普通物理 高等数学课程知识点梳理汇总.doc

目录一、高等数学 51.1空间解析几何 51.1.1 向量代数 51.1.2 空间直线及其方程 101.1.3 平面及其方程 121.1.4 柱面 131.1.5 锥面 141.1.6 旋转曲面 151.1.7 二次曲面 171.1.8 空间曲线 20☆高等数学习题（空间解析几何） 201.2 微分学 311.2.1 极限 311.2.2 连续 37☆高等数学习题(极限、连续) 371.2.3 导数 39☆高等数学习题（导数及其应用） 421.2.4 微分 471.2.5 偏导数与全微分 481.2.6 导数与微分的应用 48☆高等数学习题（导数、微分） 491.3 积分学 571.3.1 不定积分 571.3.2 定积分 591.3.3 广义积分 601.3.4 二重积分 60☆高等数学习题（定积分的概念与性质） 61☆高等数学习题（微积分的基本公式） 63☆高等数学习题（定积分的换元法与分部积分法） 66☆高等数学习题（反常积分） 70☆高等数学习题（定积分） 72☆高等数学习题（不定积分） 761.4无穷级数 781.4.1 级数的概念 781.4.2 级数的基本性质 791.4.3 正项级数 791.4.4 任意项级数 811.4.4 幂级数 81☆高等数学习题（无穷级数） 821.5常微分方程 841.5.1 微分方程的基本概念 841.5.2 一阶微分方程 851.5.3 二阶常系数线性微分方程 901.6概率与数理统计 921.6.1 随机事件与概率 921.6.2 概率的定义及其运算 931.6.3 频率与概率 951.6.4 条件概率 961.6.5 离散型随机变量及其概率分布 961.8 线性代数 981.8.1 行列式 98二、普通物理 992.1 热学 992.1.1 气体状态参量 992.1.2 平衡态 1002.1.3 理想气体的状态方程 1002.1.4 克拉珀龙方程 1012.1.5 能量按自由度均分原理 1012.1.6 理想气体的内能 1022.1.7 气体分子平均碰撞次数和平均自由程 1032.1.8 麦克斯韦速率分布定律 1042.1.9 热力学第一定律 1052.1.10 热容量 1072.1.11 第一定律对于热力学过程的应用 1082.1.12 循环过程 1112.1.13 热力学第二定律 1142.1.14 卡诺定理 114☆大学物理习题（热学） 1152.2 波动学 1172.2.1 机械波的产生和传播 1172.2.2平面简谐波函数 1182.2.3 波的能量 1222.2.4 波的叠加 驻波 1242.2.5 声波 129☆大学物理习题（波动学） 1322.3 光学 1532.3.1 相干光的获得 1532.3.2 杨氏双缝干涉 1542.3.3 薄膜干涉 1572.3.4 迈克耳逊干涉仪 1592.3.5 惠更斯—菲涅耳原理 1612.3.6 光学仪器分辨本领 1632.3.7 x射线衍射 1642.3.8 自然光与偏振光 1642.3.9 双折射现象 166☆ ☆大学物理习题（光学） 166一、高等数学1.1空间解析几何1.1.1 向量代数1. 空间两点间的距离：1).设M1(x1，y1，z1)， M2(x2，y2，z2)为空间上的两个点，则空间两点距离： 2).设M(x，y，z)为空间上的一个点， 0(0，0，0)为原点，则空间上M到原点的距离： Eg1. 设M1(2，1，2)， M2(-1，2，3)为空间上的两点，求两点间的距离。

)Eg2. 设O(0，0，0)， M2(-1，2，3)为空间上的两点，求两点间的距离 )2. 向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量的模：向量的大小单位向量：模长为1的向量，表示方法零向量：模长为0的向量自由向量：不考虑起点位置的向量相等向量：大小相同且方向相同的向量负向量：大小相同但方向相反的向量向径：空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量3. 向量的加减法：1).向量的加法（平行四边形法则或三角形法则)： 2).向量的加法符合下列运算规律：交换律：结合律： 3).向量的减法（平行四边形法则或三角形法则)：Eg1.向量AB+CD+BC+DA=_________ 0 )4. 向量与数的乘法：1).设λ是一个数，向量与λ的乘积规定为：当λ＞0时， 当λ＝0时， 当λ＜0时， 2).数与向量的乘积符合下列运算规律：结合律：分配率： 按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量5. 空间两向量的夹角的概念：1) 向量与向量的夹角：特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与π之间任意取值。

6. 空间向量：1).按基本单位向量的坐标分解式： 在三个坐标轴上的分向量：2).向量的坐标：3).向量的坐标表达式：特殊的，4).向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式：5).向量的模与方向余弦的坐标表示式定义：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角与X轴：与Y轴：与Z轴：则： 方向余弦通常用来表示向量的方向向量模长的坐标表示式：向量方向余弦的坐标表示式：当 时：方向余弦的特征：特殊地：单位向量的方向余弦为：7. 向量之间的数量积：1).运动公式：类似地，两向量之间的数量积：，其中θ为两向量之间的夹角2).数量积运算定律：交换律：分配率：若λ、μ为常数，则：3).数量积的坐标表示：设空间直角坐标系：，则：4).两向量夹角余弦的坐标表示式：则：由此可知两向量垂直的充要条件为：8. 向量之间的向量积：1).两向量之间的向量积：其中θ为两向量之间的夹角，垂直于两向量2).向量积运算规律：交换律：分配率：若λ为常数，则：3). 向量积的坐标表示：设，则： 4). 向量积三阶行列式表示：则：注：1.1.2 空间直线及其方程1. 空间直线的一般方程：1). 定义：空间直线可看成两平面的交线。

2). 空间直线的一般方程式：2. 空间直线的对称式方程与参数方程：1).方向向量定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量2).设方向向量 MO、M为直线L上的两点，则：则：令：则直线的参数方程式：3). 定义：方向向量的余弦称为直线的方向余弦4). 直线的两点式方程：3． 两直线的夹角：1). 定义：两直线的方向向量的夹角锐角)2). 直线L1、L2对称式方程如下：则两直线夹角余弦值：3). 两直线的位置关系：4. 直线与平面的夹角：1). 定义：直线和它在平面上的投影直线的夹角ψ称为直线与平面的夹角直线对称方程式：方向向量： 平面方程式：垂直于平面的向量则：直线与平面的夹角关系：2). 直线与平面的位置关系：1.1.3 平面及其方程1. 平面的点法式方程：1). 定义：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量2). 平面的点法式方程表达式：已知法线向量：平面上任意两点：则必有：平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形2. 平面的一般方程：1). 由平面的点法式方程得：平面的一般方程：法向量：2). 平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过x轴；平面平行于x轴；类似的，B=0，C=0时，按以上情况类推。

平面平行于xoy坐标面类似的，B=C=0，A=C=0时，按以上情况类推3.两平面的夹角：1).定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角通常取锐角)2).两平面的夹角公式：平面平面法向量：两法向量夹角余弦值，既为两平面夹角余弦值：3).两平面的位置特征：4.点到平面的距离：平面方程：平面外一点：P(xo，yo，zo)，则：1.1.4 柱面1. 定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线2.柱面方程：1).柱面方程：推理过程：设柱面的准线为：母线的方向数为X，Y，Z如果为准线上一点，则过点M1的母线方程为：且有， (3) ，得：这就是以（1)为准线，母线的方向数为X，Y，Z的柱面的方程2).柱面方程的特征：F(x，y)=0在空间直接坐标系中表示母线平行于Z轴的柱面，其准线为坐标系xoy面上的曲线其它类推椭圆柱面：母线平行于X轴双曲柱面：母线平行于Z轴抛物柱面：母线平行于Y轴1.1.5 锥面1. 定义：在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。

2. 锥面方程：锥面方程：推理过程：设锥面的准线为：顶点为，如果为准线上任一点，则锥面过点M1的母线为：且有， (3) ，得：这就是以（1)为准线，以A为顶点的锥面方程Eg. 求顶点在原点，准线为 的锥面的方程答案：3. 齐次方程：设λ为实数，对于函数f(x，y，z)，如果有：f(tx，ty，tz)=tλf(x，y，z) 则称f(x，y，z)为λ的齐次函数，f(x，y，z)=0称为齐次方程定理：一个关于x，y，z的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面方程 x2+y2-z2=0 圆锥面方程 x2+y2+z2=0 原点（虚锥面)1.1.6 旋转曲面1. 定义：以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面， 这条定直线叫旋转曲面的轴曲线C称为放置曲面的母线 2. 旋转曲面方程：旋转曲面方程：推理过程：设旋转曲面的母线为：其中为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴L的方向数 设为母线C上的任意点，则M1的纬圆总可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中心，|P0M1|为半径的球面的交线所以，过M1的纬圆的方程为：当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆，这些纬圆就生成旋转曲面。

又由于M1在母线上，所以又有：从（3)（4)的四个等式中消去参数x1，y1，z1，得到一个三元方程：这就是以C为母。