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第二章第二章 导热基本定律及稳态导热导热基本定律及稳态导热TGHHTchapTGHHTchap本章教学内容本章教学内容2-1 2-1 导热基本定律导热基本定律2-2 2-2 导热微分方程式及定解条件导热微分方程式及定解条件2-3 2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热（一维稳态导热）的导热（一维稳态导热）2-4 2-4 通过肋片的导热分析通过肋片的导热分析2-5 2-5 具有内热源的导热及多维导热具有内热源的导热及多维导热TGHHTchapTGHHTchap一、温度分布的描述和表示一、温度分布的描述和表示( (几个术语几个术语) )1.1.温度场：物体中各点温度值所组成的集合温度场：物体中各点温度值所组成的集合§2-1 §2-1 导热基本定律导热基本定律xyzTGHHTchapTGHHTchap非稳态温度场非稳态温度场稳态温度场稳态温度场一维温度场一维温度场二维温度场二维温度场三维温度场三维温度场TGHHTchapTGHHTchap2.2.温度梯度温度梯度 ①①梯度：指向变化最剧烈的方向梯度：指向变化最剧烈的方向( (向量向量, ,正向朝着正向朝着增加方向增加方向) )②②温度梯度温度梯度( (某点所在等温线与相邻等温线之间的温某点所在等温线与相邻等温线之间的温差与其法线间距离之比取极限差与其法线间距离之比取极限) )TGHHTchapTGHHTchap2.2.等温线，等温面等温线，等温面①①定义：同一瞬间温度相等的各点连成的线或面定义：同一瞬间温度相等的各点连成的线或面称为等温线或等温面称为等温线或等温面②②特点特点: :不能相交不能相交( (封闭或终止在物体表面封闭或终止在物体表面) )TGHHTchapTGHHTchap等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度（即等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度（即热流密度）的相对大小热流密度）的相对大小③③用途：用途： TGHHTchapTGHHTchap等温线等温线TGHHTchapTGHHTchap二、导热基本定律二、导热基本定律( (傅傅里里叶定律叶定律) ) 18221822年年，，法法国国数数学学家家傅傅里里叶叶（（Fourier））在在实实验验研究基础上，发现导热基本规律研究基础上，发现导热基本规律 —— —— 傅里叶定律傅里叶定律. . 法国数学家法国数学家Fourier: : 法法国拿破仑时代的高级官员。

国拿破仑时代的高级官员曾于曾于1798-18011798-1801追随拿破追随拿破仑去埃及后期致力于传仑去埃及后期致力于传热理论，热理论，18071807年提交了年提交了234234页的论文，但直到页的论文，但直到18221822年才出版年才出版TGHHTchapTGHHTchap 在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比于垂直于该截面方向上的正比于垂直于该截面方向上的温度梯度温度梯度和和截面面积截面面积，，方向与温度梯度相反方向与温度梯度相反1.1.导热基本定律的文字表达：导热基本定律的文字表达：2.2.导热基本定律的数学表达：导热基本定律的数学表达：TGHHTchapTGHHTchapTGHHTchapTGHHTchap3.3.注意注意①①负号的含义：热量传递方向指向温度降低方向，负号的含义：热量传递方向指向温度降低方向，与温度升高方向相反与温度升高方向相反②②热流方向与等温线热流方向与等温线( (面面) )垂直，热流密度矢量的垂直，热流密度矢量的走向可用热流线来表示走向可用热流线来表示TGHHTchapTGHHTchapTGHHTchapTGHHTchap③③实验定律，普遍适用实验定律，普遍适用( (变物性，内热源，非稳态，变物性，内热源，非稳态，固液气固液气) )④④引起物体内部或物体之间的热量传递的根本原引起物体内部或物体之间的热量传递的根本原因：因：⑤⑤一旦温度分布一旦温度分布t = f(x, y, z,τ)已知，热流密度可求已知，热流密度可求( (求解导热问题的关键：获得温度场分布求解导热问题的关键：获得温度场分布) )温度梯度温度梯度TGHHTchapTGHHTchap 0 x例例1 1：已知右图平板中的温度分布可以表示成如下：已知右图平板中的温度分布可以表示成如下的形式：的形式：其中其中C C1 1、、C C2 2 和平板的导热系数为常和平板的导热系数为常数，计算在通过数，计算在通过 截面处的截面处的热流密度为多少？热流密度为多少？ TGHHTchapTGHHTchap三、导热系数三、导热系数1.1.定义定义2.2.表征物体导热本领的大小表征物体导热本领的大小单位温度梯度作用下的物体内所产生的热流单位温度梯度作用下的物体内所产生的热流量，标量，单位：量，标量，单位：W/(m·K)TGHHTchapTGHHTchap3.3.记住常用物质之值记住常用物质之值在常温（在常温（20℃20℃）条件下）条件下TGHHTchapTGHHTchap4.4.导热系数与物质种类及热力状态有关导热系数与物质种类及热力状态有关( (温度，压力温度，压力( (气体气体))))，与物质几何形状无关。

在温度变化范围，与物质几何形状无关在温度变化范围不不很宽很宽情况下，工程材料的导热系数可表示为温度的情况下，工程材料的导热系数可表示为温度的线性函数线性函数 TGHHTchapTGHHTchap§2-2 §2-2 导热微分方程式及定解条件导热微分方程式及定解条件求求解解导导热热问问题题的的实实质质是是获获得得温温度度场场，，为为了了从从数数学学上上获获得得导导热热物物体体温温度度场场的的解解析析表表达达式式，，需需要要建建立立物物体体温温度度分分布布函函数数应应当当满满足足的的基基本本方方程程式式——导导热热微分方程微分方程一、基本思想一、基本思想TGHHTchapTGHHTchap二、推导二、推导1.1.物理问题描述物理问题描述 三维三维的的非稳态非稳态导热体，且物体内有导热体，且物体内有内热源内热源（导热（导热以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）2.2.假设条件假设条件 (1) (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) (2) 导热率、比热容和密度均已知；导热率、比热容和密度均已知； (3) (3) 内热源均匀分布，强度为内热源均匀分布，强度为 [W/m [W/m3 3] ]；； (4) (4) 导热体与外界没有功的交换。

导热体与外界没有功的交换 TGHHTchapTGHHTchap3.3.建立坐标系，取分析对象（微元体）建立坐标系，取分析对象（微元体） 在直角坐标系中进行分析在直角坐标系中进行分析xyzdxdydzTGHHTchapTGHHTchap 由由于于是是非非稳稳态态导导热热，，微微元元体体的的温温度度随随时时间间变变化化，，因因此此存存在在内内能能的的变变化化；；从从各各个个界界面面上上有有导导入入和和导导出出微元体的热量；微元体的热量；内热源内热源产生的热量产生的热量能量守恒方程能量守恒方程: :导导入入微微元元体体的的热热量量①① + +微微元元体体内内热热源源生生成成热热②②-导导出出微微元体的热量元体的热量③③ = =微元体内能的增量微元体内能的增量④④4.4.能量变化的分析能量变化的分析 TGHHTchapTGHHTchap①①导入微元体的热量导入微元体的热量( (Fourier Law) ) 沿沿x轴方向、经轴方向、经x表面导入的热量：表面导入的热量： 沿沿 x 轴轴方方向向、、经经 x+dx 表表面面导导出出的热量的热量③③导出微元体的热量导出微元体的热量xyzdxdydzTGHHTchapTGHHTchap沿沿x 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量沿沿 y y 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量沿沿 z z 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量同理可得：同理可得：TGHHTchapTGHHTchap导入与导出净热量导入与导出净热量①-③ :①-③ :②②微元体内热源生成的热量微元体内热源生成的热量④④微元体热力学能（内能）的增量微元体热力学能（内能）的增量TGHHTchapTGHHTchap5. 5. 导热微分方程的基本形式导热微分方程的基本形式非稳态项非稳态项内能增量内能增量三个坐标方向净导入的热量三个坐标方向净导入的热量 内热源项内热源项④=①-③+②④=①-③+②TGHHTchapTGHHTchap6. 6. 导热微分方程与导热微分方程与Fourier导热定律的关系导热定律的关系导热微分方程：导热微分方程：Fourier导热定律：导热定律： 描描述述物物体体内内部部温温度度随随时时间间和和空空间间变变化化的一般关系的一般关系( (t,τ, x, y, z) ) 描描述述物物体体内内部部温温度度梯梯度度和和热热流流密密度间的关系度间的关系( (q, t) )TGHHTchapTGHHTchap1.1.λ=constant三、简化情形三、简化情形导温系数或热扩散率，单位：导温系数或热扩散率，单位：m2/s，，物物性参数性参数表示物体被加热或冷却时，物体内部温度趋于一致表示物体被加热或冷却时，物体内部温度趋于一致的能力。

的能力TGHHTchapTGHHTchap2. 2. λ=constant & 无内热源无内热源3. 3. λ=constant & steady4. 4. λ=constant & steady &无内热源无内热源TGHHTchapTGHHTchap5. λ=constant & steady & 1D6. λ=constant & steady & 无内热源无内热源 & 1DTGHHTchapTGHHTchap1. 圆柱坐标系（圆柱坐标系（r,  , z））四、其它坐标系中的导热微分方程式四、其它坐标系中的导热微分方程式TGHHTchapTGHHTchap 2. 球坐标系（球坐标系（r,  ，， ））TGHHTchapTGHHTchap五、定解条件五、定解条件 导导热热微微分分方方程程式式描描写写物物体体的的温温度度随随时时间间和和空空间间变变化化的的关关系系；；没没有有涉涉及及具具体体、、特特定定的的导导热热过过程程是是通通用表达式用表达式2.2.定定解解条条件件定定义义：：使使得得微微分分方方程程获获得得某某一一特特定定问问题题唯一唯一解的附加条件。

分为解的附加条件分为初始条件初始条件和和边界边界条件条件1.1.导热问题的完整数学描述：导热问题的完整数学描述：导热微分方程导热微分方程 + + 定解条件定解条件TGHHTchapTGHHTchap①①初始条件初始条件( (非稳态非稳态) )TGHHTchapTGHHTchap②②常见的边界条件有三类常见的边界条件有三类(1)(1)第一类边界条件第一类边界条件: :指定边界上指定边界上的温度分布的温度分布典型例子：右图中典型例子：右图中0δxtw2tw1非稳态时非稳态时:TGHHTchapTGHHTchap(2)(2)第二类边界条件第二类边界条件: :给定边界给定边界上的热流密度上的热流密度例：右图中例：右图中0δxqw思考：思考：q qw w的方向的方向TGHHTchapTGHHTchap(3)(3)第三类边界条件第三类边界条件: :给定了边界上物体与周围流体给定了边界上物体与周围流体间的间的表面传热系数表面传热系数以及以及流体温度流体温度Fourier定律：定律：牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：例：上图中例：上图中0δxhqwtfTGHHTchapTGHHTchap。