2019-2020年高三竞赛数学(理)试题.doc

卧龙东校区高三理科数学竞赛试题2019-2020年高三竞赛数学（理）试题一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知实数集R，集合集合，则=( )A. B. C. D. 2. 直线:kx+(1－k)y－3=0和:(k－1)x+(2k+3)y－2=0互相垂直，则k=( )A. －3或－1 B. 3或１ C. －3或１ D. －1或3 3. 函数的最小正周期是( )A. B. C. 2π D. 4π 4. 如图，正三棱柱ABC－的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为( )A. B. 4 C. D. 5.设为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且,有两个命题：：若，则；：若，则；那么( )A．“或”是假命题 B．“且”是真命题C．“非或” 是假命题 D．“非且”是真命题 6. 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。

若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）A、 B、 C、 D、7. 函数y=lg|的大致图象为( )8. 设p:|4x－3|≤1，q: －(2a+1)x+a(a+1)≤0，若非p是非q的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. （－∞，0］∪ D.（－∞，0）∪9. 在等差数列中，=－2 012 ，其前n项和为，若=2，则的值等于( )A. －2 011 B. －2 012 C. －2 010 D. －2 01310. 偶函数f(x)满足f(x－1)=f(x+1)，且在x∈[0，1]时,f(x)=x ，则关于x的方程f(x)= ，在x∈[0，4]上解的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 411. 已知实数x,y满足|2x+y+1|≤|x+2y+2|，且，则z=2x+y的最大值( )A. 6 B. 5 C. 4 D. －312. 在△ABC中，E、F分别为AB，AC中点.P为EF上任一点,实数x，y满足+x+y=0.设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，，，，记,,,则取最大值时，2x+y的值为( )A. －1 B. 1 C. － D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上.13．已知直线经过圆的圆心，则的最小值为 .14．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 .15．已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 16．对于各数互不相等的整数数组…（是不小于3的正整数），若对任意的…，当时有，则称是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2，3，1）的逆序数等于2.若数组…，的逆序数为，则数组…，）的逆序数为 .三、 解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos,=3.（Ⅰ） 求△ABC的面积； （Ⅱ） 若c=1,求a、sinB的值.18．（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是与的交点，平面，是侧棱的中点，异面直线和所成角的大小是60.（Ⅰ）求证：直线//平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）如图,在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD. (Ⅰ1) 求证：平面PCD⊥平面PAD；(Ⅱ) 求二面角G－EF－D的大小；20．（本题满分12分）已知数列中，且（且）.（Ⅰ）证明：数列为等差数列； （Ⅱ）求数列的前项和.21. （本小题满分12分）已知椭圆的焦点坐标为（－1,0），（1,0），过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，（Ⅰ） 求椭圆的方程；（Ⅱ） 过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.22.（本题满分14分）已知函数（为常数，）.（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值； （Ⅱ）求证：当时，在上是增函数；（Ⅲ）若对任意的（1，2），总存在，使不等式成立，求实数的取范围.卧龙东校区高三理科数学竞赛试题参考答案一、 选择题1. B 2 C 3 B 4 D 5 D 6 B 7 D 8 A 9 B 10 D 11 B 12 D二、填空题：13. 4 14. 15. 16.三、 解答题17. 解：（1） cosA=2×－1=,而cosA=bc=3，∴bc=5又A∈（0，π），∴sinA=∴S=bcsinA=×5×=2. ………………………………………6分（2） ∵bc=5,而c=1，∴b=5.∴－2bccosA=20，a=…………10分又，∴sinB=.……………12分18.解：（Ⅰ）连结， 四边形是正方形，是的中点，……………………………………2分又是侧棱的中点，//. ………………4分又平面，平面直线//平面.…………………………5分（Ⅱ）建立如图空间坐标系，则………7分设平面的法向量，则有即 解得………………………………………………9分直线与平面所成角记为，……………………………12分19.解 (1) 证明:方法一:∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥CD ∵CD⊥AD∴CD⊥平面PAD∵CD平面PCD∴平面PCD⊥平面PAD……………………………4分方法二：略（向量法）（2） 如图以D为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系D－xyz. 则有关点及向量的坐标为: ………………………………5分G（1，2，0）,E（0，1，1），F（0，0，1）=（0，－1，0），=（1，1，－1）……6分设平面EFG的法向量为=（x，y，z） ∴ 第19题图取=(1,0,1) 平面PCD的一个法向量, =(1,0,0)…………………………………8分∴cos………………………………10分结合图知二面角G－EF－D的大小为45°……………………………12分20.解：（Ⅰ）设……………………………………………1分=…………4分所以数列为首项是2公差是1的等差数列.…………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，…………7分……………………………………8分设 ① ②②－①，得…………………………………11分所以………………………………………………………12分21. 解：（1） 设椭圆方程为=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1 由|PQ|=3，可得=3， 解得a=2，b=，故椭圆方程为=1…………4分（2） 设M，N,不妨>0, <0,设△MN的内切圆的径R，则△MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大， ，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得+6my－9=0， 得，， 则AB（）==， 令t=,则t≥1,则, 令f（t）=3t+，则f′(t) =3－，当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)=4, ≤=3,即当t=1,m=0时，≤=3, =4R，∴=，这时所求内切圆面积的最大值为π.故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为π………………12分22．解：………………………1分（Ⅰ）由已知，得即，经检验，满足条件.………………4分（Ⅱ）当时，……………………………………………………………5分当时，.又，故在上是增函数………………………6分（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立.…8分记则………………9分当时，有，且在区间（1，2）上递减，且，则不可能使恒成立，故必有…………11分当，且若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立矛盾，故，这时，即在（1，2）上递增，恒有满足题设要求.，即，……………………………………………………………13分所以实数的取值范围为.…………………………………………………14分。