行测概率问题详细总结.doc

概率论及应用数理统计基础概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性概率是随机事件发生的可能性的数量指标在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近就可以认为这个事件发生的概率为这个常数任何事件的概率值一定介于0和1之间有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”在客观世界中，存在大量的随机现象，其产生的结果构成了随机事件如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量随机变量分为有限和无限，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布如果随机变量是连续的，那么它有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，其分布曲线是有规律的，这就是正态分布正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。

平均值也叫数学期望，差异度也叫标准方差10.2.1  古典概率所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P(A)规定P(A)≥0，P(Ω) = ，而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：W1满足下列两条件的试验模型称为古典概型：（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N 10.5  （取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球3）一次取球：从袋中任取3个球在以上取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率W解：（1）有放回取球N = 8×8×8 = 83 = 512（袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等） （先从三个球里取两个白球，第一次取白球有5种情况，第二次取白球还有五种情况<注意是有放回>，第三次取黑球只有三种情况）， 6 =   = 336， ，故 ´ 7 ´ = 8 W（2）无放回取球N（3）一次取球， ，故 古典概率具有下面的性质。

B，则P(B -A)=P(BÌ  若Al )-P(A)即差的概率等于概率之差B，则P(A)≤P(B )即概率的单调性Ì  若Al  P(A)≤1，对任意事件A，P(l )=1-P(A)  对任意事件A，B，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)l10.6  设A，B，C为三个事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25，P(AB)=0，P(AC)=0，P(BC)=0.125，求A，B，C至少有一个发生的概率AB，故0≤P(ABC)≤P(AB)Ì解：由于ABC = 0，从而P(ABC) = 0所求概率为 P(BC)- P(AC) - P(AB) -C) = P(A) + P(B) + P(C) ÈBÈP(A + P(ABC)10.2.2  条件概率在实际问题中，常常需要计算在某个事件B已发生的条件下，另一个事件A发生的概率在概率论中，称此概率为事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率，简称为A对B的条件概率，记为P(A P(A)设A、B为两个事件，且P(B)¹| B)一般地，因为增加了“事件B已发生”的条件，所以P(A | B) > 0，则称 为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为 。

再看一下乘法公式：设有事件A和B，若P(A) > 0或P(B) > 0，由概率得P(AB) = 1)-P(A)P(B | A)，或P(AB) = P(B)P(A | B)再看n个事件的情况，设有n个事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An > 1)事实上，由事件的包含关系-0，则有P(A1A2…An) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2)P(An | A1A2…An 有P(A1)≥P(A1A2)≥P(A1A2A3)≥…..≥P(A1A2…An–1)＞0，故公式右边的每个条件概率都是有意义的，于是由条件概率定义可得10.7  甲、乙和丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定假设被抽的10个试题签中有4个难题签，按甲先、乙次及丙最后的次序抽签求甲抽到难题签、甲和乙都抽到难题签、甲没抽到难题签而乙抽到难题签及甲、乙和丙都抽到难题签的概率解：设A，B和C分别表示甲、乙和丙各抽到难题签的事件，则有，，，在概率中，还经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率为此，常需把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结果，这就需要用到全概率公式。

在很多实际问题中若事件A发生的概率的计算比较困难，则可利用全概率公式转为寻求划分B1，B2，…Bn及计算P(Bi)和P(A | Bi)的问题10.8  盒中有12只新乒乓球，每次比赛时取出3只，用后放回，求第3次比赛时取到的3只球都是新球的概率解：设A表示第3次比赛取到3只新球的事件，Bi (i = 0,1,2,3)表示第2次取到i只新球的事件，由 ， ，得 10.9  某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数    0.1    0.2    0.4    0.2    0.1概率    0    1    2    3    4现进行抽样检验，从每批中随机抽取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率解：设A表示一批产品通过检验的事件，Bi (i = 0,1,2,3,4)表示一批产品中含有i件次品，则由 ， ， ， ， ，， ， ，， ，得    10.2.3  贝叶斯公式的一个划分，且 ，则W的事件，B1，B2，…Bn为W设A为样本空间 这一公式称为贝叶斯公式若把A视为观察的“结果”，把B1，B2，…Bn理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并做出了“由果溯因”的推断。

10.10  设某工厂甲、乙和丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%和20%且各车间的次品律依次为4%，2%和5%现在从待出厂产品中检查出1个次品，问该产品是由哪个车间生产的可能性大？解：设A表示产品为次品的事件，B1，B2，B3分别表示产品有甲、乙和丙车间生产的事件，则由 ， ， ，， ， ，得 于是有      ；            ；             可知该产品是由甲车间生产的可能性最大10.2.4  事件的独立性及贝奴里实验设事件A，B满足 ，则称事件A，B是相互独立的若事件A，B相互独立，且 ，则有 ，在实际问题中，常常不是根据定义来判断事件的独立性，而是由独立性的实际含义，即一个事件发生并不影响另一个事件发生的概率来判断两事件的相互独立性假设在相同条件下进行n次重复试验，并且每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；同时在每次试验中，A发生的概率均一样，即 ；而各次试验是相互独立的，则称这种试验为贝努里概率模型，或称为n重贝努里试验在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发生的次数若 表示n重贝努里试验中A出现k(0≤k≤n)次的概率， ， ，则n重贝努里试验A中出现k次的概率计算公式为 ， 。

10.11  一大楼有5个同类型的独立供水设备，调查表明，在任意时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻，（1）恰有两个设备被使用的概率是多少？（2）至少有三个设备被使用的概率是多少？（3）至多有三个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？解：在同一时刻观察5个设备，它们工作与否是相互独立的，故可视为5重贝努里试验，p = 0.1，q = 1−0.1 = 0.9，于是可得（1） 10.2.5  离散型随机变量及其分布为了使各种不同性质的试验能以统一形式表示实验中的事件，并能将微积分等工具引进概率论，需引入随机变量的概念设试验的样本空间为Ω，在Ω上定义一个单值实函数X = X(e)，e∈Ω，对试验的每个结果e，X = X(e)有确定的值与之对应由于实验结果是随机的，所以X = X(e)的取值也是随机的，称此定义在样本空间 Ω上的单值实函数X = X(e)为一个随机变量引进随机变量后，试验中的每个事件便可以通过此随机变量取某个值或在某范围内取值来表示通俗地讲，随机变量就是依照试验结果而取值的变量如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，则称随机变量X为离散型随机变量。

下面看一下离散型随机变量的几个重要分布1．两点分布如果随机变量X为0时概率为q，为1时概率为p，并且q = 1 - p，0 < p < B(1,P)~1，则称X服从参数为p的(0-1)两点分布，简称为两点分布，记为X2．二项分布如果随机变量X的分布律为 ，k = 0, 1, 2…n，其中0 < p < 1，q = 1 − p，则称X服从参数为(n，p)的二项分布，记为X～B(n，p)10.12  一批产品的废品率为0.03，进行20次独立重复抽样，求出现废品的频率为0.1的概率解：令X表示20次独立重复抽样中出现的废品数X～B(20，0.03)（注意：不能用X表示频率，若X表示频率，则它就不服从二项分布），所求的概率为3．泊松分布如果随机变量X的分布律为P{X l= k} = ，k = 0，1，2，…其中 > )l(p0，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~ )lP(~或者X)且已知P{X = 1} = P{X = 2}，求P{X =l(p10.13  设X~ 4})，即X的分布律为P{X = k} = ，k = 0，1，2，…于是有 ， ，由P{X = 1} = P{X = 2}可得方程l(p解：由于X~ (2)于是p = 2，0（弃去）。

所以X~l2解得l = l，即2 查表0.090210.2.6  连续型随机变量及其分布所谓连续型随机变量是指此随机变量的可能取值至少应充满某个区间且其分布函数应当是连续的，设F(x)为随机变量X的分布函数，如果存在非负函数f (x)使得对任意实数X，有 ，则称X为连续型随机变量，f (x)为X的概率密度对于概率密度，有一个重要的结果： 10.14  一种电子管的使用寿命为X小时，其概率密度为 某仪器内装有三个这样电子管，试求使用150小时内只有一个电子管需要换的概率解：首先计算一个电子管使用寿命不超过150小时的概率，此概率为 ，令Y表示工作150小时内损坏的电子管数，则 ，服从二项分布于是，此仪器工作150小时内仅需要更换一个电子管的概率 1．均匀分布如果随机变量X的概率密度为 ，则称X在区间[a，b]上服从均匀分布，记为X~U[a，b]；其分布函数为 10.15  某公共汽车从上午7：00起每隔15分钟有一趟班车经过某车站，即7：00，7：15，7：30，…时刻有班车到达此车站，如果某乘客是在7：00至7：30间等可能地到达此车站候车，问他等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率。