抛物线与三角形的面积.doc

抛物线与三角形的面积抛物线与三角形面积相结合的问题涉及代数、几何的许多定理、公式，有一定的难度，近年来的中考试题中，经常出现抛物线与三角形面积结合的综合题，以考查学生的综合运用所学知识解决问题的能力这节课我们共同来探索一下顶点都在抛物线上的三角形面积的求法1、已知抛物线: (1)求抛物线与坐标轴交点坐标及顶点坐标;(2)画出抛物线的草图; (3)设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，顶点为D求：①△DAB和△CAB的面积； ②四边形ABCD的面积；③ △ACD的面积(4)求直线AC的解析式；（5）抛物线上有一动点P在直线AC上方，问：是否存在一点P，使△PAC的面积最大，若存在，求出△PAC的最大面积及P点坐标；若不存在，请说明理由2、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.练习：1、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． （1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ ABCMNP图 1O（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ABCMND图 2OABCMNP图 3O2、如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标． 图13、(2011漳州中考题)如图1，抛物线y=mx2-1lmx+24m(m<0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=900． (1)填空：OB=________，）OC=________； (2)连结OA，将△OAC沿x轴翻折后得到△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式； (3)如图2，设垂直于x轴的直线：x=n与(2)中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值。

参考答案（1）解：当x=0时，y=2∴抛物线与y轴交点坐标为（0，2）当y=0时，解得：∴抛物线与x轴交点坐标为∵ ∴抛物线的顶点坐标为（3）解：①（4）解：设直线AC的解析式为， ∵直线AC经过，∴可求得解析式为（5）过P作PE//y轴，交直线AC于点E；设P、E的坐标分别当面积最大时点D坐标为2、解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代中得……………………（2分）∴……………………（3分） ∴抛物线解析式为： (2)存在 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称 ∴直线BC与的交点即为Q点， 此时△AQC周长最小 ∵ ∴C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为： Q点坐标即为的解 ∴ ∴Q(－1，2)（3）答：存在 理由如下： 设P点 ∵ 若有最大值，则就最大， ∴ ＝ ＝ 当时，最大值＝ ∴最大＝ 当时， ∴点P坐标为练习：1、解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． ABCMNP图 1O ∴ △AMN ∽ △ABC．∴ ，即．∴ AN＝x． ……………2分∴ =．（0＜＜4） ………………3分ABCMND图 2OQ（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．在Rt△ABC中，BC ＝=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC． ∴ ，即． ∴ ，∴ ． …………………5分过M点作MQ⊥BC 于Q，则． 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴ △BMQ∽△BCA．∴ ．∴ ，． ∴ x＝． ∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………………7分ABCMNP图 3O（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．∴ △AMO ∽ △ABP． ∴ ． AM＝MB＝2． 故以下分两种情况讨论： ① 当0＜≤2时，． ∴ 当＝2时， …………………………………………8分② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．ABCMNP图 4OEF∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC， ∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x． ∴ ． 又△PEF ∽ △ACB． ∴ ．∴ ． ……………………………………………………… 9分＝．……………………10分当2＜＜4时，． ∴ 当时，满足2＜＜4，． ……………………………11分综上所述，当时，值最大，最大值是2． ……………………………12分2、（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，－2），解得．所以抛物线的解析式为：．（2）设点P的坐标为．①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，，．如果，那么．解得不合题意．如果，那么．解得．点P的坐标为（2，1）．②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，，．解方程，得．此时点P的坐标为．解方程，得不合题意．③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．解方程，得．此时点P的坐标为．解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或． 图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为．所以．因此．当时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）． 图5 图63、解：(1)OB=3，OC=8………………………………………………………………………4分 (2)连结AD，交OC于点E ∵四边形OACD是菱形 ∴AD⊥OC，OE=EC=×8=4 ∴BE=4—3=1 又∵∠BAC=900 ∴△ACE～△BAE ∴ ∴AE2=BE·CE=1×4∴AE=2… ………………………………………………………………………6分 ∴点A的坐标为(4，2)…………………………………………………………7分 把点A的坐标(4，2)代人抛物线y=mx2-llmx+24m，得m=- ∴抛物线的解析式为y=-x2+x-12………………………………………9分(3) ∵直线x=n与抛物线交于点M∴点M的坐标为(n，-n2+n-12)由(2)知，点D的坐标为(4，-2)，由C、D两点坐标求得直线CD的解析式为y=x-4∴点N坐标为(n，n-4)．∴MN=(-n2+n-12)一(n-4)=-n2 +5n-8……………………………………………………………11分∴S四边形AMCN=S△AMN +S△CMN=MN·CE =(-n2+5n-8) ·4 =-(n-5)2+9 …………………………………………………13分 ∴当n=5时，S四边形AMCN最大值 =9 …………………………………………14分 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 。