第4章线性系统的时域分析.ppt

系统分析: 在已知系统的开环传函G(s)或闭环传函Φ(s)及参数的基础上,分析某种输入R(s)作用下C(s)的输出的运动规律 分析方法: 时域分析法 以“t”为变量 （第四章） 根轨迹法 以“s”为变量作图方法（第五章） 频域分析法 以“ω”为变量 （第章）,第4章 线性系统的时域分析 Transient-Response Analysis of Linear System,本章主要内容及难点 典型输入信号和时域性能指标 一阶系统的时域响应分析 ★二阶系统的时域响应分析 高阶系统的时域分析 ★控制系统的稳定性分析 ★控制系统的稳态误差 小结,4.1典型输入信号和时域性能指标4.1.1 典型输入信号,1．阶跃函数（Step function） 阶跃函数的定义是：,Typical test signals,幅值为1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图3-1所示图3-1 单位阶跃函数,它表示为：,单位阶跃函数的拉氏变换为：,2．斜坡函数 （Ramp function） 这种函数的定义是：,,,该函数的拉氏变换是：,3．抛物线函数 (Accele'ration function) æ ə 这种函数的定义是： 该函数的拉氏变换是,图3-3 抛物线函数,4．脉冲函数（Impulse function）,这种函数的定义是： 这种函数的拉氏变换是：,图 单位脉冲函数,,⑤正弦函数（Sinusoidal function） ai ә,,,4.1.2 控制系统的时域性能指标 时域响应： 1.动态过程: 动态过程又称为过渡过程,指系统在典型输入信号作用下,系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。

2.稳态过程: 稳态过程也称为系统的稳态响应，指系统在典型输入信号作用，当时间t趋于无穷大时系统的输出状态动态性能指标: 描述稳定的系统在单位阶跃函数的作用下,动态过程随时间t的变化状况的指标也称为自动控制系统的时域指标) 稳态性能指标： 稳态性能指标是表征系统控制准确性的性能指标一般用稳态误差及误差系数来描述动态性能指标,调节时间 ： （Settling Time） 响应曲线达到并永远保持在稳态值的 ±5%内所需的最短时间⑤超调量 ： （Maximum Overshoot） 指响应的最大偏离量c(tp)与终值c(∞)之差的百分比，即 延迟时间、上升时间和峰值时间，均表征系统响应初始段的快慢； 调节时间 表示系统过渡过程持续的时间，是体现系统响应总体快速性的一个指标 ； 超调量反应系统响应过程的平稳性4.2 一阶系统的时域响应分析 4.2.1一阶系统的数学模型,,,,,用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统 如图所示的RC电路，其微分方程为,,,4.2.2一阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of First-order System,因为单位阶跃输入的拉氏变换为： 可得 ： 取C(s)的拉氏反变换，可得单位阶跃响应 ：,,,,,,,,,显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始 ，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图所示。

响 应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应 图一阶系统的单位阶跃响应,,4.2.3 一阶系统的单位斜坡响应 Unit-ramp Response of first-order Systems,,,,,,,当 时,响应为:,,对上式求拉氏反变换，得：,,,,,,,,,4.2.4 一阶系统的单位脉冲响应 Unit-impulse response of first-order systems,,当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即,一阶系统的单位脉冲响应只包含瞬态分量 ，响应曲线为一单调下降的指数曲线,,3.2.4 一阶系统的单位加速度响应,,,,,,,,上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪表3-1 一阶系统对典型输入信号的响应,,,,,,,,,,,微 分 ,微 分 ,等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定4.3二阶系统的时域响应分析,二阶系统：凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统 4.3.1 二阶系统的数学模型,－自然频率（或无阻尼振荡频率）,－阻尼比 （相对阻尼系数）,分析系统动态性能,关键抓住闭环系统极点,D(S)有两个正实部的特征根 发散,闭环极点为一对具有负实部的共扼复根 位于左半S平面，欠阻尼系统,D(S)有为两个相等的负实根,,,，D(S)有一对纯虚根，瞬态响应变为等幅振荡,，D(S)有两个不相等的负实根,,,特征方程的根为：,一．欠阻尼（ ）的情况,令,－衰减系数,－阻尼振荡频率,则有：,4.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,,,,,,,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线,二．临界阻尼（=1）的情况,,,,系统的特征方程式的根为：,,,,,临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线,三、过阻尼,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线,四．无阻尼（=0）的情况,,,,特征方程式的根为： 二阶系统的暂态响应为 ：,,,,图无阻尼二阶系统的单位阶跃响应,,,图以参变量的二阶系统单位阶跃响应,,4.3.3 欠阻尼二阶系统的动态性能指标计算,,,,1．上升时间tr ： 在暂态过程中c(t)从零开始,第一次跟上输入r(t)对应的时间称为上升时间tr。

其计算公式为：,,,,由上式可以看出 和n对上升时间的影响 当n一定时，阻尼比越大，则上升时间tr越长； 当 一定时，n越大，则tr越短c(t)从零开始,达到第一个峰值对应的时间3．最大超调量  %,从上式知，二阶系统的最大超调量与值 有密切的关系，阻尼比 越小，超调量越大当:,,,,4．调节时间ts,调节时间 ts 是 从0开始,达到并保持在稳态值 允许误差范围内（一般取5%~2%）对应最短时间 调节时间 ts 近似与 成反比关系在设计 系统时，通常由要求的最大调节量所决定，而调 节时间ts由自然振荡角频率 所决定也就是 说，在不改变超调量的条件下，通过改变 的 值可以改变调节时间复习,,,,,欠阻尼二阶系统的动态过程分析,复 习 一、 典型输入信号和时域性能指标,1．阶跃函数（Step function）,2．斜坡函数 （Ramp function） 这种函数的定义是：,,,该函数的拉氏变换是：,3．抛物线函数 (Accele'ration function) æ ə 这种函数的定义是： 该函数的拉氏变换是,4．脉冲函数（Impulse function）,这种函数的定义是： 这种函数的拉氏变换是：,图 单位脉冲函数,,⑤正弦函数（Sinusoidal function） ai ә,,,二 动态性能指标,1．上升时间tr ：,,,,,,3．最大超调量  %,,,,4．调节时间ts,三、 二阶系统的时域响应分析,特征方程的根为：,一．欠阻尼（ ）的情况,,,,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线,二．临界阻尼（=1）的情况,,,系统的特征方程式的根为：,三、过阻尼,,,,,,,,,,,,过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线,四．无阻尼（=0）的情况,,,,特征方程式的根为：,,,图以参变量的二阶系统单位阶跃响应,,4.3.6 二阶系统性能的改善,对于特定的系统，位置控制系统(随动系统)其闭环 传递函数,,,图 PD控制系统,,,改善二阶系统动态性能的办法比例－微分控制 测速反馈控制,,,,称为开环增益,若令:z=1/Td,闭环传递函数为,,式中:,,令,,,,,当输入为单位阶跃函数时,,取拉氏反变换得,,,,,,式中:,,,,,,系统的开环传递函数,式中开环增益为:,,,结论,例设一随动系统如图3-19所示，要求系统的超调量为0.2， 峰值时间 ，求①求增益K和速度反馈系数 。

②根 据所求的,,,解：,①,,,,,,,,,系统的闭环传递函数,,,②,3.4 高阶系统的时域分析,高阶系统的闭环传递函数可表示为如下普通形式 将分子和分母分解成因式，上式可写成 式中 ——系统闭环传递函数的零点； ——系统闭环传递函数的极点,将式（3-47）用部分分式展开，得,单位阶跃响应为,从分析高阶系统单位阶跃响应表达式还可以得出如下结论 （1）系统闭环传递函数极点的实部在s平面左侧离虚轴越 远，则相应的分量衰减越快反之，系统闭环极点的实部 越小，即在s平面左侧离虚轴越近，则相应的分量衰减越 慢2）如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部小于 其它极点的实部的1/5，并且附近不存在零点，可 以认为系统的暂态响应主要由这一极点决定这些 对暂态响应起主导作用的闭环极点，叫作主导极点， 是所有闭环极点中最重要的极点 （3） 在设计一个高阶控制系统时，我们常常利用主导极 点这一概念选择系统参数，使系统具有一对共轭复 数主导极点，这样就可以近似地用一阶或二阶系统 的指标来设计系统 (4) 闭环极点均位于S左半平面的系统，称为稳定系统,4.5 控制系统的稳定性分析,4.5.1稳定的概念,稳定性定义: 设系统处于某一起始的平衡状态，在扰动量的影响下，偏离了原来的平衡状态，产生偏差，而当扰动消失之后，系统又能够逐渐恢复到原来的起始平衡状态，则称系统是稳定的。

若扰动消失后，系统不能恢复原来的平衡状态，甚至偏差越来越大，则称系统是不稳定的4.5.2线性定常系统稳定的充分必要条件 线性系统稳定的充分必要条件是： 闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，系 统的全部闭环极点均严格位于左半s平面 本节叙述的代数判据（劳斯判椐）就是不用直接求解代 数方程，就可判断一个代数多项式有几个极点位于复平面的 右半面的方法4.5.3劳思稳定判据,首先将系统的特征方程式写成如下标准形式,将各项系数，按下面的格式排成劳斯表,劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化， 去判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：,如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定Routh判据：,例 已知系统框图如图所示，确定使系统稳定的K的取值范围 解：闭环传递函数和特征方程为,列劳斯表：,由劳思稳定判据得： 求得K的取值范围是,,已知一单位反馈控制系统如图所示，试回答,例4-3,,,图3-21单位反馈控制系统方块图,,,,时，闭环系统的特征方程为,排劳斯表,第一列均为正值，S全部位于左半平面，故,解：,系统稳定,,,开环传递函数,闭环特征方程为,列劳斯表,,未完待续,,,,,,,,,,利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。

欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值,,,,,,,,①,②,③,1、劳思表中某行的第一列元素为零，其他列元素不为零或不全为零 那么可以用因式(s+a)乘以原特征方程，其中a为任意正 数，再对新特征方程应用劳斯稳定判据 例如，方程 列劳斯表得： 用(s+3)乘以原特征方程,得新特征方程为：,,,二、劳思稳定判据的特殊情况 ：,,,列劳斯表得：,∵第一列有两次符号变化，故系统不稳定，且有两个正实部根,2、劳思表中出现全零行,如果在劳斯表的某一行中，所有元都等于0，则表明 系统存在大小相等、符号相反的实根，或一对共轭纯虚 根，或者是对。