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高一数学必修4知识归纳.doc

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    • 1xysin x( + ) ( + )( - ) ( - )xycosx( - ) ( + )( - ) ( + )xytan ,cotxx( - ) ( + )( + ) ( - )数学必修数学必修 4 知识归纳知识归纳一、任意角一、任意角(逆时针旋转正角,顺时针旋转负角)1、与终边相同的角的集合:{|2,}kkZ 2、弧度制(1),l rl r(2) 180 orad1 o()180rad1rad180()o57.3o(3)扇形面积S 211 22lrr二、任意角的三角函数二、任意角的三角函数1、定义:一般地,设角终边上任意一点的坐标为,它与原点的距离为,( , )x yr(0)r 则 siny rcosx rtany x(0)x 2、三角函数的值在各象限的符号三、同角三角函数的基本关系式:三、同角三角函数的基本关系式:1、; ; 22sincos1sintancostancot12、特殊角的三角函数值:o30o45o60o0o90o180o270o360o120o135o150o15o75弧度6 4 3023 222 33 45 6 125 12sin1 22 23 2010103 22 21 2624624cos3 22 21 2101011 22 23 26246242tan3 313000313 32323四、诱导公式(口诀:纵变横不变,符号看象限)四、诱导公式(口诀:纵变横不变,符号看象限)1、,,,sin(2)ksincos(2)kcostan(2)ktankZ2、, , sin()sincos()costan()tan3、, , sin()sincos()costan()tan4、, , sin()sincos()costan()tan5、, , sin()2coscos()2sintan()2cot6、, , sin()2coscos()2sintan()2cot五、三角恒等变换五、三角恒等变换思想方法:①切化弦、平方降幂的思想; ②化为同角、同名的思想;③拆角的思想:如,等()()2()()1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幂公式:sinsincoscossin  令sin22sincoscoscoscossinsinm  令22cos2cossin降幂公式:, 2cos22cos121+cos2cos22cos212sin 21 cos2sin2tantantan1tantanm  令22tantan21tan2、辅助角公式(合一思想):关键是“提斜边提斜边””(是辅助角,是斜边)22sincossin()axbxabx22absincosxx2sin()4x3sincosxx2sin()6xcossinxx2cos()4x3cos3sinxx2 3cos()6x33、正余弦““三兄妹三兄妹””: 、、、 ———— 知一求二知一求二sincosxxsincosxxsin cosxx内在联系内在联系:2(sincos )12sin cos1 sin2xxxxx  六、三角函数的图象与性质六、三角函数的图象与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质的比较正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质的比较函数sinyxcosyxtanyx图 象3π4π2π4π4π23π4π5π43π27π42π21.510.50.511.52π3π4π2π4π4π23π4π5π43π27π42π2.521.510.50.511.522.55π4π3π4π2π4π4π23π4π5π421.510.50.511.52定义域RR(,),22kkkZ值 域[ 1,1][ 1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期:2最小正周期:2最小正周期:单调性递增区间:[2,2],22kkkZ递减区间:3[2,2],22kkkZ递增区间:[2,2],kkkZ递减区间:[2,2],kkkZ递增区间:(,),22kkkZ递减区间:无最 值当时,x ,2kkZmaxy1当时,x ,2kkZminy1当时,x 2,kkZmaxy1当时,x 2,kkZminy1无对称轴,2xkkZ,xkkZ无2 20113 22xyx xyy112 2 223 22004对 称中 心,(,0)kkZ,(,0)2kkZ,(,0)2kkZ1、会用““五点法五点法””画出函数的图象:sin()yAxB步骤:步骤:设,令=求相应的值及对应的值描点作XxX30,, ,,222xy图试一试:试一试:请用“五点法”画出函数在一个周期内闭区间的图象2sin(2)6yx26x023 22x 12 37 125 613 12y020-202、函数的图象变换(伸缩变换与平移变换)sin()yAxB特别注意特别注意:,应向左或向右平移个单位长度sinyxsinyx|| 试一试:试一试:函数的图象可以由的图象经过怎样的变换得到?13sin()226yxsinyx① 由向左平移个单位长度,得 xysin6sin()6yx② 保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 2 倍,得 1sin()26yx③ 保持横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 3 倍,得 13sin()26yx④ 向下平移 2 个单位长度,得13sin()226yx3、函数表达式的确定:sin()yAx几个物理量:————振幅 ————周期 ————频率A2T 1fT————初相 ————相位 x步骤:步骤:由最值确定 由周期确定 由图象上的特殊点确定,A试一试:试一试:函数图象的一部分如图所示,其中,,,sin()yAx0A 02求函数的表达式sin()yAx图略列表:5解:解:,,则1A() 4126T2,∴sin(2)yxsin()16∴,即262k2,3kkZ∵,∴,∴23sin(2)3yx七、解三角形:七、解三角形:1、内角和定理内角和定理:,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题时不能忘记!ABC例如:,,,ABCsin()sinABCcos()cosABC sincos22ABC2、正弦定理正弦定理:(为△外接圆的半径).2sinsinsinabcRABCRABC注意注意:① 正弦定理的一些变式:;sinsinsina b cABC,,;sin2aARsin2bBRsin2cCR,,2 sinaRA2 sinbRB2 sincRC② 解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解3、余弦定理余弦定理: , 2222cosabcbcA222cos2bcaAbc, 2222cosbacacB222cos2acbBac, 2222coscababC222cos2abcCab4、面积公式面积公式:(其中为三角形内切圆半径).111sin()222aSahabCr abcr特别提醒特别提醒:(1)求解三角形中的问题时,一定要注意这个特殊性;ABC(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化试一试:试一试:在中,若,判断的形状ABC CBABA22222sinsincoscossin  ABC 解:解:2(sincoscossin) (sincoscossin)sinABABABABC6ABCD O2sin()sin()sinABABC2sinsin()sinCABC∵∵,, ∴∴sin0Csin()sinABC∵∵,, ∴∴,,∴∴,即,即ABCABCABCA2A∴∴的形状是直角三角形ABC 八、平面向量八、平面向量1、平面向量的概念、平面向量的概念(1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小也即向量的长度,叫做向量的模.(2)零向量:模长为零的向量叫做零向量,记作. 零向量的方向是任意的.0(3)单位向量:模长等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量,记作.a0(4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 规定:零向量与任意向量平行.(其中模长相等方向相同的向量叫做相等向量;模长相等且方向相反的向量叫做相反向量)2、平面向量的线性运算、平面向量的线性运算(1)向量的加法与减法如图所示,在平行四边形中,ABCD① 三角形法则: ABBCACuuu ruuu ruuu r(起点相同,终点指向被减数,即后指向前后指向前)ABADDBuuu ruuu ruuu r② 平行四边形法则: 2ABADACAOuuu ruuu ruuu ruuu r1()2AOABADuuu ruuu ruuu rABBCCDADuuu ruuu ruuu ruuu r(2)向量的模性质: ≤≤|||| ab||ab||||ab(3)向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得baba3、平面向量的数量积、平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义:两个非零向量,其夹角为,,, a b[0, ]7则 叫做和的数量积数量积. cosa babab其中 叫做向量在方向上的投影投影. cosbbacosa bba(注意:(注意:用几何法计算和的夹角时,必须先判断与是否共起点))abab(2)夹角与数量积之间的关系:a b① 若与不共线; ②若与共线,或ab(0,)02(,)0202a ba ba bab0(3)数量积的三个运算律:① 交换律;a bb a② 对实数的结合律:()()()aba bab③ 分配律: () abca cb c由此可得:,,……222()2abaa bb22() ()ababab注意注意:结合律是对实数的结合,对向量一般是不成立的,即()()a bcab c4、平面向量的坐标运算、平面向量的坐标运算设,,,,向量与的夹角为.11(,)ax y22(,)bxy11( ,)A x y22(,)B xyab(1)平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线的非零向量,那么对于这12,u r u u re e一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使.r a21,r a1 122u ru u ree((叫做表示这一平面内所有向量的一组基底))12,u r u u re e定理:定理。

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