《数学地质》6讲(11,12,13)判别分析.doc

1第 11，12，13 课 判别分析（Discriminant Analysis）讲五个问题：讲五个问题：一、什么是判别分析； 二、费歇准则下的二组判别分析； 三、贝叶斯多组判别分析； 四、多组逐步判别分析； 五、问题讨论和实例一、什么是判别分析一、什么是判别分析概念：概念：判别分析是一种判别样品所属类型的统计方法思想：思想：根据已知类型的样品，按其特征，构造一个判别函数，定出划分类型的界线，并对新 样品所属类型进行判别（也可对已知类型的样品进行判别检验） 类型：类型：若判别类型是两个时，称两组判别分析如油层、水层；有矿、无矿等若判别的类 型是两个以上时称多组判别分析如油层、气层、水层；泥岩、砂岩、灰岩等原则：原则：两组判别分析是在 fisher 意义下求解，多组判别是在 Bayes 意义下求解原理：原理：见如下几何图形所示：2当 P=2 时：21 122 1jj jyc xc xc x当在 P 维时：1 122 1pppjj jyc xc xc xc xL—综合指标，是的线性函数，也有非线性的yix式中：—判别系数jc应用：应用： ◆ 判别和检验样品的所属类型；◆评价，如岩体评价，区别海相或陆相砂岩，区别含油层或含水层。

鉴别矿物、岩石类 型和古生物的种属；◆地层和岩相的划分；◆解释砂体的构造背景，区别沉积条件和环境，火山构造类型等二、两组判别分析二、两组判别分析——Fisher 准则准则前提条件：A、B 两类总体，A 组取了个样品，B 组取了个样品，每个样品测定了 P 个1n2n指标，原始数据见教材1、求线性判别函数 y1 122 1pppjj jyc xc xc xc xL式中：—待定系数 —指标jcjx问题的关键是如何求得，使得A、B两组分的很清楚，即要得到值，使得A、B区分开jcy原则：原则：Fisher：类间差别要大，类内差别要小综合指标 A 类 （个样品） 综合指标 B 类 （个样品）1n2n111111212122212( ),( ),,( )( ),( ),,( )( ),( ),,( )PPnnn PxA xAxAxA xAxAxA xAxALLL L L L L L L L L L L 112( )( )( )ny AyAyAM222111212122212( ),( ),,( )( ),( ),,( )( ),( ),,( )PPnnn PxB xBxBxB xBxBxB xBxBLLL L L L L L L L L LL 212( )( )( )ny By ByBM3A 类样品用 ——代表 =1111( )( )ni iy Ay An 1( )( )pjj jy Ac xAA 类样品用 ——代表 =2121( )( )ni iy By Bn 1( )( )pjj jy Bc x BA 类内差别为：121( )( )ni iy Ay AB 类内差别为：221( )( )ni iy By B类内差别为：122211( )( )( )( )nnii iiFy Ay Ay By B类间差别为：2( )( )Qy Ay BFisher 准则：使达到极大，求出。

即：QIFjc1222211( )( )( )( )( )( )nnii iiy Ay BIy Ay Ay By B根据数学分析中求极值原理，即使：120,0,,0pIII cccL20jjjQFFQccI cF即得：1jjQF Icc因：211( )( )( )( )ppjjjj jjQy Ay Bc xAc x B2211[( )( )]ppjjjjj jjc xAx Bc d4式中：( )( )jjjdxAx B122211( )( )( )( )nnii iiFy Ay Ay By B12221111[( )( )][( )( )]nnppjijjjijj ijijc xAxAc xBx B  1111[( )( )][( )( )]nppjijjkikk ijkc xAxAc xAxA 1111[( )( )][( )( )]nppjijjkikk ijkc xBx Bc xBxB 1111( )( )( )( )nppjkijjikk ijkc cxAxAxAxA2111( )( )( )( )nppjkijjikk ijkc cxBx BxBxB1111( )( )( )( )nppjkijjikk jkic cxAxAxAxA2111( )( )( )( )nppjkijjikk jkic cxBx BxBxB*11ppjkjk jkc c s式中：有：12*11( )( )( )( )( )( )( )( )nnjkijjikkijjikk iisxAxAxAxAxBx BxBxB21112*pppjjjjjj jjjjjjQc dc dc dccc 1122ppjjjkkj jkc ddc dd**1112pppjkjkkjk jkkjjFc c sc scc将两式代入原式得：*1122ppkkjkjk kkc ddc sI令：， 则：1pkk kc dI5（j=1,2,…,p）]*1pkjkj kc sd即为 P 阶线性方程组。

方程组右端是一个常数因子，它对方程组的解只取扩大倍的作用，故取=1 将方程组写成矩阵形式，即有：（即：）*** 1112111*** 2221222*** 12,,,,,,,,,ppppppppSSScdcdSSScdSSSLL MML L L L L L LL*S CD此时有：1*** 1112111*** 2221222*** 12,,,,,,,,,ppppppppSSScdcdSSScdSSSLL MML L L L L L LL即得到线性判别函数：1 122ppyc xc xc xL2、判别、判别计算：——A 类代表 1( )pjj jy Ac xA——B 类代表 1( )pjj jy Bc x B——判别指标  12 0 12n y An y Bynn判别：若，则时，属于 A 类则属于 B 类 0y Ay* 0yy*y* 0yy*y3、检验、检验 （1）对判别函数的检验。

计算一个马哈拉诺比斯（Mahalanobis）距离2D2 1122ppDc dc dc dL统计量为：62121212121 2n nnnpFDnnnnp12~,1FFp nnp对给定的，若：，则认为判别函数是显著的，反之不显著12,1FFp nnp（注：显著则说明 P 个指标能够分辨 A、B 两个总体）（2）对各个判别指标的检验因为是有由 P 项构成的，因此第 K 项在中所占的比重，就代表了第 K 个指标对2Dkkc d2D总距离的贡献，即大，则说明贡献大，反之，贡献小2kkc d Dkx先算出2 1122ppDc dc dc dL再求出各指标的贡献： kxD121122222100%100%100% pxxpp xc dDD c dDDc dDDL L L L L L L L L4、应用实例（见 P139—例 1）注：此检验为一辅助 性检验，没有一个完 全定量的界线，要根 据问题的背景而定7习题：P（五）二十一 18第 12 课三、多组判别分析三、多组判别分析1、什么是多组判别分析问题的提出：问题的提出： 实际工作中需要对多种类型的样品进行判别，如：油层、气层、水层、干层等，这就需要多 组判别分析来解决了。

设有 m 个总体，第 g 个总体的样品个数为(g=1,2,…,m)，每个样品测定了 P 个指标，此时，gn可写成：——第 g 类，第 j 个样品第 k 个指标的观测值gjkx原始数据可写成：总共取了 N 个样品， 1mg gNn现有一新样品，，试判别它属于已知 m 类的哪一类 12,,,pyy yyL分析：分析：第一组数据11111111211121122121 1121,,,,,,,,,ppnnn pxxxxxxxxxLLL L L L L L L第一个样品 第二个样品 M第个样品1n第二组数据222211212212212222221222,,,,,,,,,ppnnn pxxxxxxxxxLLL L L L L LL第 m 组数据111212122212,,,,,,,,, mmmmmm pmmm pmnmnmn pxxxxxxxxxLLL L L L L LL9仿两组判别，求出判别函数，两组求一个判别函数，三组就要求三个判别函数（即：1~2；2~3；1~3） ；四组就要求 6 个，一般地说，若有 m 组，就要求，这样2! 2 !2!mmCm计算量太大，对一个新样品也得计算多个判别值，比较起来，十分困难。

因此，求判别函数的方 法对多组判别不适用在多组判别分析中，我们是这样考虑的在判别中，我们可能犯这样的错误，即把本应属于 g 组的样品错分到 n 组，或者把 n 组的样品错分到了 g 组，这种错误是在所难免的，我们只希望 由此造成的平均损失尽可能的小平均损失最小的准则称为 Bayes 准则平均损失最小用左图解释：解释：解释：小圆对第 1 类来说，错分的损失等于 0，而对 2，3 类就不等与 0，要找出一种划分法， 使得平均错分的损失为最小2、、Bayes 准则准则贝叶斯准则就是计算样品 y 属于各组的概率 （g=1,2,…,m） ，然后比较这 m 个概率 gpy的大小，将样品 y 归于最大的那一组根据贝叶斯公式，样品 y 属于第 g 组的后验概率（条件概率）为：   1212 1,,,,,,ggpmjjp jq fy yygpyq fy yy LL式中：—第 g 组的先验概率，其估计值为：gqg gnqN—样品 y 在第 g 组的概率密度gf要计算关键是要知道 y 在各总体的概率密度 gpy12,,,gpfy yyL3、正态总体的判别、正态总体的判别2x1xA 1B 2C 310设 m 个总体均服从 P 维正态分布，即：~,ggxN uv—第 g 个总体的期望；gu—第 g 个总体的协方差。

gv于是第 g 个总体的概率密度为：1 2 1 12111,,,exp22p pg gpgggpppvfx xxXuvXu L式中： 121,,,ppXx xxL121,,,ggggppuuuuL—的逆矩阵111212122212,,,,,,,,,pp gppppp pv    LLL L L L LL1 gv gv设 即。