利用夹逼准则求极限.doc

利用夹逼准则求极限夹逼准则的使用方法：定理 1用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值题型 1夹逼准则常用于求若干项和的极限推论 1极限变化过程中最小项与最大项之比为1 时可以使用夹逼准则求其极限证明：不妨设最小项为(x) ，最大项为(x) ，数列有 n 项，则整数倍为n 倍，由定理1 可知 lim n( x)1lim(x) .n( x)(x)例 1.求 lim (11...1) .222nn2n4n2n1解： limn22nlimn22limn22lim 11.1n22nn22nnnnnn22由推论1， 1n11...1n1.n22nn22n24n22nn22由夹逼准则可得所求极限为1.例 2.求 lim (11...1).222nnn1nn2nnn12解： lim n2nnlim n2n11.n1nnnnn2n1由推论1， 0n11...1n0.n2n n n2n 1 n2n 2n n n2n 1n2由夹逼准则可得所求极限为0.例 3.求 lim (12...n).222nnn1nn2nnn解：n( n1)1nknknkn(n1)12n2n nk 1 n2n nk 1 n2n kk 1 n2n 12n2n 1n( n1)n21n2nnlim2n1lim1.n( n1)1n2n1nn2n2nn。

1由推论1，1n(n 1)112...nn(n 1)1122n2n n n2n 1 n2n 2n n2n2n 1 2n2由夹逼准则可得所求极限为 1 .2由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧例 4. 求 lim 2n . n n!解： 02n222...24 .(放到第二项最大 )n!123nn！且 lim40. 故由夹逼准则可知lim2n0.nn!nn!例 5. 求 limnn(1).n解：设1h( h0), 则n(1h) n1nhn(n1) h2...hnn(n 1) h2 ,2!2从而 0n2, 因为 lim22 0,n2(n1) hn(n1)h由夹逼准则可知limn0.nn例 6. 求 lim 3 n2 sin(n! ) .n n 13n2 sin( n! )3n23 n23 n231, ( 三角函数有界性 )解：由于 0n 1n1nn3n即313 n2sin(n!)31, 而 lim31lim310,nn 1nnnnn由夹逼准则可知3n2sin(n!)0.limnn 11例 7. 求 lim (1 2n3n ) n .n12112) n1解：原式 lim 3[() () n1n ] nlim 3[()n(1] n .n33n33。

2因为 0 (1)n( 2)n1, 1 (1) n( 2)n1 3 ,3333两边同时乘以3n 得到 3n12n3n3n1 ,11再两边同时开 n 次方根得到 3[12n3n ]n33n .11当 n时 ,右边lim (33n )3lim 3n31 3 lim 3 左边 .nnn1故由夹逼准则可得 lim (12n3n ) n3.n例 8.x求 lim .x x解：由取整函数的性质可知 x 1 x x.当 x0时,x 1 x x即1 x1；,xx1xxx当 x0时,x 1 x x即1 x1；,xx1xxx因为lim (11)由夹逼准则可得x1.1，limxxxx例 9.求 limx b(0,b0).x 0x解由取整函数的性质可知b1bb ( x0) ,xxx。