柯西中值定理的证明及应用.docx

柯西中值定理的证明及应用马玉莲（西北师大学数学与信息科学学院，，，730070）摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数 利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达 布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单 调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值 公式.关键词：柯西中值定理; 证明; 应用1. 引言微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯 西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下： 柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足⑴ 在［a,B］上都连续；(2) 在(a,B)都可导；⑶ /'(x)和G'(x)不同时为零；(4) g (a)丰 g (B),则存在 gw (a, B)，使得广蛍)=F (B) — F (a) g' (g) g (B) - g (a) •本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更 好的被认识、运用.2. 柯西中值定理的证明2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理罗尔定理 设函数/(x)在闭区间［a,B］上连续，在开区间(a,B)上可导，且/(a) = /(B)则至少存在一点,g w (a,b),使得证明广(g)二 0.构造辅助函数F (x) - / (x) - / (a) - F F (g (x) — g (a)),g (b) - g (a)易见F在［a, b］上满足罗尔定理条件，故存在 gw (a, b)，使得f (b) - f (a) g (b) - g (a)(2)因为g'忆)丰0 (若g'忆)为0则广忆)同时为0,不符条件丿故可将(2丿式 改写为(1)式. 便得所证.2.2 利用反函数及拉格朗日中值定理证明柯西中值定理讨论 显然，当g'(x)二x时，(1)式即为拉格朗日公式， 所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况.但若换一个角度，将f(t)和g(t)看成xy平面上某条曲线y = F(x)的参数方程，即y = F(x)可以表示为:x 二 g (t), y = f (t),t e [a,b],易知 y = F(x)在［g (a), g (b)］(或［g (b), g (a)］丿 上连续，在(g(a),g(b)) (或(g(b),g(a))丿上可导， 由拉格朗日中值定理的几何意义，存在曲线上一点 们,F们))过该点的斜率F，(n )等于曲线两端连线的 斜率f(b)-f缪 (如图1所示丿•设x =耳对应于 g(b)-g(a) t = g e (a, b),则由参数形式函数的求导公式，有f 蛍)二 f (b) - f (a)g' G) g (b) — g (a)所以，柯西中值定理也可以看成是拉格朗日中值定理的参数表达形式.证明由闭区间上连续函数的性质，以及g(x)在［a,b］上连续，在(a,b)上可 导，且导数恒不为零，且不难证明，g (x)在［a, b］上严格单调，不妨设g (x)严格 单调增加.下证g(x)严格单调，只证g(x)在［a,b］上严格单调递增.取x , x e [a,b]规定x < x由g的连续性知g(x ) < g(x )那122 1 2 1g(x) — g(x ) > 0 x - x12对上式求极限lim g (* 一 g (叮 > 0, x1 - x2 x1 - x2又g(x)-g(x)g'(x) = lim 1 2 ,x1-x2 x1 - x2得到 g'(x ) > 0 ,2由x的任意性知g'(x) > 0故g(x)在［a,b］上严格单调递增.同理 2可得g(x)在［a,b］上严格单调递减，故单调性得证.记g(a) =a , g(b)=卩,由反函数存在定理和反函数导数存在定理，在［a,卩］上存在g(x)的反函数g-1(y) , g-1(y)在［a,卩］上连续，在(a,卩)可导，其导数[g -1( y)]'1g'(x)并且g-1(y)在［a,卩］上也是严格单调增加的.考虑［a,卩］上的复合函数F(y)二f (g-1(y))，由定理条件和以上讨论，即知F(y)在［a,卩］上满足拉格朗日中值定理条件，于是，存在耳e (a,卩)，使得F，(m = F (B) - F (a) = f (g-1(B)) - f (g-I(a)) = f (b)二 f (a)卩-a 卩-a g (b) 一 g (a)由g (x)和g -1( y)的关系，在(a, b)中一定存在一点g，满足g，(g)二耳，于是F '(n) = {f (g-1( y))}y =n={f'(g-1( y)) - [ g-1( y)]'} =j f'(x)-y =n I靑}x=g-1(n )=g广(g ) g' (g )代入上式就得到了定理结论.2.3 利用闭区间套定理证明柯西中值定理定义 如果一列闭区间｛ [a ,b ] ｝满足条件n n(1) [a ,b ] u [a ,b ],n = 1,2,3 …; n+1 n+1 n n2) lim(a — b ) 0 nnns则称这列区间形成一个闭区间套.闭区间套定理 如果[a , b ]形成一个区间套，则存在惟一的实数g属于所n n有的闭区间[a , b ]，且g = lim a = lim b .n n n nns ns引理1设函数f (x)在[a, b]上有定义，且在X w (a, b)处可导，又｛[ a , b ]｝为0 n nlim b x ，则 n0ns一闭区间套，且 lim ainsf'( X) = ± 气fn n数 f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 则 存 在 [a1,b1]u[a,b] 且彳 - a=2(b 一a)，使得f (b ) ― f (a ) f (b) — f (a)— — b —a11现在把引理 2 推广为：引理 3 设函数 f (x) ，g(x) 在 [a,b] 上 连续 ，且 g(x) 是 单射，则 存在[a , b ] u [a, b]，且 b — a = — (b — a)，使1 1 1 1 2f (b ) 一 f (a ) f (b) 一 f (a)g (b ) — g (a ) g (b) — g (a)11下面证明柯西中值定理：证明 首先证明，当％卩w [ a, b]且az卩时，有g(a)丰g(卩).反设g (a) = g (卩)，由引理2,存在 巴,u[a,卩]，且卩]一匕=2(卩-a)，使g (卩)—g (a ) g (卩)—g (a) 0— — =°， B —a11从而 g(P )— g(a ). 在 [a , P ] 上再次应用引理 2 有，存在 [a ,P ]u[a ,P ]，1 1 1 1 2 2 1 1 (卩一a )，使2 1 1且P —a22g(卩)—g(a ) — g(P ) — g(a ) — O n n — 1 1 — 0 ,P —a P —a2 2 1 1从而又有g(P ) — g(a ).反复利用引理2,最终可得一个闭区间套{[a ,b ]},2 2 n n满足lim( PnTg—a ) — 0 ,且 g(P ) — g(a ),由闭区间套定理，存在 g g [a,P] u [a,b],nlim a — lim b — g ,nnn fs ns根据引理 1 得：g '(g)—nt%护—0，nn这与条件g'(x)丰O(Vx G (a,b))相矛盾.再根据引理3,存在[a ,b ] u [a,b],11且件一管土少一a)，使f (b ) — f (a ) f (b) — f (a)1 1g(b ) — g(a ) g(b) — g(a)11反复 利用 引 理 3 ， 类似与 前面 的证明， 可得 闭 区 间 套 {[a ,b ]} ， 满 足nnlim(b 一 a ) — 0 且 nnnfsf (b ) — f (a ) _ f(b)— f(a) n n —g(b ) — g(a ) g(b) — g(a)nn由闭区间套定理存在c g [a, b]，使lim a — lim P — c。

再由引理1有: nnn fs n fsf (b ) — f (a )n n—加—lim an(、- lim f W 一 f ⑴-g' (c) [) g (a” ) nfs g(b ) — g(a ) g(b) — g(a)n n — n nb — ann即柯西中值定理成立.2.4 利用达布定理证明柯西中值定理达布定理 f (x)在(a,b)上连续且可导，(1丿若 x , x e (a, b) , f (x ) f (x ) < 0，则有 c g (x , x )，使得 f'(c) = 0.1 2 1 2 1 2(2丿设x ,x g (a,b) , f (x )丰f (x )，则对介于f'(x )与f'(x )间的数耳有1 2 1 2 1 2点g介于x与x之间，且f'(g)二耳.12根据拉格朗日中值定理，我们易知有下列命题成立：命题 设函数f (x)在(a,b)上可导，对Vx e (a,b)，有f'(x) > 0(或f'(x) < 0), 则f (x)在(a, b)上严格单调增加(减少丿.下面证明柯西中值定理：证明 构造辅助函数F(x) = ［g(b) - g(a)］f (x) - ［f (b) - f (a)］g(x),显然F(x)在［a,b］上连续，在(a,b)可导，且F(a) = F(b).现要证明存在 ge (a, b)，使 F 程)二 0.假设对一切g e (a,b) F'(g )丰0，则由达布定理易知，要么F'(g) > 0，要么 F '(g) < 0，当F '(g) > 0时则由命题易知F (x)在(a, b)严格单调，从而在［a,b］上 严格单调增(因 F (x)在［a, b］上连续丿.从而F (a) < F (b)与 定理中的条件 F (a) = F (b)矛盾，当F '(g) < 0时同样可推出矛盾故有F '(g)二0，即 广(g) = f (b) - f (a)g，(g) g (b) — g (a)亠2.5利用坐标变换证明柯西中值定理 微分中值定理证明的难点在于构造辅助函数，而下列证明不通过构造辅助 函数，利用坐标旋转变换来证明柯西中值定理.证明 构造参数方程3)X 二 g (t), y = f (t)，‘由定理条件知，方程(3丿的图像是xoy平面上一条连续且光滑的曲线L ,oXX图 2.坐标旋转变换图由图2所示，AB与x轴正向夹角为a , AB = r ,旋转x轴使ox'平行于AB , 曲线L在ox'轴上的投影区间为［g '(a ),g'(b)］，则曲线L上任意一点 M (g (t), f (t)) 在新坐标系 x'oy ' 下的坐标为(x', y')。