32正规子群与商群.doc
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3.2正规子群与商群对一般的群G及N€G，左、右陪集不一定相等，即一般aN丰Na,(见上一章例子，G，S,N，｛(1),(12)｝,(13)N丰N(13))3但对某些群G及其子群N€G，总有性质：Va„G,aN，Na例如，取G，S,N，A，｛(1),(123),(132)｝€G,则当33a取(1),(123),(132)„A时，总有aN，Na而当a取(12),(13),(23)时,3(⑵N，｛(12),(23),(13)｝，N(12)，(13)N，｛(13),(23),(12)｝，N(13)，(23)N，｛(23),(13)C2)｝，N(23)，所以Va„G，S，都有aN，Na3再比如，交换群的子群总满足上述性质称N是G的正规子群(Normal由前面，A3是S3的正规子群:交换群的子群都是正规子群；规子群的定义|：设G是群，N€G，若Va„G,有aN，Na，则subgroup)，记作NG任何群的中心C(G)都是G的正规子群:C(G)G｛e｝和G总是G的正规子群，称为平凡正规子酸其余的正规子群称为非平凡正规子群VF规子群的判定及性质定理1.设N€G,贝【」NG,Va„G,有aNat…N；Va„G,Vx„N,都有axa-1„N.例1证明：n次交错群A是n次对称群S的正规子群：AS。
nn例2・设G=GL(R)｛AIA„M(R),且丨A1乂0｝，nAnN=SL(R)AaIA„R且丨A丨二1｝，证明：NG记—证明：vx„gva贝VIX-1AXI^^X-IIIAIIXI=IXI-1IAIIXI=IAI=1,从而，X-1AX„N,所以NG例3证明：K二{(1),(12)(34)&24),(14)(23)}S4F4证明:注意，K4中除单位元之外其余3个元素是S4中仅有的2阶偶置换现Vx„K,Vo„S，则Qxa-i的阶为且是偶置换，44F从而cg-1„K，故KS 同理可证HN…NH所以NH《HQ，NH€G2)首先由(1)NH€G其次，„a,G，有定理3设f:g^G是群G到群G的满同态，贝9(1) NGnf(N)G,即正规子群的像还是正规子群;(2) NGa(NH)=(aN)H=(Na)H=N(aH)=N(Ha)=(NH)a，所以NHG.证明(1)由f满射f-1(N)G，即正规子群的逆像还是正规子%G，有上一节有f(N)€G再„n,f(，N,a,G,使得n=f(n),a=f(a)于是(nfO]-i=f(a)f(n)f(a-1)=f(ana-1)由于NG,所以ana-1,N,从而ana-1,f(n),即f(n)g2)可类似证明，见上一节<13.商群定义：设N€G,用GN表示N在G中的全部陪集的集合(不分左、右)，即GH={aHIa,G}在Gn中定义运算如下：VaN，bN,Gn，规定(aN)„(bN)=(ab)N定理4Gn关于上面定义的运算构成群，叫做G对N的商群其中，Gn的单位元为eN=N；(aN)-1=a-1N例4.设G=K={e,a,b,c}，取N={e,a}，则可验证：NG(G4交换群)，此时GN={eN,aN,bN,cN}={{e,a},{b,c}}。 {e,a}是Gn的单位元，{e,a}{b,c}={b,c}；{b,c}{b,c}={e,a}例5・设G=S,N=A,贝【」SnA={A,B}，其中B是全体奇置换nnAnnnn的集合A是SnA的单位元，AB=B,BB=Ancnnnnnnn注意，B可以写成B=(12)A.nnn注意：在商群GN中，Va,G,有(aN)k=akN;IGNI=(G:N);对有限群还有IGN|€(G:N)€詈商群的应用定理5设g是一个pn阶的有限交换群，其中P是素数，则G有p阶元，从而G有p阶子群证明对n用数学归纳法当n€1时，g是p阶循环群，G的非单位元都是p阶元，定理成立假设定理对阶数为pk(1 推论pq(p，q为互异素数)阶交换群必为循环群证明设IG|€pq,G交换群由定理5,G有p阶元a和q阶元bo又因为p，q为互异素数，且ab€ba,所以|abI=pq=IGI,从而G是由ab生成的循环群例如，6€2X3阶交换群只能是6阶循环群；10=2X5阶交换群只能是10阶循环群，…注意：推论对非交换群不成立例如1s3|€6€2X3,S不是循环群.4.哈密尔顿群与单群介绍|（1）哈密尔顿群：如果G是一个非交换群，且G的每个子群都例6证明是正规子群，则称G是一个哈密尔顿群四元数群Q={1,i,j,k,„1,„i,„j,„k}是哈密尔顿群8首先Q是非交换群其次由Lagrange定理及其推论，可以8找出q的真子群只有,1-,„1},{1,-1,i,„i},{1,-1,j,„j},{1,-1,k，-k}其中［1,„1}显然是Q的正规子群对N€,1,„1,i,„i},不难检验…兀wtU；j,k，一1，„；一j，一k},xN=Nx恒成立，所以{1,-1,i,„i}是Q的正规子群同理，{1,-1,j,„j}，{1,-1,k,„k}也是Q的正规子群88从而Q是哈密尔顿群8注意:1,2,3,5,7阶群都是循环群，因而是交换群，从而都不是哈密尔顿群。 再由上一节例3和习题，4阶和6阶群也都不是哈密尔顿群因此，例4表明，四元数群q（8阶）是阶数最8小的哈密尔顿群2）单群：阶数大于1且只有平凡正规子群的群称为单群交换非交换都可以）例如，素数阶的群一定是单群另外，由例3得交错群A4不是单群，因为KA而A,A（1阶，3阶）显然是单群又当4423n€5时，可以证明An都是单群（证明略）这样，A4是所有交错群中唯一的非单群另外还可以证明：当n€3且n丰4时，S的正规子群只有｛⑴｝，nA和它自己s，这样S几乎是单群（仅有一个非平凡正规子群）nnn单群可以分为交换单群和非交换单群两大类其中有限交换单群的结构非常简单，即定理6有限交换群G是单群当且仅当它是素数阶的循环群证明首先，素数阶的循环群一定是单群反之，设G是一个有限交换单群且IGl，n＞1„a…G且a丰e，若1a〔＜n，由于g是交换群，所以由a生成的子群＜a＞是G的一个非平凡正规子群，这与G是单群矛盾因此必有1a|，n，这样G是一个n阶循环群再由循环群的子群定理，n必为素数否则，n的每个正因子都对应一个真子群，与g是单群矛盾）这样G只能是素数阶的循环群非交换单群的确定远比交换单群复杂。
