2009年研究生数学二试题及答案.doc

梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 - 1 - 页 共 19 页20092009 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题数学二试题一、选择题：一、选择题：1～～8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.下列每题给出的四个选项中，只有下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为（ ） 3sinxxf xnx1.2. 3.无穷多个. A B C D（2）当时，与是等价无穷小，则（ ）0x  sinf xxax 2ln 1g xxbx.. . A11,6ab  B11,6ab C11,6ab   D11,6ab （3）设函数的全微分为，则点（ ）,zf x ydzxdxydy0,0不是的连续点.不是的极值点.  A,f x y B,f x y是的极大值点. 是的极小值点. C,f x y D,f x y（4）设函数连续，则（ ）,f x y222411,,yxydxf x y dydyf x y dx. .  A2411,xdxf x y dy B241,xxdxf x y dy.. C2411,ydyf x y dx D221, ydyf x y dx（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区 fx yf x 1,1222xy f x间内（ ）1,2有极值点，无零点.无极值点，有零点.  A B有极值点，有零点.无极值点，无零点. C D（6）设函数在区间上的图形为 yf x1,31( )f x-2023x-1O梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 - 2 - 页 共 19 页则函数的图形为（ ）   0xF xf t dt..  A( )f x023x1-2-11 B( )f x023x1-2-11.. C( )f x023x1-11 D( )f x023x1-2-11（7）设，均为 2 阶矩阵，分别为，的伴随矩阵.若，则分AB**AB，AB23AB，块矩阵的伴随矩阵为（ ）OABO ..  A**3 2OB AO  B**2 3OB AO .. C**3 2OA BO  D**2 3OA BO （8）设均为 3 阶矩阵，为的转置矩阵，且，若AP，TPP100010002TP AP ，则为（ ）1231223PQ（，，），（，，）TQ AQ..  A210 110 002   B110 120 002  梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 - 3 - 页 共 19 页.. C200 010002   D100 020002  二、填空题：二、填空题：9-14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线在处的切线方程为 .2221-x=0 ln(2)uteduytt （0，0）（10）已知,则 .+1k xedxk （11） .10nlimesinxnxdx（12）设是由方程确定的隐函数，则 .( )yy xxy1yex22 0xy x（13）函数在区间上的最小值为 .2xyx01 ，(14)设为 3 维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则 .，TT200 000 000  T= 三、解答题：三、解答题：15－－23 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 9 分）求极限.401 cosln(1tan )limsinxxxxx（16） （本题满分 10 分）计算不定积分 .1ln(1)xdxx(0)x （17） （本题满分 10 分）设，其中具有 2 阶连续偏导数，求与.,,zf xy xy xyfdz2zx y  （18） （本题满分 10 分）设非负函数满足微分方程，当曲 yy x0x 20xyy线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为 2，求绕 轴 yy x1x 0y DDy梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 - 4 - 页 共 19 页旋转所得旋转体体积.（19） （本题满分 10 分）计算二重积分，其中Dxy dxdy.22,112,Dx yxyyx（20） （本题满分 12 分）设是区间内过点的光滑曲线，当时，曲线上任一点( )yy x-（，）-22（，）-0x处的法线都过原点，当时，函数满足.求的表达式.0x( )y x0yyx( )y x（21） （本题满分 11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在 f x, a b, a b，使得；, a b   f bf afba（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则 f x0x 0,0  0lim xfxA 存在，且. 0f 0fA（22） （本题满分 11 分设，.111 111 042A  11 1 2 （Ⅰ）求满足的所有向量；2 2131,AA23, （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：线性无关.23, 123,,  （23） （本题满分 11 分）设二次型222 1231231323,,122f x x xaxaxaxx xx x（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；f（Ⅱ）若二次型的规范形为，求 的值.f22 12yya梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 - 5 - 页 共 19 页20092009 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题答案数学二试题答案一、选择题：一、选择题：1～～8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.下列每题给出的四个选项中，只有下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为（ ） 3sinxxf xnx1.2. 3.无穷多个. A B C D【答案】C 【解析】  3sinxxf xx则当 取任何整数时，均无意义x f x故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解 f x30xx1,2,30, 1x3200321132111 31limlimsincos 1 32limlimsincos 1 32limlimsincosxxxxxxxxx xx xxx xx xxx xx故可去间断点为 3 个，即0, 1（2）当时，与是等价无穷小，则（ ）0x  sinf xxax 2ln 1g xxbx.. .. A11,6ab  B11,6ab C11,6ab   D11,6ab 【答案】A 【解析】为等价无穷小，则2( )sin, ( )(1)f xxax g xx lnbx222200000( )sinsin1cossinlimlimlimlimlim( )ln(1)()36xxxxxf xxaxxaxaaxaax g xxbxxbxbxbx 洛洛230sinlim166xaaxa bbaxa  故排除.36ab ,B C梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 - 6 - 页 共 19 页另外存在，蕴含了故排除.201coslim3xaax bx 1cos0aax0x 1.a D所以本题选 A.（3）设函数的全微分为，则点（ ）,zf x ydzxdxydy0,0不是的连续点.不是的极值点.  A,f x y B,f x y是的极大值点. 是的极小值点. C,f x y D,f x y【答案】 D【解析】因可得dzxdxydy,zzxyxy2222221,0,1zzzzABCxx yy xy   又在（0，0）处，0,0zz xy210ACB 故（0，0）为函数的一个极小值点.( , )zf x y（4）设函数连续，则（ ）,f x y222411,,yxydxf x y dydyf x y dx. .  A2411,xdxf x y dy B241,xxdxf x y dy.. C2411,ydyf x y dx D221, ydyf x y dx【答案】C【解析】的积分区域为两部分：222211( , )( , ) xxdxf x y dydyf x y dx，1( , )12,2Dx yxxy2( , )12,4Dx yyyxy将其写成一块( , )12,14Dx yyxy故二重积分可以表示为，故答案为 C.2411( , )ydyf x y dx梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 - 7 - 页 共 19 页（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区 fx yf x 1,1222xy f x间内（ ）1,2有极值点，无零点.无极值点，有零点.  A B有极值点，有零点.无极值点，无零点. C D【答案】 B 【解析】由题意可知，是一个凸函数，即，且在点处的曲率( )f x''( )0fx (1,1)，而，由此可得，3 22|''|1 2(1 ( ') )yy '(1)1f ''(1)2f 在上，，即单调减少，没有极值点.[1,2]'( )'(1)10fxf  ( )f x对于， （拉格朗日中值定理）(2)(1)'( )1(1,2)fff   而 (2)0f(1)10f 由零点定理知，在上，有零点. 故应选（B）.[1,2]( )f x（6）设函数在区间上的图形为 yf x1,3则函数的图形为（ ）   0xF xf t dt1( )f x-2023x-1O梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐。