人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学问点一 一元二次方程的定义21.1 一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数 〔 一元 〕 ，并且未知数的最高次数是 2〔 二次 〕 的方程，叫做一元二次方程；留意一下几点： 1. 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程；学问点二 一元二次方程的一般形式2 2一般形式： ax + bx + c = 0〔a ≠ 0〕. 其中， ax 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c是常数项；学问点三 一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解， 也叫做一元二次方程的根； 方程的解的定义是解方程过程中验根的依据；22.2.1 配方法21.2 降次——解一元二次方程学问点一 直接开平方法解一元二次方程(1) 假如方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方；一般地，对于形如2x =a〔a ≥ 0〕 的方程，依据平方根的定义可解得 x 1= a ,x 2= a .2(2) 直接开平方法适用于解形如 x=p 或〔mx+a〕2=p〔m≠ 0〕 形式的方程，假如 p≥0，就可以利用直接开平方法；(3) 用直接开平方法求一元二次方程的根， 要正确运用平方根的性质， 即正数的平方根有两个， 它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；(4) 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根；学问点二 配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法， 叫做配方法， 配方的目的是降次， 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解；配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；〔1〕 把常数项移到等号的右边； 〔2〕 方程两边都除以二次项系数；(3) 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；(4) 如等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解；22.2.2 公式法学问点一 公式法解一元二次方程(1) 一般地， 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0〔a ≠ 0〕 ，假如 b2-4ac ≥ 0，那么方程的两个根为 x= b2b 4 ac ，2a这个公式叫做一元二次方程的求根公式， 利用求根公式， 我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法；2(2) 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax +bx+c=0〔a ≠0〕 的过程；(3) 公式法解一元二次方程的具体步骤：2①方程化为一般形式： ax +bx+c=0〔a ≠ 0〕 ，一般 a 化为正值；②确定公式中 a,b,c 的值，留意符号；③求出 b2-4ac 的值；2 2④如 b -4ac ≥ 0，就把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，如 b -4ac ＜ 0，就方程无实数根；学问点二 一元二次方程根的判别式2 2 2式子 b -4ac 叫做方程 ax +bx+c=0〔a ≠ 0〕 根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△ =b -4ac.△＞ 0，方程 ax2+bx+c=0〔a ≠ 0〕 有两个不相等的实数根2一元二次方程 △=0，方程 ax2+bx+c=0〔a ≠ 0〕 有两个相等的实数根根的判别式△＜ 0，方程 ax22.2 ． 3 因式分解法+bx+c=0〔a ≠ 0〕 无实数根学问点一 因式分解法解一元二次方程(1) 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法；(2) 因式分解法的具体步骤： 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -① 移项，将全部的项都移到左边，右边化为 0；② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④ 解一元一次方程即可得到原方程的解；学问点二 用合适的方法解一元一次方程方法名称 理论依据 适用范畴直接开平方法 平方根的意义 形如 x2=p 或〔mx+n〕 2=p〔p ≥0〕配方法 完全平方公式 全部一元二次方程公式法 配方法 全部一元二次方程因式分解法 当 ab=0，就 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程；22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系2如一元二次方程 x +px+q=0 的两个根为 x1,x 2, 就有 x 1+x2=-p,x 1x2=q.2 b c如一元二次方程 a x+bx+c=0〔a ≠ 0〕 有两个实数根 x 1,x 2, 就有 x1+x2=, x 1x2 =a a21.3 实际问题与一元二次方程学问点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1) 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系；(2) 设：是指设元，也就是设出未知数；(3) 列： 就是列方程， 这是关键步骤 , 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义， 然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；(4) 解：就是解方程，求出未知数的值；(5) 验：是指检验方程的解是否保证明际问题有意义，符合题意；(6) 答：写出答案；学问点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型(1) 数字问题三个连续整数：如设中间的一个数为 x，就另两个数分别为 x-1 ， x+1； 三个连续偶数 〔 奇数 〕 ：如中间的一个数为 x ，就另两个数分别为 x-2,x+2 ；三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c ，就这个三位数是 100a+10b+c.2(2) 增长率问题设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x ，就经过两次的增长或降低后的等量关系为 a〔1 x 〕(3) 利润问题=b；利润问题常用的相等关系式有： ①总利润 =总销售价 - 总成本； ②总利润 =单位利润×总销售量； ③利润 =成本×利润率(4) 图形的面积问题依据图形的面积与图形的边、 高等相关元素的关系， 将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来， 建立一元二次方程；22 二次函数学问点归纳1. 表达式：①一般式：y ax2bx c （ a0 ）； ②顶点式：2y a x hk （ a 0 ）③交点式： y=a〔 x–x1〕〔 x– x2〕 （ a≠ 0）2. 顶点坐标：①（2b 4ac b，2a 4a） ②（ h ， k ）3. 顶点意义：①当 xb 时， a2 a0 ， y 有最小值为4 ac b 2； a4 a0 ， y 有最大值为4ac b 24a②当 xh 时， a0 ， y 有最小值为 k ； a0 ， y 有最大值为 k4. a 的意义： a0 ，图象开口向上； a0 ，图象开口向下；a1 a2 两函数图象大小外形相同 . （即 a 相等的抛物线为全等型抛物线） 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -b x1 x25. 对称轴：① x；② x2ah ；③x （其中 x1、x2 为抛物线上对称点的横坐标）26. 对称轴位置分析：①b 0 ，对称轴为 y 轴；② ab 0 ，即 a、 b 异号，对称轴在 y 轴的右侧；③ ab0 ，即 a、 b 同号，对称轴在 y 轴的左侧；（ 左同右异 ）7. 增减性：① a0 ， xb （或 x＞ h）时， y 随 x 的增大而增大； x 2ab （或 x＜ h）时， y 随 x 的增大2 a而减小；② a 0 ， xb （或 x＞ h）时， y 随 x 的增大而减小； x 2ab （或 x＜ h）时， y 随 x 的增大2 a8. 抛物线而增大y ax2bx c 与 y 轴的交点为（ 0， c ）， c 值为抛物线在 y 轴上的截距 .9. 抛物线与 x 轴的交点：①b 2 4ac0 时，抛物线与 x 轴有一个交点；②b2 4ac0 时，抛物线与 x轴有两个交点；③b2 4ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 .10. 图象的平移：化成顶点式2y a x hk ，上加下减： k m ；左加右减： h m11．设抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，就 AB或 AB x x〔x x 〕24x xa1 2 1 2 1 212．抛物线上重要的点：抛物线与 x 轴、 y 轴的交点坐标，以及顶点坐标解题中常常会用到，所以同学们应能娴熟地由解析式求这些点的坐标 .13．二次函数与一元二次方程根的分布：①如抛物线与 x 轴的两个交点在正半轴上，就2bx1 x24ac 0b 0 ； ax gx c 01 2a②如抛物线与 x 轴的两个交点在负半轴上，就b2x1 x24ac 0 b0 ；ax gx c 01 2③如抛物线与 x 轴的两个交点分别在正、负两半轴上，就ab2 x1 gx24ac 0c 0a④如抛物线与 x 轴的两个交点只有一个点在 m