《高等数学教学资料》03第三节泰勒公式.docx

笫三节泰勒公式对于一些比较复杂的两数，为了便于研究,往往希望用一些简单的函数來近似表达.多项 式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算，就能 求出其函数值，因此，多项式经常被用于近似地表达函数，这种近似表达在数学上常称为逼近. 英国数学家泰勒(Taylor. Brook, 1685-1731)在这方面作出了不朽的贡献.其研究结果表明: 具有直到n + 1阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数 值组成的n次多项式近似表达.本节我们将介绍泰勒公式及其简单应用.分布图示★引言 ★多项式逼近 ★泰勒中值定理★例2★例6★课堂练习★例1★常用函数的麦克劳林公式★例5★内容小结 ★习题3・3 ★返回内容要点问题：设函数/(X)在含有勺的开区间(Q,历内具有直到八+ 1阶导数，问是否存在一个77次多项式函数(3.2)/2/J(X)= 6f0+a1(X-XO) + 2(X-XO)2 ++ (3.1)使得 且误差RnM = fM-PnM是比勺)”高阶的无穷小，并给出误差估计的具体表达式.泰勒中值公式fM = /(勺)+ /0)(兀一勺)+ / 即)(X-勺尸 + …+ —―(X-x())" + Rn(x) (3.3)2! tv.拉格朗日型余项 心(兀)=广刊忆)(兀一兀()严 (3.4)(/? + 1)!皮亚诺形式余项 Rn (x) = o[(x -x()r 1. (3.6)带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式/(X) = /(0) + /z(0)x + /+... + 2^21 疋 + 0(0) (3.9)2! iv.从公式(3.11)或(3.⑵可得近似公式心"0) +门0)’+警宀…+畔疋 2! m误差估计式(3.8)相应变成I^WI<1), 2! nl (川+1)!由公式可知ev ~ 1 + X + — + • •・ + 2!其误差=xz,+1< X(n + 1)!(斤 + 1)!/?!曲(0<6><1)取兀=1,得0 = 1 + 1 + 丄+ ••• + 丄,2! nl例3 (E02)求/(x) = sinx的//阶麦克劳林公式.解 f\x) = cosx, = -sinx, /^(x) = -cosx, /(4>(x) = sinx,P(n\z、 • | n兀 , f (x) = sin x + —,\ /丿由此得厂(0) = 1,厂(0) = 0, r(0) = -l,严(0) = 0,……,sinx的各阶导数依序循环地取四个数0,1,0,-1,令n = 2m,则+尺2加⑴,其中sin 6r + (2/72 + 1)—(兀)=― 兀加+】(ov&vi).取加= 1,2,3的近似函数与原函数图像比较.(2加 + 1)!常用初等函数的麦克劳林公式:ex =1 + 兀 + — + ・・・ + — + x2! nl (n + 1)!兀3 x5sinx = x ——+ + (-1/一 5! (2料 + 1)!.4 .6 ■cosx = l- —+ ————+ --- + (-1)^ 兀 2! 4! 6!3!X2+。

宀2)2n(2h)!+心ln(l + x) = x ——+ + (—1)〃 ——+兀"启)2 3 〃 +11 ——= l + x + x2+--・ +兀"+o(兀")1 — X(1+兀)J十皿+加(心)兀2+...2!简介展开法在实际应用中，上述已知初等函数的麦克劳林公式常用于I可接地展开一些更复杂的函 数的麦克劳林公式，以及求某些函数的极限等.例4 (E04)求y = —!—在兀=1的泰勒展开式.3 — x解严丄丄一3-x 2-(x-l) 2 ］兀-1=1 ^-1 (x-l)i2 22 23,(x-ir2“+i+4u-irj.解因为訂…缶+心所以例6求Incosx的到x6麦克劳林展开式.解因为cos—所以1 0 1 o oIn cos x = ln[l + (cosx-l)l = (cosx-1)——(cosx-1)^ + —(cosx-1)^ +o[(cosx — 1)，]2 3而cosx-l =― x2 + —x4 x6 +o(x&)及(cosx-1)，=丄兀 一一 兀& +o(兀6)2 24 720 4 24(COSX-1)3 = _兀6 +o(d)In cos x =——x224- —X4 兀6 + 0(兀6)24 720 )(\ 1 \-X4 ——《?+曲6)214 24 )I( I 、一 ——x6 +

1685年8月18日生于英格兰徳尔塞克斯郡的埃徳蒙顿 市；1731年12月29日卒于伦敦泰勒出生于英格兰一个富有的且有点贵族血统的家庭父亲约翰来自肯特郡的比夫隆家 庭泰勒是t子进大学之前，泰勒一直在家里读书泰勒全家尤其是他的父亲，都喜欢音 乐和艺术，经常在家里招待艺术家这吋泰勒一生的工作造成的极大的影响，这从他的两个 主要科学研究课题：弦振动问题及透视画法，就可以看出來1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习1709年，他获得法学学士学位1714年 获法学博士学位1712年，他被选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发 明微积分优先权争论的委员会从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞 去这一职务泰勒后期的家庭生活是不幸的1721年，因和一位据说是出身名门但没有财才的女人 结婚，遭到父亲的严厉反对，只好离开家庭两年后，妻子在生产中死去，才又回到家里， 1725年，在征得父亲同意后，他第二次结婚，并于1729年继承了父亲在肯特郡的财才173() 年，第二个妻子也在生产中死去，不过这一次留下了一个女儿妻子的死深深地刺激了他, 第二年他也去了，安葬在伦敦圣.安教堂墓地。

由于工作及健康上的原因，泰勒曾几次访问法国并和法国数学家蒙莫尔多次通信讨论级 数问题和概率论的问题170X年，23岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解，引起了人们 的注意，在这个工作中他用了牛顿的瞬的记号从1714年到1719年，是泰勒在数学牛顿产 的时期他的两本著作：《正和反的增量法》及《直线透视》都出版于1715年，它们的第二 版分别11!于1717和1719年从1712到1724年，他在《哲学会报》上共发表了 13篇文章， 其中有些是通信和评论文章中还包含毛细管现象、磁学及温度计的实验记录在生命的后期，泰勒转向宗教和哲学的写作，他的第三本著作《哲学的沉思》在他死后 由外孙W.杨于1793年出版泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世这条定理大致可以叙述为： 函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来 然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值这一重大价值是后来由 拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理泰勒定理的严格证明是在定理诞 生一个世纪之后，由柯西给出的麦克劳林(Maclaurin, Colin, 1689〜1746)简介：麦克劳林(Maclaurin,Colin)是英国数学家。

1689年2月生于苏格兰的基尔莫登；1746 年1月卒于爱丁堡麦克劳林是一位牧师的儿子，半岁丧父，9岁丧母由其叔父抚养成人叔父也是一位 牧师麦克劳林是一个“神童”，为了当牧师，他11岁考入格拉斯哥大学学习神学，但入校 不久却对数学发生了浓厚的兴趣，一年后转攻数学17岁取得了硕士学位并为自己关于重 力作功的论文作了精彩的公开答辩；19岁担任阿伯丁大学的数学教授并主持该校马里歇尔 学院数学第工作；两年后被选为英国皇家学会会员；1722-1726年在巴黎从事研究工作，并 在1724年因写了物体碰撞的杰出论文而荣获法国科学院资金，回车后任爱丁堡大学教授1719年，麦克劳林在访问伦敦时见到了牛顿，从此便成为牛顿的门生1724年，由于 牛顿的大力推荐，他继续获得教授席位麦克劳林21岁时发表了第一本重要著作《构造几何》，在这本书中描述了作圆锥曲线的 一些新的巧妙方法，精辟地讨论了圆锥曲线及高次平面曲线的种种性质1742年撰写的《流数论》以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑 的、系统解释的第一本书此书之意是为牛顿流数法提供一个儿何框架的，以答复贝克来大 主教等人对牛顿的微积分学原理的攻击。

麦克劳林也是一位实验科学家，设计了很多精巧的机械装置他不但学术成就斐然，而 且关于政治，1745年参加了爱丁堡保卫战麦克劳林终生不忘牛顿对他的栽培，并为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗他曾打 算写一本《关于伊萨克•牛顿爵士的发现说明》，但未能完成便去世了死后在他的墓碑上刻 有“曾蒙牛顿推荐”，以表达他对牛顿的感激之情皮亚诺简介：皮亚诺，G (Peano, Giuseppe) 1858年8月27日生于意大利库内奥(Cuneo)附近的 斯皮内塔(Spinetta)村；1932年4月20日卒于都灵(Turin).数学、逻辑学皮亚诺的父母巴尔托洛梅奥(Bartolomeo)和C.罗斯亚(Rosa)有4男1女，皮亚诺 是第二个孩子他们家以耕作为生，虽处在文盲充斥的农村，但皮亚诺的父母有见识且很开 朗，让子女都接受教育他家住在离省城库内奥3英里的地方，每天皮亚诺和其兄米切勒 (Michele)必须步行去省城念书为了方便孩子们上学，他父母把家搬到城内，直到他最 小的妹妹小学毕业，才又搬回农场他的舅舅M.卡瓦罗(Cavallo)是一位牧师和律师，住 在都灵。