炉汽包、除氧器水箱、油主要是圆柱体曲面，如锅炉汽包、除氧器水箱、油罐和弧形阀门等。

由于静止液体作用在曲面上各点罐和弧形阀门等由于静止液体作用在曲面上各点的压强方向都垂直于曲面各点的切线方向，各点压的压强方向都垂直于曲面各点的切线方向，各点压强大小的连线不是直线，所以计算作用在曲面上静强大小的连线不是直线，所以计算作用在曲面上静止液体的总压力的方法与平面不同止液体的总压力的方法与平面不同 一、总压力的大小和方向一、总压力的大小和方向 图图a a 和图和图b b所示为一圆柱形开口容器中某一部分所示为一圆柱形开口容器中某一部分曲面曲面ABAB上承受液体静止压强的情况设曲面的宽度为上承受液体静止压强的情况设曲面的宽度为b b，，在在A A处取一微小弧段处取一微小弧段dsds，则作用在宽度为，则作用在宽度为b b、长度为、长度为dsds的的弧面弧面dAdA上仅由液体产生的总压力为上仅由液体产生的总压力为CDBAxHhdPdPxdPzdsΘ图a) 作用在圆柱体曲面上的总压力图b) 作用在圆柱体曲面上的总压力 这一总压力在OX轴与OZ轴方向的分力为： （a） （b） 1 1．水平分力．水平分力 由图a和图b可知， ，代入到式(a)，则 因此，静止液体作用在曲面AB上的总压力在OX轴方向的分力，即水平分力为 （c） 式中 为曲面面积在垂直平面（OYZ坐标面）上的投影面积AX对OY轴的面积矩，它等于投影面积的形心到OY轴的距离与投影面积的乘积，即 。

 该圆柱形曲面在垂直平面上的投影面积Ax=bH，其形心hc=H/2，则 由此可知，静止液体作用在曲面上的总压力的水平分力等于作用在这一曲面的垂直投影面上的总压力Px作用线的位置位于自由液面下2/3H处 2 2．垂直分力．垂直分力 由图a和图b可知，代入到式（b），则 因此静止液体作用在曲面AB上的总压力在OZ轴方向的分力，即垂直分力为  式中 是曲面AB与自由液面间的柱体体积， 在图a上就是面积OAB乘以曲面的宽度b，这个体积称为压力体 由此可知，静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于压力体的液体重量，Px的作用线通过压力体的重心 3 3．总压力的大小和方向．总压力的大小和方向 求得了静止液体作用在曲面上水平分力Fx和垂直分力Fz后，就可确定静止液体作用在曲面上的总压力，即 总压力与垂线间夹角的正切为  二、总压力的作用点二、总压力的作用点 总压力的作用线通过Ｏ点总压力的作用线通过Ｏ点px和和pz与作用线的与作用线的交点。

总压力作用线与曲面的交点就是总压交点总压力作用线与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用点，即压力中心力在曲面上的作用点，即压力中心三、压力体三、压力体压力体是所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分）到自压力体是所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分）到自由液面或自由液面的延长面间投影所包围的一块空间体由液面或自由液面的延长面间投影所包围的一块空间体积它的计算式积它的计算式 是一个纯数学体积计算式作用在曲面上的垂直分力的是一个纯数学体积计算式作用在曲面上的垂直分力的大小等于压力体内液体的重量，并且与压力体内是否充大小等于压力体内液体的重量，并且与压力体内是否充满液体无关为了说明这一点，满液体无关为了说明这一点，作图作图c c，它表示由两个形，它表示由两个形状、尺寸和淹深完全相同的曲面状、尺寸和淹深完全相同的曲面abab和和a a’’b b’’所构成的容器，所构成的容器，容器内盛有某种液体曲面容器内盛有某种液体曲面abab的压力体是过曲面的的压力体是过曲面的a a和和b b两点引垂线到液面所得两点引垂线到液面所得abcdabcd与容器的宽度构成的。

曲面与容器的宽度构成的曲面a a’’b b’’的压力体是过的压力体是过a a’’和和b b’’hdd’c’m’mcPz图c 压力体的概念图Pz通常将液体和压力体处于受压曲面同侧的压力体称为实压力体或正压力体，如abcd，实压力体的 方向向下；将液体和压力体分布处于受压曲面异侧的压力体称为虚压力体或负压力体，如a’b’c’d’， 方向向上 举例压力体应由下列周界面所围成：压力体应由下列周界面所围成：（（1）受）受压压曲面本身曲面本身（（2）自由液面或液面的延长面）自由液面或液面的延长面（（3）通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面）通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面所作的铅垂平面ABABABC 四、静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序四、静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序 (1)将总压力分解为水平分力Px和垂直分力Pz。

(2)水平分力的计算， （如图c） (3)确定压力体的体积 (4)垂直分力的计算， 方向由虚、实压力体（如图d）确定 (5)总压力的计算， (6)总压力方向的确定， (7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是Px图c 水平水力的确定PzPz图d 压力体剖面图的绘制•．Pz的方向有两种可能性，向上或向下压力体与液体位于曲面同侧时，向下；压力体与液体位于曲面异侧时，向上 【例题例题】 求图e所示流体施加到水平放置的单位长度圆柱体上的水平分力和垂直分力：（a）如果圆柱体左侧的流体是一种计示压强为35kPa被密封的箱内的气体；（b）如果圆柱体左侧的流体是水，水面与圆柱体最高部分平齐，水箱开口通大气 【解解】 （a）圆柱体表面所研究部分的净垂直投影为则35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水平分力为 Az=[4-2(1-cos300)] ×1 则35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水平分力为 Fx=pAz=35×[4-2(1-cos300)] ×1 =353.75=130.5(kN) 圆柱体表面所研究部分的净水平投影为 Ax=2sin300×1 则气体作用在单位长度圆柱体上的垂直分力为 Fz=pAx=35×2sin300×1=35(kN) （b） Fx=ρghcAx=9.81×(1/2×3.73) ×(3.73×1) ×1000=68.1（kN） Fz=ρgVp=9.81×1000×(2100/3600×22+1/2×1 ×1.732+1×2) ×1=100.5(KN) 图e 【例题例题】一弧形闸门如一弧形闸门如图所图所示，闸门宽度示，闸门宽度b=4m，，圆心角圆心角φ=45°，，半径半径R=2m，，闸门旋转轴恰与水面齐平。

求水闸门旋转轴恰与水面齐平求水对闸门的静水总压力对闸门的静水总压力解：闸门前水深为解：闸门前水深为ABφhOR水平分力：水平分力：铅直分力：铅直分力：静水总静水总压力的大小：压力的大小：静水总压力与水平方向的夹角：静水总压力与水平方向的夹角：α静水总压力的作用点：静水总压力的作用点：ZDD答：略 【例题例题】 图f所示为一水箱，左端为一半球形端盖，右端为一平板端盖水箱上部有一加水管已知h=600mm，R=150mm，试求两端盖所受的总压力及方向 【解解】 （1）右端盖是一圆平面，面积为 A右=πR2 其上作用的总压力有 F右=ρg(h+R)A右=ρg(h+R) πR2 =103×9.806×(0.6+0.15) ×3.14×0.152=520 （N） 方向垂直于端盖水平向右 （2）左端盖是一半球面，分解为水平方向分力Fx左和 垂直方向分力Fz左。

Fx左=ρg(h+R)Ax=ρg(h+R) πR2 =103×9.806×(0.6+0.15) ×3.14×0.152=520 （N） 方向水平向左 垂直方向分力由压力体来求，将半球面分成AB、BE两部分，AB部分压力体为ABCDEOA，即图中左斜线部分，记为VABCDEOA，它为实压力体，方向向下；BE部分压力体为BCDEB，即图中右斜线部分，记为VBCDEB ，它为虚压力体，方向向上因此总压力体为它们的代数和 Vp= VABCDEOA -VBCDEB=VABEOA Vp正好为半球的体积，所以 Vp=1/2× 4/3× πR3 Pz左=ρg Vp= ρg2/3πR3= 103×9.806×2/3 ×3.14×0.153=69.3(N) 方向垂直向下 总作用力为 （N） 合力通过球心与水平方向夹角为图f§§2-82-8 液体平衡微分方程液体平衡微分方程一、液体平衡微分方程式一、液体平衡微分方程式 在静止流体中任取一边长为 dx ，dy 和dz 的微元平行六面体的流体微团，如图所示。

现在来分析作用在这流体微团上外力的平衡条件 由上节所述流体静压强的特性知，作用在微元平行六面体的表面力只有静压强设微元平行六面体中心点处的静压强为p，则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒（G.I.Taylor）级数展开，例如：在垂直于X轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为：p图 微元平行六面体x方向的受力分析 略去二阶以上无穷小量后，分别等于 垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为： 同理，可得到垂直于y轴与z轴的微元面上的总压力分别为：  作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。

若流体微团的平均密度为ρ，则质量力沿三个坐标轴的分量为 ： 处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：作用在其上的外力在三个坐标轴上的分力之和都等与零例如，对于x轴，则为 整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量ρdxdydz则得同理得 写成矢量式 这就是流体平衡微分方程式，是在1755年由欧拉（Euler）首先推导出来的，所以又称欧拉平衡微分方程式此方程的物理意义是：在静止流体中，某点单位质量流体的质量力与静压强的合力相平衡在推导这个方程中，除了假设是静止流体以外，其他参数(质量力和密度) 均未作任何限制，所以该方程组的适用范围是：静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体X,Y,Z为单位质量力在各方向上的分力把上式两边分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得 流体静压强是空间坐标的连续函数，即 ，它的全微分为 所以 此式称为压强差公式。

它表明：在静止流体中，空间点的坐标增量为dx、dy、dz时，相应的流体静压强增加dp，压强的增量取决于质量力 二、流体平衡条件二、流体平衡条件 对于不可压缩均质流体，密度ρ＝常数，可将平衡方程写成 上式左边是一个全微分，右边也是某一函数的全微分，令势数为W（x，y，z.），则W的全微分为：则有： 有势函数存在的力称为有势的力，由此得到一个重要的结论：只有在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件  三、等压面三、等压面 在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面 1.等压面方程 2. 等压面特性§① 等压面就是等势面§② 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面§③ 等压面不能相交§④ 绝对静止流体的等压面是水平面§⑤ 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面结论：结论：同一种静止相连通的流体的等压面必是水平面（只有重力作用下）自由表面、不同流体的交界面都是等压面。

 下下面面以以流流体体平平衡衡微微分分方方程程式式为为基基础础，，讨讨论论质质量量力力除除重重力力外外，，还还有有牵牵连连惯惯性性力力同同时时作作用用的的液液体体平平衡衡规规律律在在这这种种情情况况下下，，液液体体相相对对于于地地球球虽虽然然是是运运动动的的，，但但液液体体质质点点之之间间、、质质点点与与器器壁壁之之间间都都没没有有相相对对运运动动，，所所以以这这种种运运动称为相对平衡现讨论以下两种相对平衡动称为相对平衡现讨论以下两种相对平衡 一、直线等加速器皿中液体的相对平衡一、直线等加速器皿中液体的相对平衡 如如后后图图，，盛盛有有液液体体的的容容器器在在与与水水平平面面成成αα角角的的斜斜面面由由上上向向下下作作匀匀加加速速直直线线运运动动，，加加速速度度为为a a当当αα为为零零时时，，显显然然液液面面为为水水平平面面设设加加速速度度为为a a时时液液面面与与水水平平面面成成ββ角角倾斜设定倾斜设定xozxoz坐标，坐标原点取在自由液面的坐标，坐标原点取在自由液面的§2-9 重力和惯性力作用下液体的重力和惯性力作用下液体的相对平衡相对平衡 中点。

相对于此运动坐标系来说，单位质量液体所受的质中点相对于此运动坐标系来说，单位质量液体所受的质量力有两个：一是垂直向下的单位质量重力量力有两个：一是垂直向下的单位质量重力 ，另一是与，另一是与加速度反向的单位质量惯性力加速度反向的单位质量惯性力 单位质量力的三个坐单位质量力的三个坐标方向上的分量标方向上的分量 由等压面方程由等压面方程 有有 将上式积分可得匀加速直线运动时的等压面方程将上式积分可得匀加速直线运动时的等压面方程 这是一族平行平面，它们对水平面的倾角这是一族平行平面，它们对水平面的倾角 显显然然，，自自由由表表面面还还是是等等压压面面，，自自由由表表面面上上的的z z坐坐标标用用z zs s表表示示，，按按自自由由表表面面的的边边界界条条件件x=0x=0，，z=0z=0，，定定出出积积分分常常数数c=0c=0，故自由表面方程应是，故自由表面方程应是 或或 直线匀加速的相对平衡液体的压强分布规律依然可由等直线匀加速的相对平衡液体的压强分布规律依然可由等压面微分方程压面微分方程 积分得出积分得出 积分常数可由边界条件积分常数可由边界条件x=0x=0，，z=0z=0处处p=pp=p0 0得出得出 于是于是 为计压点在倾斜自由液面下的淹没深度。

为计压点在倾斜自由液面下的淹没深度 例例题题：：容容器器内内盛盛有有液液体体垂垂直直向向下下作作a a＝＝4.9035m/s24.9035m/s2的的加加速速运动，试求此时的自由表面方程和液体的压强分布规律运动，试求此时的自由表面方程和液体的压强分布规律 解：自由表面方程由解：自由表面方程由 得出得出 现现在在 ，，说说明明自自由由表表面面依依然然是是水水平面压强分布规律则由平面压强分布规律则由 可可得得出出，，现现由由于于 ，，并并在在本本情况中情况中 ，故，故 二、等角速旋转器皿中液体的相对平衡二、等角速旋转器皿中液体的相对平衡 如如图图，，盛盛有有液液体体的的直直立立圆圆柱柱筒筒绕绕其其中中心心轴轴以以等等角角速速度度ωω旋旋转转，，由由于于液液体体的的粘粘性性，，使使筒筒内内液液体体都都以以等等角角速速度度ωω旋旋转转，，此此时时液液体体的的自自由由表表面面已已由由平平面面变变为为旋旋转转抛抛物物面面。

下下面面推推导导这这种种以以等等角角速速度度旋旋转转的的相相对对平平衡衡情情况况的的等等压压面面方方程程和和压强分布规律压强分布规律 取与筒一起等角速旋转的运动取与筒一起等角速旋转的运动 坐标系，坐标系，z z轴垂直向上，坐标原点轴垂直向上，坐标原点 取在新自由表面旋转抛物面的顶点取在新自由表面旋转抛物面的顶点 上此时流体所受的质量力亦是两上此时流体所受的质量力亦是两 个：一是重力，铅垂向下；另一是个：一是重力，铅垂向下；另一是 离心惯性力，与离心惯性力，与r r轴方向一致轴方向一致 单位质量力在直角坐标轴上的三个分量单位质量力在直角坐标轴上的三个分量 代入欧拉平衡微分方程综合式代入欧拉平衡微分方程综合式 积分得积分得 由由x=0x=0，，y=0y=0，，z=0z=0处处p=pp=p0 0得得c=pc=p0 0，代入上式整理得，代入上式整理得 这就是等角速旋转的直立容器中，液体相对平衡时压强分这就是等角速旋转的直立容器中，液体相对平衡时压强分布的一般表达式布的一般表达式 自由表面是一个等压面，自由表面是一个等压面，p=pp=p0 0=p=pa a=0=0，并将新自由表，并将新自由表面的面的z z坐标用坐标用z zs s表示，则自由表面方程为表示，则自由表面方程为 设设p p为任一常数为任一常数c c1 1，可得各等压面方程为，可得各等压面方程为 可见，等压面族是一组以圆筒为中心轴为旋转轴的旋转可见，等压面族是一组以圆筒为中心轴为旋转轴的旋转抛物面。

抛物面 本章的部分习题本章的部分习题2－－15．如图，．如图， ，上部油深，上部油深h＝＝1m，，下部水深下部水深h1＝＝2m，，求：单位宽度上得静压力及其作用点求：单位宽度上得静压力及其作用点解：解：作用点：作用点：合力合力2-18. 某某 处处 设设 置置 安安 全全 闸闸 门门 如如 图图 所所 示，示， 闸闸 门门 宽宽 b= 0.6m，， 高高 h1= 1m，， 铰铰 接接 装装 置置 于于 距距 离离 底底 h2= 0.4m，， 闸闸 门门 可可 绕绕 A 点点 转转 动，动， 求求 闸闸 门门 自自 动动 打打 开开 的的 水水 深深 h 为为 多多 少少 米解：当 时， 闸 门 自 动 开 启 将 代 入 上 述 不 等 式 得 2-212-21 画画 出出 图图 中中 圆圆 柱柱 曲曲 面面 上上 的的 压压 力力 体，体， 并并 标标 明明 方方 向。