关于古塔变形的数学模型.doc

关于古塔变形的数学模型摘 要本文主要研究古塔在自重、气温、风力等因素的影响下产生变形的问题采用中垂线求解外切圆圆心的模型以及多次平均除误差的方法，找到了确定古塔中心的通用方法，并用多元线性回归模型及插值拟合等方法对倾斜、弯曲、扭曲等变形情况进行分析，从而通过残差拟合得出预测数据对古塔变形趋势进行描述针对问题一：论文采用古塔八个角点中任意三个角点构成的两两连线，取其中垂线的交点得到外接圆圆心，已知正八边形的中心与外接圆圆心一致，但古塔八角点构成的八边形存在轻微不规则，所以我们采用多次取点求外接圆圆心，并用其平均值消除误差，最后对不同取点方式进行了精度分析（答案详见表一）针对问题二：首先是古塔倾斜分析，根据测量学本文取塔尖和塔底的中心连线作为倾斜角计算的倾斜方程，算出塔顶在水平面投影与塔底中心的间距，引入实测高程数据，可以得到古塔四次测量的倾斜角（），对其倾斜情况经行描述；然后是弯曲情况分析，根据问题一中古塔各层中点坐标，本文对其进行多元回归分析及多项式拟合，得出函数曲线，并将其和倾斜方程进行比较得到最大差值即挠度（材料力学中对弯曲的描述量）；最后是扭曲分析，本文分垂直和水平两个方向进行讨论，垂直方向上涉及高程Z，即对各层中心点多元线性回归得到的拟合值与实测值进行残差分析，得到扭曲描述量（）。

水平方向，本文参考材料力学中扭转角的计算，对古塔各层间的轴向扭转进行分析，得到扭转角对古塔扭曲情况进行描述针对问题三：在分析了四次观测值中倾斜、弯曲，扭曲的情况下，本文采用加权平均的方法各产生影响数据进行处理后，进行残差拟合，得到下一次观测的模拟数据，对古塔的变形进行变形趋势描述关键词 多边形中心确定 多元回归分析 多项式拟合 残差分析一、问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，列表给出各次测量的古塔各层中心坐标2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况3. 分析该塔的变形趋势二、模型假设1、 根据测量学对倾斜的描述，倾斜角的计算为塔顶与塔底中心连线的倾角，假设各层中心的偏移不影响塔尖和底层的倾斜计算。

2、假设古塔的各层面是一个稳定整体，平面转动是同时进行的3、假设附件给出的数据是八角古塔各角点的坐标三、符号说明1、：圆上任意三点构成的弦的斜率2、：塔顶在底面的投影与塔底中心的距离3、：塔顶的高程、塔层间距离4、：位移变化量、残差值5、：单位扭转角6、：多元线性回归系数7、：i次项变量8、：参与计算的古塔层数9、：扭曲描述量四、问题分析对于问题一，求解该层的中心，已知数据是八边形古塔的各角点，根据正多边形中心的定义，各对角线的交点以及外接圆的圆心是正多边形的中心，但是对于不规则的多边形，其对角线的交点并不重合，同时外切圆的圆心也会偏离于是在不同选点情况下，圆心位置可能存在的偏差，我们采取多次取点计算平均值的方式来消除由于八边形存在的种选点情况，于是我们对不同角点选取对圆心精度变化的情况进行了验证对于问题二，倾斜分析，在第一问得出的古塔各层中心的基础上，首先按照测量学对倾斜观测的方法，根据塔顶三维坐标与底层中心，可以得出各层高差以及在平面投影上的中心差，由此可得倾斜角：；弯曲分析，在倾斜分析中我们已经得出塔尖和底层中心的连线，可以用各层中心点与该连线的偏离程度来描述古塔的弯曲程度，根据问题一得出的古塔各层中点坐标，通过多项式插值和多元回归分析可以得到中心点连线的回归方程，将此方程分别投影到，平面后，和塔的倾斜方程进行比较得到最大差值即挠度（材料力学中对弯曲的描述量）和差值总量可以得到古塔的弯曲描述；扭曲分析，按照结构力学中扭曲是空间概念的说明，我们分垂直和水平两个方向对古塔的扭曲状况进行讨论，垂直方向上涉及高程Z，即对各层中心点多元线性回归得到的拟合值与实际值进行残差分析，得到扭曲描述量（）。

水平方向，参考材料力学中扭转角的计算，对古塔各层间的轴向扭转进行分析，计算得到平面内位移量后通过计算古塔各层高差得到扭转角，对古塔平面扭曲情况进行描述对于问题三，古塔的变形趋势，首先对前四次测得数据中对倾斜，弯曲，扭曲有影响的变量根据观测年份间距进行加权平均，然后通过残差拟合得出下一次测量的预测值，再对预测数据进行倾斜、弯曲、扭曲的分析，比对前四次测量数据结果后对古塔变形趋势进行描述五、模型的建立与求解5.1各层中心位置的求解模型对于该层的中心，已知数据是八边形古塔的各角点，根据正多边形中心的定义，各对角线的交点以及外接圆的圆心是正多边形的中心，但是对于不规则的多边形，其对角线的交点并不重合，同时外切圆的圆心也会偏离于是不同选点情况下，圆心位置可能存在的偏差，我们采取多次取点计算平均值的方式来消除首先，引入圆上三点坐标求解中心的模型已知不在同一直线上的三点可以唯一确定一个圆如图一）（图一）测量圆形构筑物上的任意3点坐标，设为A（），B（），C（），圆心的坐标为O（），AB的中点为M（），BC的中点为N () ,AB与BC 的垂直平分线的交点即为圆心由图可知设线段AB的斜率 ，BC的斜率，其AB的垂直平分线的斜率，其CB的垂直平分线的斜率，其CB的垂直平分线的斜率，则且由此可列出如下方程整理以上两式以矩阵方式表示则求上式解可得 （1）公式（1）即为三点坐标法求解中心位置坐标的计算公式。

以1986年第一层测量值为例，在多边形上任取三点，两两连线的中垂线角点为圆心，得出外接圆如图二） （图二）由于三点的选择存在种情况，所以为消除可能存在的偏差，采用了多次取平均值的办法，对不同角点进行选择，多次平均得到结果如图三）（图三）中点坐标为：根据此方法，可以得到该次观察的各层古塔中心和其他三次观察结果：表一：古塔各层中心坐标　1986年1996年1566.67,522.70,1.78566.65,522.72，1.782566.72,522.67,7.32566.72,522.68,7.313566.78,522.66,12.75566.78,522.66,12.754566.83,522.64,17.07566.80,522.57,17.075566.89,522.62,21.72566.86,522.65,21.896566.94,522.60,26.23566.95,522.59,26.227566.97,522.58,29.83566.96,522.45,29.838567.16,522.70,33.35566.98,522.57,33.349567.34,522.75,36.85567.00,522.56,36.8410567.06,522.52,40.17567.05,522.36,40.1611567.11,522.48,44.44567.11,522.47,44.4312567.15,522.43,48.71566.84,522.28,48.7013567.18,522.35,52.83567.18,522.38,52.83塔尖　　　2009年2011年1566.77,522.71,1.76566.74,522.72,1.762566.85,522.69,7.30566.79,522.68,7.293566.85,522.72,12.73566.83,522.52,12.724566.86,522.64,17.06566.89,522.72,17.055566.89,522.62,21.70566.89,522.62,21.706567.00,522.04,26.21566.80,522.45,26.207567.04,522.61,29.82567.04,522.60,29.818567.00,522.45,33.33567.03,522.57,33.339567.06,522.45,36.84567.09,522.51,36.8210567.12,522.46,40.16567.16,522.44,40.1411567.13,522.41,44.43567.23,522.38,44.4212567.22,522.36,48.69567.22,522.35,48.6813567.26,522.31,52.81567.35,522.28,52.81塔尖　　 5.2.1，古塔的倾斜分析模型根据测量学定义，取其中三个点使用前方交会的方法，拟合出塔底中心的坐标，塔尖到塔底中心的连线构成倾角。

取其与塔顶坐标于底层坐标面上的投影，算出距离，即图四）根据题目提供的塔顶坐标数据可以得出塔顶高程，以及塔尖在水平面上的投影与塔底中心间距，即可得出倾斜角以此类推得到4次观测的塔倾斜情况表二：各年塔尖投影与塔底中心距离及倾斜角1986年1996年2009年2011年塔顶高程55.1255.1255.1255.12中心距离0.740.770.750.74倾斜角0.770.800780.775.2.2各层中心点和轴线的线性回归分析模型上一问中，我们对古塔的倾斜程度进行了分析，根据测量学的标准，其塔尖到塔基中点的连线构成倾角，然而实际情况中塔存在弯曲，其每一层的中心都偏离该连线，故我们这一问要分析的是各层中点的连线构成一个怎样的线性回归方程一般称 为高斯—马尔柯夫线性模型(k元线性回归模型)，并简记为，，， 线性模型考虑的主要问题是：（1）用试验值（样本值）对未知参数和作点估计和假设检验，从而建立y与之间的数量关系； （2）在处对y的值作预测与控制，即对y作区间估计.多项式回归模型设变量X、Y的回归模型为：其中p是已知的，是未知参数，服从正态分布. 称为回归多项式. 令，多项式回归模型变为多元线性回归模型.以古塔1986年记录的数据为例，将古塔各层中点投影到和坐标面上。

各中心点数据投影在坐标：表三：中心点在投影面上坐标层数1234567X566.67 566.72 566.78 566.84 566.89 566.95 566.98 Z1.79 7.32 12.76 17.08 21.72 26.24 29.84 层数8910111213塔尖X566.。