实验引入_椭圆_的五类方法及其有效性分析.pdf

活动特点， 可以更加放手让学生主动学习． 例如我们可以设计折纸操作研究折叠问题、 抛硬币试验揭示概率的含义等， 还可以设计信息技术环境下的数学实验操作活动， 让学生经历猜想、 证明、 发现的过程．这种数学活动对培养学生的数学兴趣、 动手操作技能、 探索问题能力发挥着积极的作用， 今后仍需在实践中进一步探索．参考文献:［ 1］ 马文杰， 鲍建生． 论 “数学活动经验” 的基本特征［J］ ．数学通报， 2013( 9) ．［ 2］ 路海东． 教育心理学［M］ ． 长春: 东北师范大学出版社， 2007 年 1 月．［ 3］ 曾宪春． 由一道 “操作题” 引起的数学实验［ J］ ． 数学通报， 2013( 6) ．( 收稿日期: 2013 －11 －25)实验引入 “椭圆” 的五类方法及其有效性分析郑 观 宝( 安徽省歙县中学， 245200)1引言新课程改革的目标之一就是提高课堂教学的有效性， 即开展有效教学． 新课程理念强调: 对概念、 定义等的有效教学应该“创设问题情景、 引导学生开展探究活动等” ． 这是因为精彩的引入可以为学习新课创设丰富的教学情境， 激发学生的学习兴趣， 是开展有效教学的第一步．新课引入的方法很多， 通过“数学实验” 引入新课， 是新课程改革逐步深入的产物， 是高中数学教学中最为常用的新课引入法．所谓数学实验， 通常是指根据实际教学内容， 借助现代教学技术( 主要手段) ， 创设或模拟某种数学环境， 通过思考和操作活动， 研究数学现象的本质和发现数学规律的过程． 数学实验引入新课的通常步骤是: ( 1) 在教师的引导下， 根据学生的认知水平和实际教学目标， 提出某个猜想或某种理论; ( 2) 开展数学实验进行验证; ( 3) 总结实验结果， 直到肯定或否定猜想; ( 4) 建构新知识、 新方法等．2教学案例— — —实验法引入 “椭圆”人教 A 版 《高中数学》 选修 2 －2《圆锥曲线》 中“椭圆概念” 的引入方法很多， 下面着重介绍通过利用 《几何画板》 软件开展数学实验引入椭圆概念的方法．2． 1利用 “到两定点距离之和为定值” 引入 “椭圆”实验一— — —多媒体演示课本实验( 1)以定点 F1， F2为焦点画两个椭圆， 在这两个椭圆和线段 F1F2上各取动点 P， 再将两个椭圆隐藏; ( 2) 设置 “追踪点 P( 三个) 的轨迹” 、 设置“生成点 P 的动画” ( 如图 1) ． ( 此课件作法不宜向学生公开)图 1 演示 1:动点 P 具有什么性质?画出的曲线是什么?从而引出椭圆的定义( 如图 1) ．说明: ( 1) 教学实践发现， 教师无法单独在黑板上演示课本给出的实验( 因为两个图钉无法固定在黑板上) ， 至少需要两个学生帮忙， 实验中， 不易将椭圆画完整， 并且动态过程保留的时间较短， 影响学生观察和总结; ( 2) 上述实验有很强的直观性， 其动态感、 真实程度都非常高， 可以重复多次， 有利于学生发现点 P 的特性．2． 2利用 《直线和圆》 的知识引入椭圆的定义解析几何中 《椭圆》 前一章的教学内容是《直线与圆》 ， 因此， 利用直线与圆、 圆与圆的位置关系开82数学通讯 — 2014 年第 3 期 ( 下半月)·教学参考·展实验， 符合学生的认知规律．实验二— — —利用相交两圆的位置关系开展实验图 2(1 )先 请 学 生观察图 2，设点 Q 为定线段 AB上一动点， 作矩形 AQMF1和平行四边形 BQF2N， 故|F1M| + | F2N | = | AQ | + | BQ | = | AB | ＞ |AC| =|F1F2|;( 2)分别以 F1， F2为圆心， 以 F1M， F2N 为半径画圆， 设交点为 P， 设置“追踪点 P 的轨迹” ( 如图 3) ;图 3 说明: 此时 |PF1| + |PF2| = |F1M| + |F2N| =|AB|为定值．( 3)设置“生成点 Q 的动画” ．说明: 虽然实验二与实验一本质相同， 但它的精彩之处有三:( 1)当点 P 逐渐向点 C 靠近时， 椭圆会逐渐扁平; 当点 B 与点 C 重合时， 两动圆相切于线段 F1F2上一点 P， 可以看到点 P 的轨迹是线段 F1F2; 当点 B移到线段 AC 内部时， 两动圆相离， 没有交点， 即动点 P 没有轨迹;( 2)建立坐标系求椭圆标准方程时， 比课本实验法简便了许多: 两动圆交点的公共点为 P( x， y) ，则( x + c)2+ y2= r2， ( x － c)2+ y2= ( 2a － r)2， 两式相减得 r =4cx +4a2 4a， 代入圆的方程并化简得x2 a2+y2 a2－ c2=1．( 3)将 r =4cx +4a2 4a代入第一个方程得( x + c)2+ y槡2=c a［ x － (－a2 c) ］ ，于是( x + c)2+ y槡2x － (－a2 c)=c a， 即动点 P 到定点 F1的距离与它到定直线 x = －a2 c的距离之比为小于 1的定值c a． 这正是椭圆的第二定义!实验三— — —利用直线与圆的位置关系开展实验图 4( 1)设点 F1， F2均在半径为 2a 的⊙F2内部， 且|F1F2| =2c;( 2)在 ⊙F2上任取一点 Q， 作线段 F1Q的中垂线交 F2Q 于 P点;( 3)设置“追踪点P 的轨迹 ” 、 “生成点 Q 的动画” ( 如图 4) ．2． 3利用椭圆的第二定义开展实验实验四( 1)如图 5， 在坐标平面上作线段 MN⊥l1， 在 l1上取一定点 Ｒ， 并显示其纵坐标( 如 yＲ=1． 98) ;图 5 ( 2)段 MN 上取一动点 Q， 过点 Q 作直线MN 的垂线 l， 并度量线段 MQ 的长度、 计算|MQ| yＲ;( 3)以 F 为圆心，|MQ| yＲ为半径作圆， 设该圆与垂线 l 的交点为 P， 设置 “追踪点 P 的轨迹” ;( 4)设置“生成点 Q 的动画” ．说明: ( 1) 从实验可以发现， 动点 P 是直线 l 与圆 F 的交点． 设点 P 到直线 l1的距离为 d， 则|PF| d=|MQ| yＲ÷ |MQ| =1 yＲ( 定值) ;( 2)上述实验产生的椭圆的离心率为 e =1 yＲ92·教学参考·数学通讯 — 2014 年第 3 期 ( 下半月)( yＲ＞1) ， 因此， 不断调整 Ｒ 点的位置， 可以得到不同离心率的椭圆， 不仅如此， 还可以得到抛物线和双曲线．2． 4利用生产实践中椭圆形成的过程开展实验实验五— — —利用矩形白纸开展实验( 1)将矩形白纸 ABCD 的边 BC、 CD 各 n 等分( 如八等份) ， 设边 BC 上分点自下而上为 P1， P2，…， P7， 边 CD 上的分点自右往左为 Q1， Q2， …， Q7;图 6( 2)将矩形白纸分别沿 DP1， DP2， …， DP7，BQ1，BQ2，…，BQ7对折;( 3)找到折痕 DPi，BQi( i = 1， 2， …， 7) 的交点， 并用光滑曲线连接这些点( 如图 6) ．说明: 实验六是每位学生都能做的实验， 不需要任何现代化工具， 只要一张白纸， 一把直尺即可．实验六— — —多媒体演示 “折纸” 实验图 7( 1 ) 如 图7， 在坐标平面内作矩形OACB， 在边 BC上任取一点 M，取边 AC 的中点Q;( 2 ) 过 点M 作直线 AB 的平行线， 交 AC 于点 N， 作点 N 关于点 Q 的对称点 N'， 连接 BN'、 AM， 设它们相交于点P;( 3)设置 “追踪点 P 的轨迹” 、 “生成点 M 的动画” ．说明: ( 1)由于 N、 N'关于边 AC 的中点 Q 对称， 则 CN = AN'， AN = CN'， 于是CMBM=CN AN=AN' CN'， 可见实验五、 实验六的工作原理是一样的． ( 2) 本实验的直观性比实验五强， 且更具一般性．实验七 — — —利用“椭圆规” 的工作原理开展实验( 1)在 x 轴上取关于原点对称的两点 A， A'， 使得|OA| = a， 在 y 轴上取关于原点对称的两点 B， B'，使得|OB'| = b ( a ＞ b) ;( 2)段 AA'任取一点 M， 以 M 为圆心， a － b为半径作圆， 设该圆与 y 轴相交于点 N， N';( 3)以 N 为圆心， a 为半径作圆， 与射线 NM 交于点 P， 以 N'为圆心， a 为半径作圆， 与射线N'M交于点 P';( 4)设置 “追踪点 P 和 P'的轨迹” 、 “生成点 M的动画” ( 这里图略， 参考人教 A 选修 4 －4《椭圆的参数方程》 ) ．说明: 从实验步骤可以看出 | NP | = a， | MP | =b， 且新画曲线是⊙N 与射线 NM 的交点的轨迹．实验八 — — —利用伸缩变换开展实验( 1)在与 x 轴垂直的直线上任意取一点 C， 并度量该点的纵坐标;( 2)在圆 x2+ y2= a2上任取一点 P， 度量该点的横纵坐标， 并计算成 yC·yA;( 3)绘制点 P( xA， yC·yA) ， 设置“追踪点 P 的轨迹” ， 设置“生成点 A 的动画” ( 如图 8) ．图 8 说明: 在实验中， 不断改变点 C 的位置， 可以得到伸缩不同程度的椭圆．2． 5其他引入椭圆的定义方法实验九 — — —用 “斜率乘积为定值” 开展实验( 1)如图 9， 在 x 轴上取一点 H， 过点 H 作 x 轴的垂线， 在此垂线上取一点 E， 并度量点 E 的纵坐标( 如 yE= －0． 61) ;( 2)在 x 轴上取一定点 A， 作点 A 关于原点 O的对称点 A'， 并度量这两点的横坐标;( 3)绘制函数 y =yE x的图象， 在此图象上任取一点 Q， 并度量点 Q 的横、 纵坐标;( 4)作直线 y = xQ( x － xA) ， y = yQ( x － xA') ， 设03数学通讯 — 2014 年第 3 期 ( 下半月)·教学参考·图 9 两直线相交于 P 点;( 5)设置 “追踪点 P 的轨迹” 、 “生成点 Q 的动画” ．说明: ( 1) 设计此实验的设想是: 由于圆上任意一点与圆的直径的两个端点连线的斜率之积为定值－1， 于是引导学生探究: 与两定点 A， A'的连线的斜率之积为其他定值的动点 P 的轨迹是什么?( 2)从上述实验发现 kPAkPA'= xQyQ= yE=－0． 61， 不断改变点 E 的位置， 可以得到不同的椭圆、 圆以及双曲线．关于 “椭圆” 引入的实验还有很多， 这里就不再赘述．3有效性分析与反思一般来说， 数学实验有: 验证式、 模拟实验式、 观察理解式、 探索建构式等类型． 实验引入“椭圆概念” 属于 “探索建构式” ， 即通过实验， 探究椭圆的定义， 建构椭圆总体知识架构． 上面给出的实验引入“椭圆概念” 的五类方法， 哪些更有效呢?第一类( 即实验一) 方法是现行教学中最为普遍的引入法， 它是通过实验， 引导学生发现新画曲线上的点到两定点距离之和为定值．从认识角度看， 学生是如何想到设计这样的实验?从知识形成上看， 这样的引入法给学生的错觉是 “椭圆是独立于《直线与圆》 之外” 的新知识的开端， 它割裂了“椭圆来源于圆” 的密不可分的关系，所以， 这样的引入法不一定有优质的学习效率． 另一方面， 这样的引入法对学生的认识可能会产生某些误差． 但它直接、 快速、 直观、 易发现核心题意等等， 综合而言， 这种引入的方法称得上是有效的教学方法．第二类( 即实验二、 实验三) 方法是根据新旧知识的联系引入新课， 本质上仍然是通过实验， 引导学生发现椭圆的第一定义． 这样的引入， 兼顾到了学生的知识结构特点、 认知水平、 新旧知识的联系等方方面面． 特别是在实验 2 中， 不妨在课堂上一步一步地给出该课件的制作过程， 通过对这个过程的理解， 学生很容易发现椭圆的第一定义， 此外， 建立椭圆的标准方程比第一类方法要简便。