考研数学二（矩阵的特征值和特征向量、二次型）历年真题试卷汇编1.doc

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量、二次型）历年真题控制面板 全部题型1.选择题2.填空题3.解答题试卷 满分:150分选择题试题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求24答题 180 时 分 限：钟剩余时间:调整字 号：C.D.0九1=0九2 =12 14 16 1820正确答案：B解析：由砧纨2及特征值的性质知血，血线性无关.显然，向量组仙，A（a1+«2）} = {«p XjO 入2，«2）.当兀2刮时，它线性无关，当入2 = 0时，它线性相关，故＜X[, A（＜X] + （Z2）线性无关调整背 景：2. （2010年）设A为4阶实对称矩阵，且A2+A = 0.若A的秩为3,则A相似于 【】11」 ojrlB.OJ量:1・（2005年）设入入2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a” a2,则g A（a】+ot2）线, 【1_1正确答案：D解析：设A为A的特征值且g为对应的特征向量，则有A^=k^(m = l, 2,…)，故有(A2+A)§=0^=0,即(入2 +桃=0,因纳)，得厂+\=0,从而有入=0或k=-i,又因r(A)=3,所以A的非零特征值有3个，有1个特征 为：一1, —1, —1, 0＞所以只有选项D正确.a r2 0 0b a与0 6 0a 10 0 0.1a3・（2013年）矩阵“相似的充分必要条件为A. a=0, b=2.B. a=0, b为任意常数.C. a=2, b=0・D. a=2, b为任意常数.的一个特征值，从而有正确答案：B解析：B为对角矩阵，B的特征值为其主对角线元素2, 6, 0.若A与B相似，则由相似矩C2-1 0 -1| AJ — A | = 0 入_ b 0 = (A ~由此得a=0.当a = 0时，矩阵A的特征多项式为 _】 0 入一】由此得A的全部特征值为2, 6, 0.以下可分两种情形：情形1：若b为任意实数，则A为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对 全部特征值，所以此时A必相似于B.综上可知，A与B相似的充分必要条件为a=0, b为任意常数.所情形2：若b是任意复数而不是实数，则3阶矩阵A有3个互不相同的特征值，因此A必相似于对角矩2 -1 -1’1 0 （TA =-1 2 -1• JB =0 1 04. (2007年)设矩阵_] _1 20 0 0,则A与BA. 合同，且相似.B. 合同，但不相似.C. 不合同，但相似.D. 既不合同，也不相似.入一 2 1 11 1 11 AE-A 1 =1 入一2 1=A1 入一 2 1=A1 1 A-21 1 A — 2正确答案：B解析：由A的特征方程1 1入一 3 00 入一得A的全部特征值为山=*=3,入3=0，由此知A不相似于对角矩阵B（因为A的相似对角矩阵的主对乍 3, 3, 0）,但由A的特征值知3元二次型f（£,炽X3）=XTAZ的秩及正惯性指数均为二次型fufAz经适: =3y/+3yf,再经可逆线性变换可化成规范形f=z,2+z22,而f的矩阵A与，的规范形的矩阵B = diag（l,rl 2n5. （2008年）设人=L2】」，则在实数域上与A合同的矩阵为【1■一 2I •A..1_2 一-2-1-B.2 .-2 1-C.-1 2-・]_2・D.-21 -I AE-A | =入一 1 -2=F — 2A —-2 A-1I AJE-D 1 =入一1 22 A-1=中一2入一正确答案：D解析：记D项中的矩阵为D,则由■3知A与D有相同的特征值3与一1,它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵P与Q,使PTAP=L° QP「APQ「=D,或（PQ「）A（PQ「）=D,其中 PQ「可逆，所以 A 与 D 合同.6. （2015年）设二次型f（冶，贮，Q）在正交变换x=Py下的标准形为2y/十y??—y3?,其中P=（ep岂,e3）. f（xi» X2，%3）在正交变换x=Qy»卜•的标准形为 【】A. 2y）2—y22+Y32-B. 2yi2+y22-y32-C. 2yi2-y22-y32.D. 2y）2+y22+Y32-正确答案：A解析：设二次型的矩阵为A,则由题意知矩阵P的列向量引，e2, es是矩阵A的标准正交的! 是2, 1, — 1.即有Aei = 2eP Ae2=2e2, Ae3=2e3从而有AQ=A(m -e3, e2)=(AeP ~Ae3, Ae2)=(2eP -(~e3), e2)■2 0 0-0 — 1 0=(Cp -c3, c2) 0 1-矩阵Q的列向量引，-e3, e2仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2, -1, 1.矩阵Q 上式两端左乘Q=得_2 0 (T0-10Q」AQ = QTAQ=S 0 1・从而知f在正交变换x=Pv下的标准形为f=2yi2-y22+y32.于是选A.填空题-2_27. (2002 年)矩阵 A =L-22」的非零特征值是正确答案：4.解析：由A的特征方程A 2 2A22A22-2 入一2 2=_2入一22=A-2A — 22=A2 2 A- 20AA011A(A-4)1得A的全部特征值为：0, 0, 4.所以，A的非零特征值是4・8. (2008年)设3阶矩阵A的特征值为2, 3, X,若行列式I 2A I =-48,贝山=正确答案：-1.解析：由于方阵的行列式等于方阵的全部特征值的乘积，故有 —48= I 2A I =8 I A I =8x2x3x入=481 于是 Z= —1.\2019. (2009年)设％卩为3维列向量，卩T为卩的转置.若矩阵apT和似于,则卩1a=正确答案：2.解析：因为矩阵相似于对角矩阵时，则对角矩阵的对角元即为矩阵的特征值，故卩J的全咅即T =■<2161如b\5 bz gbz4】6存如h0.设 a=（aP a2, a3）T,卩=（b「b2, b3）r> 贝lj5®563—由于矩阵所有特征值之和等于矩阵主对角元之和，故有卩 l« = b1a1 + b2a2+b3a3=k]+Z2+^3=2.10. （2015年）设3阶矩阵A的特征值为2, —2, 1, B = A2-A + E,其中E为3阶单位矩阵，则行列式丨正确答案：21.解析：因为B=A2-A + E = f(A),其中多项式f(t) = t2-t+l,所以由A的特征值2, —2, f(2)=3, f(=2)=7, f(l)=l这是3阶矩阵B的全部特征值，由特征值的性质得I B | =3x7x1 = 2111・(2011年)二次型f(Xi，X2，九)=九2 + 3贮2+九2 + 2九贮+ 2无必+ 2贮抄 则厂的正惯性指数为 4 1r1 31正确答案：2.解析：f的矩阵为A二J 1L,由A的特征方程入一1 -1-1I Ai — A 1 =一 1 A-3_ 1=A（A 一 1）（入一4〉= 0_1 _1入一 1得A的特征值为0, 1, 4,因此f经正交变换化成的标准形为yj+yj,因此f的正惯性指数为2.12. (2014年)设二次型f(” 4 X3)=Xi2-X22+2axiZ3+4Z2X3的负惯性指数为1，则a的取值范围是 正确答案:[-2, 2].解析：对f配方，可得 f =仅1+%)2 -仪2 - 2/j)2+(4-a2)X32于是f可经可逆线性变换化成标准形f =勾 2—才+(4—a2)z32若4-a2<0,则f的负惯性指数为2,不合题意；若4一<20,则f的负惯性指数为1・因此，当且仅当4一"Nh即丨a |<2时，f的负惯性指数为1・解答题r2 2 on8 213・（2003年）若矩阵A= LO 0&」相似于对角矩阵人 试确定常数a的值；并求可逆矩阵P,使P」A1正确答案：由A的特征多项式入一 2 -2 0—8 4 — 2 — aI X-A I = 0 ° 入一 6T2_0-=(k-6)(X2 一 4入一 12)=(入一 6)2(入+2) 得A的特征值为k*=X2=6, )/=—2. 因为A只有一个重特征值6(二重)，所以,A可对角化对应于特征值6的线性无关特征向量有2个㈡齐次方程组(6E-A〃=0的基础解系含2个向量U>3—秩(6E-A)=2口秩(6E-A)=1一 4-2o --2一 10'6E —A =-84—a00a从而由-000 .J000_知3 = 0,且由此可得对应于知=" = 6的两个线性无关特征向量可取为一 2E-Af2E + A =对于特征值13=-2,由得对应的一个特征向量可取为g=(l, —2, 0)二p于是®, ©2, 5就是3阶方阵A的3个线性无关特征向量，令矩阵6则P可逆，且使P *AP= L 一 2」为对角矩阵.• 1 2-1 414. （2004 年）设矩阵 A=L 1 a_3__35」的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可和似/(A) = I ,AE — A | =1=(入一 2) 1正确答案：A的特征多项式为=(入一 2)(，一 8入+ 18 + 3a〉・⑴若 k=2 是 f(Q的二重根，则有()?-8X+18+3a) I z_2=22-16+18+3a=3a+6=0,解得 1<=一2.当a=-2时，A的特征值为2, 2, 6,矩阵2E-A= — 1有两个，从而A可相似对角化._2 3 --2 32 — 3」的秩为1,故对应于二重棗2⑵若入=2不是1U)的二重根，则入2_8X+18+3a为完全平方,2从而18+3a = 16,解得a=—彳.当a=- 3时,-31_ 1A的特征值为2, 4, 4,矩阵4E-A= L-20ZT故A的对应于特征值4的线性无关特征向量只有一个,3 ■3_ 1」的秩为2, 从而A不可相似对角化.15. (2006年)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a, = (-l, 2, -1)T, a2 = (0, —1, 1)丁是 解.(I) 求A的特征值与特征向量；(II) 求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QtAQ = A.正确答。