2014年全国高考理科数学试题分类汇编(word解析版可编辑)(十)圆锥曲线(逐题详解).doc

2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版) 十、圆锥曲线（逐题详解） 第I部分 1.【2014年重庆卷（理08）】设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.3【答案】B【解析】由于，所以分解因式得所以离心率，选择2.【2014年福建卷（理09）】设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　）　A．5B．+C．7+D．6【答案】D【解析】设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点与圆心的距离为=≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D3.【2014年辽宁卷（理10）】已知点在抛物线C：的准线上，学 科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即 m=2m，解得=2（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为，故选D4.【2014年全国大纲卷（06）】已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵△AF1B的周长为4，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A5.【2014年全国大纲卷（09）】已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ ） A． B． C． D．【答案】A【解析】∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠ AF2F1=== ，故选：A6.【2014年山东卷（理10）】已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（A）（B）（C）（D） 【答案】A【解析】7.【2014年四川卷（理10）】已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是A． B． C． D．【答案】B【解析】方法1：设直线AB的方程为：，点，，又，直线AB与 轴的交点（不妨假设）由，所以又因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故于是当且仅当时取“” 所以与面积之和的最小值是方法2：8.【2014年天津卷（理05）】已知双曲线，的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝2.∵双曲线的左焦点(－c，0)在直线l上，∴0＝－2c＋10，∴c＝5.又∵a2＋b2＝c2，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为－＝1.9.【2014年全国新课标Ⅰ（理04）】已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为. .3 . .【答案】：A【解析】：由：，得，设，一条渐近线，即，则点到的一条渐近线的距离=，选A. .10.【2014年全国新课标Ⅰ（理10）】已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=. . .3 .2【答案】：C【解析】：过Q作QM⊥直线L于M，∵∴，又，∴，由抛物线定义知11.【2014年全国新课标Ⅱ（理10）】设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】 D【解析】12.【2014年广东卷（理04）】若实数k满足则曲线与曲线的A．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 　 D.焦距相等【答案】D【解析】∵，∴，，∴曲线与均是双曲线，且==，即焦距相等.故选D.13.【2014年湖北卷（理09）】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A. B. C.3 D.2【答案】 A【解析】 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为（），半焦距为，由椭圆、双曲线的定义得，，所以，，因为，由余弦定理得，所以，即，所以，利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为. 第II部分 14.【2014年上海卷（理03）】若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .【答案】【解析】：椭圆右焦点为，即抛物线焦点，所以准线方程15.【2014年上海卷（理14）】 已知曲线，直线. 若对于点，存在上的点和 上的使得，则的取值范围为 .【答案】【解析】：根据题意，是中点，即，∵，∴16.【2014年浙江卷（理16）】设直线与双曲线两条渐近线分别交于点、，若点，满足，则该双曲线的离心率是__________.【答案】【解析】双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：17.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 【答案】【解析】18.【2014年北京卷（理11）】设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________.【答案】 y=±2x【解析】与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：，y=±2x19.【2014年安徽卷（理14）】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为____________．【答案】【解析】设，由轴得，又由得代入椭圆得，将代入得20.【2014年湖南卷（理15）】如图4，正方形和正方形的边长分别为. 原点为的中点，抛物线经过、两点，则________.【答案】【解析】由题可得,则,故填.21.【2014年辽宁卷（理15）】已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 . 【答案】12【解析】如图：MN的中点为Q，易得，，∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12． 第III部分22.【2014年陕西卷（理20）】（本小题满分13分）如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.（1） 求的值；（2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.解 （I）在C1,C2 的方程中，令y=0，可得b=1，且A（- 1 ，0），B(1，0)是上班椭圆C1的左右顶点。

设C1 的半焦距为C，由得a=2. a=2，b=1.（II）解法一 由（I）知，上半椭圆C1 方程为易知，直线与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=代入C1的方程，整理得 （*）设点p的坐标为（xp，yp）， 直线过点B， x=1是方程（*）的一个根 .由求根公式，得 xp= 点P的坐标为（）.同理，由得点的的坐标为（- k - 1，- k2 - 2k ）. AP, .经检验，符合题意，故直线的方程为解法二 若设直线的方程为，比照解法一部分23.【2014年重庆卷（理21）】如下图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.（1） 求该椭圆的标准方程；（2） 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..解：（1）设，代入椭圆方程中求出，故，而由已知：，联立解出即，联立解出所以椭圆的标准方程为（2） 由于所求圆的圆心在轴上，故圆和椭圆的两个交点关于轴对称，从而经过点所作的切线也关于轴对称，如下图所示当切线互相垂直时，设两条切线交于点，则恰好形成一个边长为正方形其中表示圆的半径，由几何关系，，因为所以， 故所求圆的半径为24.【2014年安徽卷（理19）】（本小题满分13分）如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线和，与分别交于两点，与分别交于两点．（Ⅰ）证明：； 第（19）题图（Ⅱ）过原点作直线（异于，）与分别交于两点．记与 的面积分别为与，求的值．【解析】（Ⅰ）由题意知直线和的斜率都存在且非零，设，联立的方程得 设，同理可得 ∵ ∴ 由此证得：（Ⅱ）由（Ⅰ）同理可证得：∴与中，，∴∽， ∴25.【2014年福建卷（理19）】已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．　解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2． 所以=2．故c=a，从而双曲线E的离心率e==．（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1．设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=8，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1。